Шпоры к экзамену / Шпоры / мал1-6

1. Предел последовательности комплексных чисел. Теорема о связи предела последовательности комплексных чисел с последовательностями действительных чисел.

Опр1. Окр-тью(ε-окр) т.Z₀ÎС, наз. круг |z-z₀|<ε. U(z₀,ε) – окр. т.z₀ радиуса ε.

Опр2. Окр-тью (R-окр) т.z=∞ÎC наз. мн-во всех точек zÎČ для которых |z|>R, 0≤R<+∞. Обозн. U(∞,R).

Опр3. Пусть {z_n}послед чисел z_n=x_n+iy_nÎC. Число z₀=x₀+iy₀, z₀¹∞, наз-ся пределом послед-ти z_n при n®∞, если: "ε>0 $N(ε): "n≥N: |z_n-z₀|<ε. lim(z_n)=z₀ при n®∞, lim(z_n)=0 при n®∞.

Опр4. ∞ есть предел послед-ти {z_n}, если "R>0 $N(R):"n≥N |z_n|>R.

Теор1. Сущ-е предела lim(z_n)=z₀=x₀+iy₀ при n®∞ (1) эквив-но сущ-ю двух пределов lim(x_n)=x₀ при n®∞ lim(y_n)=y₀ при n®∞ (2).

Док-во: Пусть выполн. (1). Тогда |x_n-x₀|<|z_n-z₀|, |y_n-y₀|≤|z_n-z₀|, |x_n-x₀|≤[(x_n-x₀)²+(y_n-y₀)²]^1/2=|z_n-z₀|.

Если выполн. "n≥N: |z_n-z₀|<ε, то "n≥N: |x_n-x₀|<ε₁, |y_n-y₀|<ε₂ => выполн усл-е (2).

Обратно из (2)=>(1), т.к. |z_n-z₀| =[(x_n-x₀)²+(y_n-y₀)²]^1/2, |x_n-x₀|<ε₁, |y_n-y₀|<ε₂.

Пусть ε=max(ε₁,ε₂), то |z_n-z₀|<[ε²+ε²]^1/2=εÖ2.■

Замеч: Из Т1 =>, что теория пределов последовательностей действ. чисел может быть перенесена на компл. числа.

В частности имеет место Т2 Критерий Коши: Для того, чтобы {z_n} имела конечн. предел (была сходящ) необх. и дост., чтобы "ε>0 $N(ε): "n≥N и"m≥N: |z_n-z_m|<ε. Или "pÎN: |z_n+p-z_n|<ε. РИС2

2. Предел функции. Теорема о связи предела функции комплексного переменного с пределами функций действительного переменного. Непрерывность. Равномерная непрерывность.

Функции компл. переменного.

Опр. Закон f^-1 по котор. " образу wÎE_w ставится в соотв-е одно или несколько его прообразов zÎЕ_z наз-ся ф-цией z=f^-1(w) обратной по отнош. к w=f(z).

Замеч: Re[f(z)]=Re[f(x+iy)]=U(x,y); Im[f(z)]=V(x,y). Т.о. w=f(z)=U(x,y)+iV(x,y).

Задание f(z) равносильно заданию двух ф-ций от двух действ. переменных U(x,y) и V(x,y).

Предел функции, непрерывность.

Опр1.(Коши) Пусть w=f(z) задана на E_zÎC_z и z₀ – предельная точка этого мн-ва.

а) Число w₀≠∞ наз. пределом ф-ции f при z→z₀, если "ε>0 $δ(ε)>0: "zÎE_z: 0<|z-z₀|<δ=>|f(z)-w₀|<ε. lim(f(z))=w₀ при z→z₀.

б) ∞ есть предел f(z) при z→∞, если "ε>0 $δ(ε)>0: "zÎE_z: |z|>δ=>|f(z)|>ε. lim(f(z))=∞ при z→∞.

Опр (Гейне) Число w₀≠∞ есть предел f(z) при z→z₀, если "{z_n}:("n: z_n≠z₀;z_nÎE;z→z₀): {f(z_n)}→w₀.

3.Производная ФКП. Дифференцируемость и дифференциал. Критерий дифференцируемости.

