37. Th. Умножения (свертки).

Если f(t)  F(p)^*; g(t)  G(p)^**; Re(p) > S₁^*; Re(p) > S₂^** то произведение образов F(p) и G(p) также является образом, причем: F(p)G(p)  ₀^tf()g(t-)d; Re(p) > max{S₁,S₂}.

Док-во:

Докажем сначала, что (t) = ₀^tf()g(t-)d - является оригиналом. Первые два условия очевидны. Докажем третье условие – Пусть |f(t)|  M₁e^S1t; |g(t)|  M₂e^S2t;пусть M = max{M₁,M₂}; S₀ = max{S₁,S₂}.

Тогда: |₀^tf()g(t-)d|  ₀^t|f()||g(t-)|d < M₁M₂₀^te^-S0e^S0(t-)dt  M²e^S0tt < M^*e^(S0+)t  показатель роста нашей ф-ии = S₀  3е условие существования оригинала выполняется (t) = ₀^tf()g(t-)d ₀^e^-pt₀^tf()g(t-)d. Изменим порядок интегрирования: (t) = ₀^f()d _^e^-ptg(t-)d = {замена t- = ; t = +} = ₀^e^-pf()d₀^e^-pg()d = F(p)G(p). 

Замечание: ₀^tf()g(t-)d - наз. сверткой F и G и обозначается (fg)(t) = ₀^tf()g(t-)d т.е. произведению изображений соответствует свертка оригиналов. (fg) = (gf).

38. Первая теорема разложения Хевисайда

Th. Пусть функция F(p)-аналитична в некоторой кольцевой окрестности точки p=∞,R<|p|<∞ и имеет в этой окрестности Лорановское разложение: F(p) = _k=1∑^∞[C_-k/p^k] (1)

Тогда оригиналом F(p) будет функция: f(t)={ _k=1∑^∞[C_-k/(k-1)!]*t^k-1, t>0 ; 0, t<0 (2)

Док-во:

_k=1∑^∞С_-k/p^k=[1/p]*_k=1∑^∞C_-k/p^k-1, точка р=∞ является устранимой для ряда: _k=1∑^∞C_-k/p^k-1,следовательно при |p|>=r>R: найдется A>0 так что |_k=1∑^∞C_-k/p^k-1|<A

Тогда при |p|>=r>R: |_k=1∑^∞C_-k/p^k|=|F(p)|<A/r=M(r)

Согласно неравенству Коши для коэф ряда Лорана имеем

|C_-k|<M(r)/(r ^-k )= M(r)*r^k = A*r^k-1, k=1,2,3… отсюда имеем, |_k=1∑^∞[C_-k/(k-1)!]*t^k-1|  _k=1∑^∞|C_-k|*[|t|^k-1/(k-1)!] < A*_k=1∑^∞[(r|t|)^k-1/(k-1)!] = A*_k=0∑^∞[(r|t|)^k/k!] = A*e^r|t| {до сюда r заменить ρ (это не писaть)}. Ряд (2) мажорируется стремящимся степеным рядом из круга |t|  r,r≠∞ поэтому исходный ряд (3) _k=1∑^∞[C_-k/(k-1)!]*t^k-1 -сходящийся равномерно в круг |t|<r и его можно почленно интегрировать в этом круге.

39.Вторая теорема разложения Хевисайда (без док-ва)

Th. Пусть ф-ция F(p) удовлетворяет след условиям

1.F(p)-аналитична на всей комплексной плоскости кроме конечного числа особых точек которые являются полюсами этой функции

2. В обл. Rep>S₀ F(p)-аналитичная

3.F(p)→0 равномерна относительно arg(p)

4.Для любого a>S₀ сходится интеграл: _a-i∞∫^a+i∞|F(p)|*|dp|.

Тогда оригиналом функции F(p) является ф-ия f(t) = _k∑Res e^p*tF(t) {p = p_k - написать под Res} t>0; f(t)=0, t<0.

40.Интеграл Дюамеля и его применение

f ’(t) ÷ p*F(t) - f(0) (1). Запишем теорему умножения:

F(p)*G(p) ÷ ₀∫^tf(u)*g(t-u)*du (2); f(t) ÷ F(p); g(t)÷G(p), то p*F(p)*G(p) = f(0)*G(p)+(p*F(p)-f(0))*G(p) ÷ f(0)*g(t) + ₀∫^tf ’(u)*g(t-u)*du (3). В этой формуле мы исп: p*F(p)-f(0) ÷ f ’(t); p*F(p)*G(p) ÷ f(0)*g(t) + ∫g(u)*f ’(t-u)*du (4).

Поменяем ролями F(p) и G(p): p*F(p)*G(p) ÷ g(0)*f(t) + ₀∫^tg’(u)*f(t-u)*du = g(0)*f(t) + ₀∫^tf(u)*g’(t-u)*du (5).

Применение интеграла Дюамеля

Пусть требуется решить линейное диф. уравнение при нулевых начальных усл.:

L[x] = f(t) (6). Пусть известно решение x₁(t) урав. L[x]=1, также при нулевых нач. усл. Воспользуемся интегралом Дюамеля для реш (6)

Опер. урав-ния соответственно (6) и (7):

A(p)*X(p) = X(p) (8); A(p)*X₁(p)=1/p (9); x₁(t) ÷ X₁(t); x(t) ÷ X(p); f(t)÷F(p);

X(p) = p*X₁(p)*F(p) (10); x(t)=₀∫^tf(u)*x₁(t-u)*du (11); x(t)=x₁(t)*f(0) + ₀∫^tx₁(t)f’(t-u)*du (12); f(0)=0

41.Импульсная функция и её изображение по Лапласу.Некоторые св-ва δ функцию

δ={0,t<0,t>h;1/h,0<t<h.

