Шпоры к экзамену / Шпоры / мал25-30

25. Теорема Сохоцкого.

Теорема. Если z­₀C – существенно особая точка для F(z), то для любой АС существует последовательность {z_k}(k: z_kz₀, z_k->z₀), такая, что lim_k->f(z_k)=A.

Док-во. 1. Пусть A= => F(z) не ограничена в каждой окресности z₀ (>0 и M>0 z: 0<|z-z₀|< => |F(z)|>M). В частности nN z_n : 0<|z_n-z₀|<1/n и |f(z_n)|>n => {z_k}k: z_kz₀, z_k->z₀) и f(z_n)->  при n->. 2. Пусть A. Может случиться ,что в окрестности z₀ - F(z)=A, тогда теорема справделива. Пусть F(z)A в достаточно малой окрестности z₀, тогда (z)=1/(F(z)-A) будет аналитична в этой окресности всюду, кроме, быть может z₀, которая является изолированной особой точкой, эта z₀ может быть только существенно особой точкой, т.к. если бы существовал конечный или бесконечный lim_z->z0(z) (т.е. z₀ была бы устранимой или полюсом), то существовал бы конечный или бесконечный lim_z->z0F(z)=lim_z->z0[A+1/(z)], что для F(z) невозможно, т.к. z₀ – существенно особая точка => z₀ – существенно особая точка для (z), но тогда по доказанному в п. 1 существует {z_n}-> z₀, такая, что lim_z->z0(z)= => lim_z->z0f(z)=A.

26. Вычет аналитической функции в изолированной особой точке. Вычисление вычета с помощью производной. Вычет в изолированной особой точке (бесконечность).

Пусть z₀ – изолированная особая точка функции F(z), тогда она аналитична в некотором кольце K: 0<|z-z₀|<R.

Опр 1. Вычетом функции F(z) в изолированной особой точке z₀ называется число Res_z=z0[F(z)]=(1/2i)_CF(z)dz (1). C_: |z-z₀|=, 0<<R.

Зам 1. Если  - замкнутая кривая Жордана и К, то по обобщенной теореме Коши: Res_z=z0F(z)=(1/2i)_+F(z)dz (2).

Зам 2. По теореме Лорана в кольце К: F(z)=_k=-^k=+[C_k(z-z₀)^k], C_k=(1/2i)[F(z)/(z-z₀)^k+1]dz. При k=(-1),то Res_z=z0[F(z)]=(1/2i)_CF(z)dz=C_-1 (3).

Зам 3 (вычисление вычетов с помощью производной). Пусть z₀ - полюс порядка n для F(z), тогда F(z)=C-_n(z-z₀)^-n +…+ C-₁(z-z₀)^-1 + C₀ + C₁(z-z₀) +… (ряд Лорана). Домножая обе части равенства на (z-z₀)ⁿ, дифференцируя n-1 раз и переходя к пределу z->z₀ получаем: lim_z->z0(d^n-1/dz^n-1) *[(z-z₀)ⁿ F(z)] =(n-1)!C_-1 =>

C_-1= Res_z=z0[F(z)]=[1/(n-1)!]*lim_z->z0(d^n-1/dz^n-1) [(z-z₀)ⁿ F(z)] (4).

Зам 4. Пусть z₀-полюс 1 порядка для F(z)=(z)/(z), где функции  и  аналитичны в кольце К, причем (z₀)0, (z₀)=0, ’(z₀)0. Тогда

27. Основная теорема о вычетах. Теорема о сумме вычетов.

Теорема 1 (основная). Пусть D – конечная односвязная область, ограниченная кусочно-гладкой кривой C Жордана, а функция F(z) аналитична в D и непрерывна в D*=DC всюду, кроме конечного числа изолированных особых точек a_kD, k=1,…,n. Тогда _СF(z)dz=2i*_k=1ⁿ Res_z=ak[F(z)] (1).

Док-во. Построим круги D_k: |z-a_k|<_k, C_k – граница круга, круги принадлежат D и попарно не пересекаются. Применим обобщенную теорему Коши к n+1 связной области D**=D_k=1ⁿD*. Граница этой области С**=СС₁^- … С_n^- : _СF(z)dz=_k=1ⁿ[_СkF(z)dz]=2i*_k=1ⁿ[(1/2i) _СkF(z)dz]= 2i*_k=1ⁿ Res_z=ak[F(z)]

Теорема 2 (о сумме). Если функция F(z) аналитична на комплексной плоскости всюду, кроме конечного числа точек a₁…a_k, то _k=1ⁿ Res_z=ak[F(z)]+ Res_z=[F(z)] = 0 (2).