Производные

Пусть ф-ция w=f(z) опред. на некот. открыт. мн-ве DÎC с предельн. точкой z₀ÎD. Если $ lim((f(z₀+Δz)-f(z₀))/Δz) (при Δz→0) (1) при произвольн. стремлении Δz к нулю, то этот предел наз-ся производной ф-ции f в т.z₀. Обозн: f '(z₀); df(z)/dz |_z=z0. При этом ф-ция f наз-ся моногенной в т.z₀.

Дифференцируемость и дифференциал.

Пусть однозначная ф-ция опред-на на мн-ве DÎC и т. z₀ÎD предельная точка. Ф-ция f (w=f(z)) наз. диф-мой в т.z₀, если её приращение в т.z₀ можно представить в виде Δw=Δf(z₀)=f(z₀+Δz) – f(z₀)=AΔz+α(z₀, Δz) (2), где A=A(z₀)=const.; α(z₀, Δz)=о(|Δz|),т.е. lim(α(z₀, Δz)/Δz)=0 (при Δz→0). (3); Δz=Δx+iΔy; |Δz|=[Δx²+Δy²]^1/2.

Опр. Главн. лин. относит. Δz часть приращ. ф-ции w=f(z) в т.z₀ наз. диф-лом ф-ции f в т.z₀ и обозн. символом df(z₀) или dw=df(z₀)=A(z₀)Δz (4).

Тh. Для того, чтобы ф-ция f была диф-ма в т.z₀ необх. и дост., чтобы она была моногенной.

Док-во: 1)Необх.

Пусть w=f(z) диф-ма в т.z0. Тогда Δw=AΔz+о(|Δz|). След-но (при Δz→0) lim(Δw/Δz)=A+(о(|Δz|)/Δz)=A=f '(z₀).

4. Условия Коши-Римана (C-R). Необходимые и достаточные условия моногенности(диф-ти) ФКП. Определение аналитической функции в области и в точке.

Th. Пусть f(z)=w=U(x,y)+iV(x,y) опред. в нек. окр-ти и в самой т.z₀. Для того, чтобы эта ф-ция была диф-ма в т.z₀, необх. и дост. чтобы ф-ции U и V были диф-мы в т.z₀=(x₀,y₀) и чтобы в этой точке выполнялось условие Коши-Римана(C-R) (1): { ∂U/∂x=∂V/∂y; ∂U/∂y=-∂V/∂x.

Док-во:

1) Необх.

Пусть ф-ция f диф-ма в т.z₀. Тогда Δf(z₀)=ΔU+iΔV=f '(z₀)Δz+ō(Δz).

Пусть f '(z0)=B+iC, а ō(Δz)=ō₁(Δz)+iō₂(Δz), B,CÎR; ō₁(Δz),ō₂(Δz) – функ.действ. переменных б.м.

Тогда ΔU+iΔV=(B+iC)(Δx+iΔy)+ō₁+iō₂ (2)

(3) { ΔU=BΔx+CΔy+ō₁; ΔV=CΔx+BΔy+ō₂.

Это означ., что ф-ции U и V диф-мы в т.z₀=(x₀,y₀). Из рав-в (3) вытекает, что

(4) {B=∂U/∂x=∂V/∂y; C=-∂U/∂y=∂V/∂x.

Т.о. выполн. усл-я C-R(1).

2) Дост.

Пусть U и V диф-мы в (x₀,y₀) и выполн. (1). Тогда справедл. рав-ва (3). След-но справедл. соотн. (2). Это означает, что Δf(z₀)=(B+iC)Δz+ō₁+iō₂. Это означ, что w – диф-ма в т.z₀=(x₀,y₀).■

Замеч: 1) В частн. усл-я Th выполн., если ф-ции U и V имеют непр.

5. Геометрический смысл аргумента производной.

Пусть задана гладкая кривая Жордана γ, кот. опред. соотн. z=x(t)+iy(t), α≤t≤β.

γ: {x=x(t); y=y(t). α≤t≤β.

Причем z₀Îγ; z₀=z(t₀), t₀Î(α,β). z₀ – внутр. точка этой кривой. Т.к. дуга гладкая, то z'(t₀)≠0. {есть рис.}

Пусть задано отобр. w=f(z) и пусть Г - образ γ при этом отображении. Мы также потребуем, чтобы отобр. f было аналитично в т.z₀. и f '(z₀)≠0. Тогда Г будет иметь вид: w=f(z(t)) и w'= f '(z₀)·z'(t)≠0. (1)

Из ф-лы (1) видно, что Г имеет касат. в т.w₀=f(z₀). Т.к. при перемножении ФКП аргументы складываются, то из (1) следует, что arg(w'(t₀))=arg(f '(z₀))+arg(z'(t₀)); arg(f '(z₀))=arg(w'(t₀))- arg(z'(t₀)) (2) q=y-j.