_-∞∫^+∞ δ(t)dt=₀∫^+∞dt/h=1;(2)

h->0 получаем последовательность {δ(∂)},которая является расходящейся. Введём

условную функцию,которую будем считать пределом δ(t)=lim_h->0δ_n(t) (3)

Эта функция называется импульсной функцией нулевого порядка или

δ-функцией,или ф-ией Дирана.Эта ф-ия всюду=0 кроме точки t=0,где она δ(0)=∞

и для нее считается справедливым соотношение _-∞∫^+∞(t)dt=1.

Изображение δ-функции. δ_n(t)=1/h[η(t)- η(t-b)] (5).

По теореме запаздывания δ(t)÷ [1/h][(1/p)-(1/p)(e^(-ph))]

δ(t)÷ lim[1-e^(-ph)]/ph=1.(6)Рассмотрим график интеграла ф-ии

η(t)=₀∫^t δ(τ) dτ (7)

η(t)->η(t); δ(t)= η’(t) (9).Преобразуем соотношение (6) η(t) ÷1/p; δ(t)÷ p/p=1.

Значение оригинала при t=0 считаем=0.Для любой ф-ии

42. Передаточная ф-ия и ее применение к решению задач электротехники.

Рассмотрим неоднородное ДУ n-ого порядка y⁽ⁿ⁾+C_n-1y^(n-1)+…+C₁y¹+C₀y=f(t) (1). Пусть заданы начальные условия y(0),y¹(0), …,y^(n-1)(0) (2). Представим решение задачи Коши в виде суммы y=y₁+y₂ (3). y₁: y₁⁽ⁿ⁾+C_n-1y₁^(n-1)+…+C₁y₁⁽¹⁾+C₀y₁=f(t), y₁(0)=…=y₁^(n-1)(0)=0} (4) y₂: y₂⁽ⁿ⁾+C_n-1y₂^(n-1)+…+C₁y₂⁽¹⁾+C₀y₂=0, y₂(0),…,y₂^(n-1)(0)} (5). Сумма решений (4) и (5) даст общее решение задачи (1,2). Рассмотрим задачу (4). y(t)÷Y(p) операторные уравнения: pⁿY₁+C_n-1p^n-1Y₁+…+C₁p¹Y₁=F(p) (6), где Y₁(p)÷y₁(t), F(p)÷f(t). Введем обозначения: pⁿ+C_n-1p^n-1+…+C₁p¹=q(p), q(p)Y₁(p)=F(p), Y₁(p)=1/q(p)*F(p) (7). Обозначим 1/q(p) через G(p), тогда Y₁(p)=G(p)F(p) (8). Применив Теор о свертке сразу получаем искомое решение Y₁ задачи (4). y₁(t)=g(t)f(t)=₀∫^tg(τ)f(t-τ)dτ (9). Применение задачи (4) к решению задач, связанных с электротехникой. Зад.(4) назовем f(t)-входная функция, а y(t) – выходная функция. При нулевых нач дан на эл цепь описыв (4) действует только возбуждающая ф-я f(t), а y(t) – отклик на возбуждение. В пространстве изображений F(p) – входная ф-я(возб), а Y(p) – вых ф-я (отклик на возбуждение). Связь

38.

37.

40.

39.

42.

имеет вид Y(p)=G(p)F(p) (10). (для удобства заменяем Y₁(p)=Y(p)). Функция G(p) зависит от постоянных C_n-1,…,C₁,C_0, т.е. от внутр Эл цепи, она связывает ф-и Y(p) и F(p). Она назыв коэфф передачи или

передаточной ф-ей. Соотв ф-я в пр-ве оригиналов называется ф-ей Грина для задачи (4) или в электротехнике – фесовой ф-ей. Схематическая связь м/у F;Y;G: F → G → Y. Пусть теперь несколько физ систем соединены м/у собой. Например входная ф-я первой системы и выходная второй: F→ G → Y → G₁ → Y₁. Y=GF, Y₁=G₁ Y, след-но Y₁=GG₁F след-но F → GG₁ → Y₁. Рисунок. Выходная ф-я Y₁ блока G питает G₁, находящ на линии обратной связи с вых ф-ей Y₂, подход к D… F-Y₂ или F+Y₂ – как угодно. Y₁=G(F-Y₂), Y₂=G₁Y₁, Y₁=(G/GG₁+1)F, H=G/GG₁+1. РИС

41. оригинала φ(t) получаем

₀∫^∞φ(t) δ_n(t)dt=[1/h]₀∫^htdt переходя к пределу h->0 ₀∫^∞φ(t) δ(t)dt=φ(0) (10) h->0.

Если φ(t) разрывна при t=0 то под знаком φ(0) будем понимать правое предельное значение этой ф-ии.Значения ф-ии (10) δ(t)÷ ₀∫^∞[e^(-pt)] δ(t)=dt=e^(-pt)│_t=0=1

На δ-функц. Распространяються основы итерационного исчисления.Основные прав.

1)Теорема запаздывания δ(t-τ)=e^(-p τ); ₀∫^∞)[e^(-pt)]δ(t- τ)dt= e^(-pt) │_t=τ=e^(-pτ)

2)Теорема умножения 1)F(p) ÷ ₀∫^tδ(τ) δ(t-τ)dτ=δ(τ) │ _t=τ =δ(t) F(p) ÷ δ(τ) РИС