2. Примеры применения.

2.4.1 Установившееся течение несжимаемой жидкости в трубе. Гидродинамика.

Рассмотрим течение трубы за пределами входного участка.

ΔP зависит от таких параметров:

- геометрические: L, d;

- кинематические: U_ср;

- физическая жидкость: ρ, μ.

Тогда зависимость принимает вид:

Из физических соображений ΔP~L, тогда зависимость принимает следующий вид:

Не сложно проверить, что в данной задаче n=4, k=3.

В качестве базы выберем ρ, U_ср, d.

Искомая зависимость будет иметь следующий вид:

Для того, чтобы П было безразмерным показателем степени должны равняться нулю.

Определим вид величины

Найдем выражение для переменной П₁:

Определим x₁ y₁ z₁ из условий безразмерности переменной П₁.

Подставим выражение П₁ в исходную зависимость:

Если мы находимся в ламинарной зоне (слоистое течение), то инерционные свойства жидкости при установившемся течении на его картину не влияют.

В окончательной форме для случая ламинарного течения, (ρ) плотности быть недолжно.

Если при: ;

Выражение Δр от ρ не зависит.

2.4.2. Теплообмен при течении в горизонтальной трубе.

Любая задача теплообмена сводится к закону Ньютона-Райтмана.

α – коэффициент теплоотдачи,

S – площадь поверхности,

ΔТ – разность температуры стенки.

Ищем коэффициент теплоотдачи α, а не тепловой поток.

Параметры:

- геометрические: L, d;

- кинематические: U, ρ, μ;

- тепловые (энергетические): С_р, α, λ.

Искомая зависимость будет иметь следующий вид:

Выбираем базовые величины (d, U, ρ, λ).

Определим показатели степени из размерности параметров П_i. Поскольку вид знаменателей во всех случаях П_i отличается индексом, то получим выражение для знаменателя.

Для безразмерности [П] показатели должны быть равны нулю.

аналогично критерию П₁ получим:

Выражение (2.13) принимает следующий вид:

Построение математической модели на основе законов сохранения

3.1 Общая форма законов сохранения.

Основной способ получения дифференциальных моделей – использование законов сохранения.

Законы сохранения – уравнение баланса исследуемой величины в некотором (конечном или бесконечно малом) объеме некоторого пространства. Выражаются законы сохранения следующим образом: изменение некоторой величины φ внутри некоторого объема V будет равно потоку величины Ф через границу s и порождению (исчезновению) источнику (стоку) величины φ внутри контрольного объема.

С – мощность внутренних источников величины φ;

Ф – поток φ через поверхность S;

n – единичная нормаль к поверхности S.

После подстановки получаем:

Закон сохранения величины φ – эмпирическое соотношение, оно не следует не из каких других соотношений подтверждено многократными опытами.

2. Примеры применения.

3.2.1 Уравнение баланса тепла в стержне

Рассмотрим распространение тепла в длинном тонком стержне, длинной l и диаметром d (l >> d), с теплоизолированной боковой поверхностью.

Тепло будет распространяться в основном вдоль стержня.

В качестве объема V рассмотрим элемент dx, ось х совместим с осью стержня.

Запишем соотношение (3.2) для нашей задачи при этом φ=Е (полная энергия материала стержня), а =q (тепловой поток).

По сути, мы запишем закон сохранения энергии для неподвижного твердого тела.

С=0 – источников нет.

Рассмотрим интеграл в правой части:

Собираем выражение:

.

Выражение примет вид:

В соответствии с законом Фурье при теплопередаче тогда:

Для однородного λ=const.