Здесь q - угол поворота дуги γ в т.z₀ при отображ. w=f(z). Отсюда вытекает след. геом. смысл производной: Аргумент производной f '(z₀) равен углу поворота дуги γ в т.z0 при отображ. w=f(z).

Пусть теперь γ₁ – некот. гладкая кривая Жордана, не совпад. с γ, а Г₁ – образ γ₁. Пусть отображение – то же самое.

Тогда согласно (2): arg(f '(z₀))=arg(w₁'(t₀))-arg(z₁'(t₀)) (3) и согласно (2) и (3) имеем: arg(w'(t₀))-arg(z'(t₀))=arg(w₁'(t₀))-arg(z₁'(t₀)) (4). Соотн. (4) означает, что угол между дугами γ и γ₁ в т.z₀ – т. пересеч. γ и γ₁ – равен углу между их образами Г и Г₁ в т.w₀. {есть рис}

Если f(z) – аналитична в нек. окр-ти т.z₀. и f '(z₀)≠0, то при отображении w=f(z) имеет место закон сохранения углов между

6. Конформное отображение

Опр. Непр. в некот. окр. т. z₀ отображ. w =f(z) наз. конформным, если оно сохраняет углы между кривыми, проход. через эту точку и локальн. коэф-нт ǽ в т. z₀ одинаков по всем напрвл.

Опр. Отобр. конформно в обл. если оно конформно в кажд. т. этой обл-ти.

Замеч. Из предыдущ. след., что если ф-ция анал. в некотор. обл. т. z₀ и f ’(z₀) ≠0, то f(z) – конформно отобр. нек. окр. т. z₀.

Основные теоремы теории конформных отображений

Тh1. О сохранении области

Если ф-ция w =f(z) – аналитична в однолистна в области D, но f ’(z) ≠0 и w =f(z) – кон-формно отобр. некот. обл. D на G. Причем обратн. ф-ция Z=f ^-1 (ω) аналитич. в области G.

Тh2. Римана.

Пусть граница односвязн. области D Э C_z сост. более, чем из 1 точки тогда существ. аналит. функции., которые отобр. обл. D на внутренность единичн. круга, причем только 1-на из этих ф-ий переводит задан. т. z₀ Э D и выходящее из нее задан. направление в задан. точку w₀ и выходящ. из нее задан. напрвление.

Th3. О соответствии границ.

Пусть D и G – две обл.-ти, огранич. замкнт. кривыми Жордана ∂D; ∂G соответственно. Если ф-ия f комформно отображ. D на G , то она взаимнооднозначно и непрерывн. отобр. обл-ть D* = D U ∂D ; G* = G U ∂G; с сохран. напрвл. обхода границ.

2. Замеч. Опред. пределов по Коши и по Гейне эквив-ны. Без док-ва!■

Тh3(эквивалентности). Сущ-е предела (при z→z₀) lim(f(z))=w₀=a+ib эквивалентно сущ-ю limU(x,y)=a (при x→x₀, y→y₀); и limV(x,y)=b (при x→x₀, y→y₀), где z₀=x₀+iy₀; f(z)=U(x,y)+iV(x,y).

Док-во: аналогичн. соотв. Т о послед. пределов.■

Т.о. св-ва пределов ф-ций действ. перем. переносятся на св-ва пределов ф-ций комплексн.перем.

Опр2. Ф-ция f(z), опред. на E непр. в z₀ÎE, если:

1) f(z) определена в некот. окрестн. т.z₀,

2) сущ-ет lim(f(z)) (при z→z₀),

3) lim(f(z))=f(z₀) (при z→z₀).

Опр3. Ф-ция наз-ся непрерывн. на мн-ве E, если она непр. в " точке E.

Равномерная непрерывность.

Опр4. f(z) наз-ся равномерно непр. на мн-ве E, если: "ε>0 $δ>0: "z'ÎE и "z''ÎE: |z'-z''|<δ=>|f(z')- f(z'')|<ε.

Тh Кантора: Ф-ция, непр. на замкн. мн-ве, равномерно непр. на этом мн-ве.

Док-во: Следует из Th действит. анализа и из Th3.

1.

