Общее уравнение плоскости. Неполные уравнения плоскости, уравнение плоскости в отрезках. (24)

Если в пространстве задана произвольная плоскость П и фиксирована произвольная декартова прямоугольная система Охуз, то плоскость п определяется в этой системе уравнением первой степени.

Если в пространстве фиксирована произвольная декартова прямоугольная система Охуз, то всякое уравнение первой степени с тремя переменными х, у и з определяет относительно этой системы плоскость.

Уравнение Ах + Ву + Сз + Д = 0 с произвольными коэффициентами А, В, С, Д такими, что из коэффициентов А, В и С хотя бы один отличен от нуля, называется общим уравнением плоскости.

Плоскость, определяемая общим уравнением, ортогональна к вектор н = (А, В, С). Этот вектор называется нормальными вектором плоскости.

Общее уравнение плоскости Ах + Ву + Сз + Д = 0 называется полным, если все его коэффициенты А, В, С и Д отличны от нуля. Если хотя бы один из указанных коэффициентов равен нулю, то уравнение называется неполным.

Д = 0, уравнение определяет плоскость, проходящую через начало координат.

А = 0, уравнение определяет плоскость, параллельную оси Ох (поскольку нормальный вектор этой плоскость перпендикулярен оси Ох).

В = 0, уравнение определяет плоскость, параллельную оси Оу(нормальный вектор перпендикулярен Оу).

С = 0, уравнение определяет плоскость, параллельную оси Оз (нормальный вектор перпендикулярен Оз).

А = 0, В = 0, уравнение определяет плоскость параллельную координатной плоскости Оху.

А= 0, С = 0, уравнение определяет плоскость, параллельную координатной плоскости Охз.

В = 0, С =, уравнение определяет плоскость, параллельную координатной плоскость Оуз.

А = 0, В = 0, Д = 0, уравнение определяет координатную плоскость Оху

А = 0, С = 0, Д = 0, уравнение определяет координатную плоскость Охз

В = 0, С = 0, Д = 0, уравнение определяет координатную плоскость Оуз

х/а + у/б + з/с = 1, называется уравнение плоскость в отрезках. Числа а, б и с имею простой геометрический смысл: они равны величинами отрезков, которые отсекает плоскость на осях Ох, Оу и Оз соответственно (отрезки отсчитываются от начала координат).

Угол между двумя плоскостями, условие параллельности и перпендикулярности плоскостей. (25)

Условие параллельности плоскостей п1 и п2, эквивалентное условию коллинеарности векторов н1 и н2, заключается в пропорциональности координат этих векторов, т.е. имеет видео А1/А2 = В1/В2 = С1/С2.

Условие перпендикулярности плоскостей п1 и п2 может быть при косинус фу = 0 или выражено равенством нулю скалярного произведения векторов н1 и н2: А1А2 + В1В2 + С1С2 = 0.

Уравнение плоскости, проходящей через три различные точки, не лежащие на одной прямой. (26)

Уравнение плоскости проходяещее через три различные точки М1(х1, у1, з1), М2(х2, у2, з2), М3(х3, у3, з3), не лежащей на одной прямой. Так как указанные три точки не лежат на одной прямой, векторы М1М2(х2-х1, у2-у1, з3-з1) и М1М3 = (х3-х1, у3-у1, з3-з1) не коллинеарны, а поэтому точка М(х, у, з) лежит в одной плоскости в точками М1, М2, М3 тогда и только тогда, когда вектора М1М2, М1М3 и М1М=(х-х1, у-у1, з-з1) компланарны, т.е. тогда и только тогда, когда смешанное произведение этих векторов равно нулю. Использую выражение смешанного произведения, мы получим необходимое и достаточное условие принадлежности М(х, у, з) и указанной плоскости в виде (определить из М1М, М1М2, М1М3). Это уравние и является уравнением искомой плоскости).