Док-во. Пусть C_R: |z|=R – окружность столь большого радиуса, что k |a_k|<R, тогда _СrF(z)dz=2i*_k=1ⁿ Res_z=ak[F(z)], но _СrF(z)dz= -_Сr-F(z)dz= -2i*Res_z=[F(z)] => _k=1ⁿ Res_z=ak[F(z)]+ Res_z=[F(z)] = 0 РИС2

28. Вычисление интегралов с бесконечными пределами с помощью вычетов.

Лемма 1. Пусть функция F(z), z=x+iy аналитична в полуплоскости ImZ>0, всюду, кроме конечного числа особых точек z_k, причем на действительной оси ImZ=y=0 эта функция может только лишь полюсы первого порядка. Тогда если lim_R->[max_zCr|zF(z)|]=0, где Cr – верхняя полуокружность |z|=R, ImZ>0, то _-^+ f(x)dx=2i*_k=1ⁿ Res_z=zk[F(z)]+ i*_p=1^m Res_z=zp[F(z)] (1), где z_k – особые точки функции F(z) в верхней полуплоскости, z_p – особые точки функции F(z) на действительной оси y=0. Интеграл (1) понимается в смысле главного значения.

Док-во. Для простоты будем вести доказательство из условия того, что на X находится только один полюс 1 порядка - . Рассмотрим замкнутый контур С=С_R[-R,-r]C_r[+r,R], где C_R-полуокружность настолько большого радиуса, что max|z_k|<R, max|z_p|<R, а C_r –полуокружность радиуса |z-|=r настолько малого, что F(z) аналитична в 0<|z-|<r. По основной теореме о вычетах {{ Теорема 1 (основная). Пусть D – конечная односвязная область, ограниченная кусочно-гладкой кривой C Жордана, а функция F(z) аналитична в D и непрерывна в D*=DC всюду, кроме конечного

29. Оригинал и изображение по Лапласу. Лемма об абсолютной сходимости интеграла

Опр 1. Всякая комлекснозначная функция F(t) действительной переменной t (-<t<+) называется оригиналом, если она удовлетворяет следующим условиям: 1) F(t)0 при t<0. 2) F(t) непрерывна на любом конечном отрезке оси t, всюду быть может за исключением конечного числа точек, где она может иметь разрывы 1 рода. 3) При t-> F(t) растет не быстрее экспоненты, т.е. M=M(f)>0 и S=S(f)>0, что |F(t)|<M*exp(St) (1).

Пусть {S} – множество всех значений S, для которых справедливо (1), тогда S₀=inf{S} называется показателем роста F(t) при t->+.

Опр 2. Изображением или образом (по Лапласу) оригинала F(t) называется функция F(p), комплексного переменного p=S+i, которая определяется по формуле F(p)=₀^+exp(-pt)*F(t)dt (2).

Лемма 1. Если F(t) является оригиналом, то для n=0,1,2… интеграл ₀^+(dⁿ[exp(-pt)*F(t)]/dpⁿ)dt сходится в области Re(p)>>S₀.

Док-во. Сделаем оценку сначала с помощью неравенств, затем по частям |₀^+(dⁿ[exp(-pt)*F(t)]/dpⁿ)dt|=|₀^+((-t)ⁿ exp(-pt)*F(t))dt| < ₀^+(tⁿ |exp(-pt)|*|F(t)|)dt < M*₀^+(tⁿ exp((-S-S₀)t))dt (3). Пояснение : |F(t)|<=M*exp(S₀t), |exp(-pt)|=|exp(-(S+i)t) |=exp(-St). Интегрируем по частям: ₀^+((tⁿ/n) exp(-(S-S₀)t))dt=[-tⁿ/(S-S₀)]exp(-(S-S₀)t)_t=0|^t= + [n/(S-S₀)]₀^+((t^n-1/n) exp(-(S-S₀)t))dt=[n/(S-S₀)]₀^+(t^n-1 exp(-(S-S₀)t))dt = … =[n!/(S-S₀)ⁿ]₀^+ exp(-(S-S₀)t)dt= n!/(S-S₀)ⁿ⁺¹ < n!/(-S₀)ⁿ⁺¹ (4). Таким образом |₀^+(dⁿ[exp(-pt)*F(t)]/dpⁿ)dt| < ₀^+|dⁿ[exp(-pt)*F(t)]/dpⁿ|dt < n!/(-S₀)ⁿ⁺¹=const. (5).