4. частн. произв. в (x₀,y₀) и выполн. усл-е C-R.

2) Если ф-ция диф-ма, то произв. можно считать по любому направлению. Если Δz=( Δx,0)

Δw/Δz=(Δu+iΔv)/ Δx= Δu/Δx+i(Δv/Δx) -> ∂u/∂x+i(∂v/∂x)= f '(z₀); Если Δz=( 0, Δy)

Δw/Δz=(Δu+iΔv)/ iΔy= -i(Δu/Δy)+(Δv/Δy) -> -i(∂u/∂y)+∂v/∂y= f '(z₀)

3) Если z=r·e^iφ {x=r·cosφ; y=r·sinφ.

f(z)=U(r,φ)+iV(r,φ).

(4)(C-R) { ∂U/∂r=∂V/(r·∂φ); ∂U/(r·∂φ) =-∂V/∂r.

Аналитические ф-ции.

Если w=f(z) однозн. в обл. D и диф-ма в этой обл., то она наз-ся аналитичн. в этой области, а также регулярной и голоморфной.

Понатие ф-ции, аналитичн. в точке.

Говорят, что ф-ция f(z) аналитичн. в т.z₀, если она аналитична в некот. окр-ти этой точки.

Замеч: Условия диф-ти и аналитичности ф-ции f(z) в области совпадают, однако усл-я аналитичности в точке содержат больше требований, чем усл-я диф-ти.

Замеч: 1) Ф-ция w(z)=U(x,y)+iV(x,y) аналитичн. в обл. D <=> когда: а) Ф-ции U и V диф-мы в обл-ти D. б) Выполн. условие C-R

2) Если ф-ции f(z) и φ(z) – аналит. в обл-ти D, то также в этой области аналит-ны ф-ции: f ± φ; φ·f; f/φ (φ≠0).

3) Если w=f(z) аналит. в обл. D и w=φ(w) аналит. в обл. D и имеет смысл сложная ф-ция w=φ(f(z)) опр. в обл. D, то эта ф-ция аналит. в обл. D, что следует из того, что w'_z= φ'(w)·f '(z).

3. 2) Дост.

Пусть f(z)=w моногенна в т.z₀. Тогда по опред. моногенности (f(z₀+Δz)-f(z₀))/Δz=A+β(z₀+Δz).

Отсюда получим: (5) f(z₀+Δz)=AΔz+β(z₀,Δz)Δz. (β(z₀,Δz)Δz=о(|Δz|) при Δz→0). Это означ, что f диф-ма в т.z₀.■

Замеч: 1) Из соотн (5) следует, что в случае моногенности ф-ции f в т.z₀, f явл. непр. в этой точке (т.к. Δf→0 при Δz→0). Обратное неверно.

2) Из этой Th следует, что df(z₀)=f '(z₀)Δz.

3) Ф-ция f(z)=z моногенна всюду на C, т.к. f '(z)=lim(Δz/Δz)=1 при Δz→0.

4) dz=1·Δz => dz=Δz; df(z₀)=f '(z₀)dz (6); f '(z₀)=df(z₀)/dz

6. Тh4. О взаимоодназначн. соотвествии

Пусть G и D - 2 одинаковые обл-ти, огранич. замкнт. кусочно-гладк. кривыми Жордана ∂D и ∂G соотв. Если аналит. в обл. D ф-ии взаимоодназ. и непр. отображ. ∂D и ∂G c сохр. обхода, то эта ф-ия конформно отобр. обл. D и обл. G. РИС2

5. кривыми, проходящими через т.z₀, как по величине, так и по направлению их отсчета. РИС

Геометрический смысл модуля производной

Рассм. те же условия и кривые: (Вопрос 5)

| d z₀| = [ [x’(t₀)]² + [y’(t₀)]² ]^1/2 dt = ds₀, | d w₀| = [ [U’(t₀)]² + [V’(t₀)]² ]^1/2 dt = dS₀.

| f ’(z₀)| = (|dw/dz|) |_{z= z0} = (d S₀)/(d s₀) (5)

ǽ= (d S₀)/(d s₀) - есть коэф.-нт лин. растяж. дуги γ в т. z₀ при отображ. w = f(z). т. е. геом. смысл модуля производной заключен в том, что |f ‘(z₀)| = коэф.-нту лин. растяж. дуги в т. z₀ при задан. отобр. Это локальн. коэф. растяж. и он не зависит от направления.