Задача 4. Решить простейшую задачу классического вариационного исчисления.

Воспользуемся уравнением Эйлера-Лагранжа для решения простейшей задачи:

предположим что

Подставим в исходное уравнение:

½ - экстремаль

Исследуем экстремаль на предмет доставления функции максимума/минимума:

Проинтегрируем по частям: , где:

Задача 5. Решить задачу Больца.

10.

- Интегрант

- Терминант

Воспользуемся уравнением Эйлера-Лагранжа для решения задачи Больца:

.

– экстремаль

Воспользуемся условиями трансверсальности:

– экстремаль

Воспользуемся условиями трансверсальности:

Посчитаем каждый элемент:

Тогда условия трансверсальности запишутся:

Мы будем использовать эти уравнения как краевые условия для нахождения констант .

Исследуем экстремаль на предмет доставления функции максимума/минимума:

(Запишем, сразу группируя интегральную и неинтегральную части)

Проинтегрируем по частям: , где:

А также воспользуемся условием: и в подстановке 0 и 1 (для подсчета значения элемента ):

,

– отрицательный результат – следовательно является точкой максимума.

Задача 6. Решить изопериметрическую задачу.

Воспользуемся уравнением Эйлера-Лагранжа для решения изопериметрической задачи:

.

1) – нет решений (Лагранжиан не м. б. равен нулю)

2)

Воспользуемся краевыми условиями для нахождения констант:

,

- Воспользуемся уравнением для нахождения :

Исследуем экстремаль на предмет доставления функции максимума/минимума:

Проинтегрируем по частям: , где:

Так как , тоже должна быть равна нулю, следовательно

– точка минимума.

Задача 7. Решить задачу с подвижными концами.

Выпишем, как положено, функцию Лагранжа:

Воспользуемся уравнением Эйлера-Лагранжа для решения задачи с подвижными концами:

.

Воспользуемся условиями трансверсальности:

Посчитаем каждый элемент:

Тогда условия трансверсальности запишутся:

Запишем условие стационарности:

Пусть Тогда также равны нулю – нет решений.

Пусть , тогда:

Если , найдем константы, используя краевые условия:

,

В уравнение стационарности также подставим , используя уравнение, написанное выше:

Рассмотрим , тогда а – что является недопустимым значением

Рассмотрим , тогда и

Итак, мы получили:

,

; ,

Исследуем экстремаль на предмет доставления функции максимума/минимума:

Воспользуемся и h(0)=0 (в силу наложенного ограничения на левый конец).

Также, стоит выразить значение из уравнения , помня, что , а

Итак:

– следовательно найденная точка является точкой минимума.

Задача 8. Решить задачу Лагранжа.

Используем замену переменных , тогда условие запишется:

; , ,

Запишем функцию Лагранжа:

1. Воспользуемся уравнением Эйлера-Лагранжа для решения задачи с Лагранжа. Оно запишется отдельно относительно x₁ и x₂ и образует, таким образом, систему уравнений:

2. Воспользуемся условиями трансверсальности:

– уравнения, записанные относительно x₁

– уравнения, записанные относительно x₂

Положим . Тогда из уравнений, записанных выше, получим из третьего уравнения условий трансверсальности, а также равенство нулю функции p(t) из второго уравнения Эйлера-Лагранжа, а как следствие и равенство нулю и (1 и 2 уравнения условий трансверсальности соответственно). Таким образом, этот вариант нам не подходит, так как для нахождения решения Лагранжан не может быть нулевым.

Тогда, пусть :

Запишем условие стационарности:

p(1) =

p(e)=

=

= =

Условия по подвижным концам не рассматриваем т.к. концы закреплены.

Подставим

= 0 следовательно p(t)=0 следовательно все

2) = 1

Из уравнения

+

Получаем систему:

+

При решении системы получаем следующие константы:

₁=

₂=

Исследуем экстремаль функции на предмет доставления ей максимума/минимума:

.