30. Теорема об аналитичности изображения оригинала.

Теорема. Изображение F(p)=₀^+exp(-pt)*F(t)dt оригинала F(t) является аналитичной функцией в области Re(p)>S₀, где S₀ – показатель роста, причем в этой области F⁽ⁿ⁾(p)=₀^+(dⁿ[exp(-pt)*F(t)]/dpⁿ)dt.

Док-во. Для n=1.; R(p, p)=(F(p+p)-F(p))/p - ₀^+(-t*exp(-pt)*F(t))dt= ₀^+(exp(-pt)*F(t)[exp(-pt)/p + t – 1/p])dt. Оценим величину в []: |exp(-pt)/p + t – 1/p|=|_k=1^[(-t*p)^k/(k!* p)]+t| = |_k=2^(-t*p)^k/(k!* p)| = |t²p*_k=2^(-t*p)^k-2/k!| = |t²p*_k=0^(-t*p)^k/((k+2)!)| < t²|p|*_k=0^(t*|p|)^k/k!= t²|p|exp(|p|t). Таким образом: |R(p, p)| < M*|p|₀^+ t²exp(-(S-S₀-|p|)t)dt. Интегрируя 3 раза по частям: |R(p, p)| < 2M*|p|/(S-S₀-|p|)³. При p->0 получаем, что R(p, p)->0.

26. согласно формуле 4: Res_z=z0[(z)/(z)]=lim_z->z0[(z-z₀)*(z)/(z)]=lim_z->z0[(z)/[((z)-(z₀))/(z-z₀)]]=(z₀)/’(z₀).

Вычисление в бесконечности. Пусть z= - изолированная особая точка для F(z), тогда существует такое кольцо К: R<|z|<+ где F(z) – аналитична.

Опр 2. Вычетом функции F(z) в изолированной особой точке  называется число Res_z=[F(z)]=(1/2i)_C-F(z)dz (5). C_: |z|=, R<<+.

Зам 5. Т.к. в кольце R<|z|<+ F(z)= _k=-^k=+ [C_k*z^k], где C_k=(1/2i)[F(z)/(z-z₀)^k+1]dz, то С_-1= (1/2i)_C-F(z)dz= -(1/2i)_C+F(z)dz => Res_z=[F(z)]= -C_-1.

25.

28. числа изолированных особых точек a_kD, k=1,…,n. Тогда _СF(z)dz=2i*_k=1ⁿ Res_z=ak[F(z)] (1). }}

_СF(z)dz=(_СR+ _-R^{ - r}+ _Сr+ _+r^R)F(z)dz =2i*_k=1ⁿ Res_z=zk[F(z)] (2) По условию Леммы >0 R₀()>0 r: |z|>R₀: |zF(z)|</. Тогда если R>R₀ |_СRF(z)dz|< _СR|zF(z)|*|dz/z|</*R/R= => lim_R->[ _СRF(z)dz]=0 (3)/ На окружности теорема доказана. Рассмотрим ось X. F(z) аналитична в кольце 0<|z-|<r и отсюда следует, что по теорема Лорана она представляется в этом кольце в виде: F(z)=C_-1/(z-) +(z) (4) (z) – аналитична и ограничена на Cr. С_-1= Res_z=[F(z)]. _СrF(z)dz=С_-1*_Crdz/(z-) + _Cr(z)dz = -iС_-1 + _Cr(z)dz, поскольку: 1) _C+dz/(z-)=2 на |z-|=r. 2) M>0: |(z)|<M на Cr и |_Cr(z)dz|< _Cr|(z)||dz| < M*r*₀^d=*M*r, поскольку z=|z|*exp(i) => dz=i|z|exp(i)d => |dz|=|z|d=rd. Таким образом принимая во внимание пункты 1 и 2 и переходя к пределу, получаем lim_r->0[_СrF(z)dz]=-iRes_z=[F(z)] (5). Переходя в (2) к пределу r->0, R->+ и учитывая (5), получим vp(_-^+ f(x)dx)=2i*_k=1ⁿ Res_z=zk[F(z)]+ i*Res_z=[F(z)]. РИС

27.

30.

29.