Шпоры к экзамену / Шпоры / мал19-24

19. Ряд Тейлора. Теорема о разложении аналитической ф-ии в ряд Тейлора.

Опр. Пусть ф-ия f(z) аналитична в U(z₀,R), * тогда ряд _k=0å^¥[[f^(k)(z₀)/k!]*(z-z₀)^k] (1) наз рядом Тейлора этой ф-ии с центром разложения в т-ке z₀.

Th. (О разложении аналит ф-ии в ряд Тейлора). Если ф-ия f(z) аналит в обл D, то для каждой т-ки z₀ÎD $ круг U(z₀,R) причем U(z₀,R) Î D, где ф-ия f(z) представима рядом Тейлора f(z) = _k=0å^¥[C_k*(z-z₀)^k]; C_k =(f^(k)(z₀))/(k!) и это представление единственно.

Док-во: Построим круг U(z₀,R) такой, чтобы U(z₀,R) Î D. Граница круга - C_r. Пусть z - произвольная т-ка круга, z Î U(z₀,R) в этой т-ке справедлива интегральная форма Коши: f(z) = (1/2pi)_Crò[(f(x))/(x-z)]dx (1) xÎ C_r. имеет место равенство: 1/(x-z) = 1/(x-z₀-z+z₀) = [1/(x-z₀)]*[1/[(z-z₀)/(x-z₀)]] (2) И пусть (z-z₀)=r Тогда (z-z₀)/(x-z₀) = r/r < 1

20. Нули аналитической функции. Порядок нуля. Теорема об изолированности нулей аналитической функции.

Определение 1. Пусть функция f(z)определена в области D, точка aD называется нулем или корнем функции f, если f(a)=0.

Порядок нуля. Пусть f(z) аналитична в некоторой окрестности U(a) и f(z)0. Тогда по теореме Тейлора {{ Th. (О разложении аналит ф-ии в ряд Тейлора). Если ф-ия f(z) аналит в обл D, то для каждой т-ки z₀ÎD $ круг U(z₀,R) причем U(z₀,R) Î D, где ф-ия f(z) представима рядом Тейлора f(z) = _k=0å^¥[C_k*(z-z₀)^k]; C_k =(f^(k)(z₀))/(k!) и это представление единственно.}} ,

в окрестности U(a) функция f(z) представима рядом Тейлора f(z)=_k=0_­^ C_k(z-a)^k (1)и этот ряд имеет отличные от нуля коэффициенты.

Если в разложении (1) коэффициенты C₀=C₁=..=C_n-1=0 ,но C_n0 то

21. Ряд Лорана. Теорема о разложимости аналитической в кольце функции в ряд Лорана.

Ряды Лорана. Рядом Лорана называется ряд f(z)=_k=0_­^ C_k(z-a)^k (1),C_k,z₀ - некоторые комплексные числа ,z₀ - центр ряда. Ряд(1) можно представить в виде : I(правильная часть) _k=0_­^ C_k(z-z₀)^k +II(главная часть) _k=0_­^ C_k/(z-z₀)^k_.

Ряд(1) сходится в точке, если в точке z если в точке z сходятся ряды I и II. Сходится для I: |z-z₀|R₁, 0R₁+ . для II _k=0_­^(C-k)/(z-z₀)^k=(C-k)^k,  ^k =1/(z-z₀),этот ряд сходится в некот.круге ||r , 0r₁+ 1/(z-z₀)r  |z-z₀|1/r =R_r.

Теорема Лорана(о разложимости аналитической в кольце функции в ряд Лорана.)

Если функция f(z) аналитична в кольце k: 0r|z-z₀|R=+ то она в этом кольце представима рядом Лорана: f(z)= _k=-_­^+ C_k(z-z₀)^k (2) где C_k=1/2i_Cf()/(-z₀)^k+1d (3) C_ : |-z₀|=, rR

Доказательство: Пусть zk – любая точка . Очевидно существует k₁: rr₁|z-z₀|R₁R. zk₁(k- открытое множество) т.к.f(z) –аналитична в кольце (включая его границы), то для точки zk₁ , справедлива интегральная форма Коши f(z)=1/2i_CR1(f()/(-z))d-1/2i_Cr1(f()/(-z))d (4) . Пусть C_R1 , тогда |z-z₀/-z₀|=|z-z₀|/|-z₀|1

22.Область равномерной сходимости ряда Лорана. Единственность разложения функции в ряд Лорана.

Ряды Лорана. Рядом Лорана называется ряд f(z)=_k=0_­^ C_k(z-a)^k (1),C_k,z₀ - некоторые комплексные числа ,z₀ - центр ряда.

ряд Лорана: f(z)= _k=0_­^C_k(z-z₀)^k+ _k-_­^-1C_k(z-z₀)^k= - _k=-_­^+C_k(z-z₀)^k (2) ,

Доказательство. Правильная часть ряда Лорана (2) есть степенной ряд , поэтому на основании теоремы Абеля он сходится равномерно в круге |z-z₀|R ,01. Главная часть ряда Лорана сходится вне круга |z-z₀|r следовательно сходится равномерно на множестве |z-z₀|=r/ , где 01 . Итак , ряд Лорана сходится равномерно в кольце r/|z-z₀|R, где 01 и где r/R.

Теорема (единственность разложения в ряд Лорана) Разложение функции f(z) в ряд Лорана в кольце k: r|z-z₀|R единственно.

Доказательство. Пусть f(z)=_k=-_­^ C_k(z-z₀)^k = _k=-_­^ b_k(z-z₀)^k (3). Зафиксируем любое число n=0,+-1;+-2,.. и умножим обе части равенства на (z-z₀)^n-1 , полученный результат, проинтегрируем почленно по окружности |z-z₀|= , что возможно согласно равномерной сходимости рядов, причем rR. Известно что интеграл _|z-z0|=(z-z₀)^mdz={2i,m= -1;0,m-1 (4) . Используя (4) , получаем следующее 2iC_n=2ib_nCn=b_n .Единственность доказана

23. Выражение коэффициентов ряда Лорана. Неравенство Коши. Теорема Лиувиля.

Пусть f(z) аналитична в кольце k: r|z-z₀|R  |C_n|=1/2_C(|f()|/(|-z|)^k+1)|d| =(1/2)(M()/^k+1)2=M()/^k=|C_k|= M()/^k. M()=max|f(()|, C_._C|d|=2.

Теорема Лиувиля. Если f(z) аналитична и ограничена на комплексной плоскости C то она является постоянной. Доказательство. По теореме Лорана в кольце 0|z|+ (центр-начало координат r=0,R=+все комплексные плоскости) {{{ Теорема Лорана(о разложимости аналитической в кольце функции в ряд Лорана.)Если функция f(z) аналитична в кольце k: 0r|z-z₀|R=+ то она в этом кольце представима рядом Лорана: f(z)= _k=-_­^+ C_k(z-z₀)^k (2) где C_k=1/2i_Cf()/(-z₀)^k+1d (3) C_ : |-z₀|=, rR }}}.

f(z)= _k=-_­^ C_kz^k , где |C_k|=M/^k так как M=const ,-произвольнаяС_k=0 и при k=0 остаются только C₀. Отсюда следует, что f(z)=C₀=const.

(неравенство Коши …………..)

24. Изолированные особые точки, их классификация. Поведение аналит.фун-и в окр.изолиров.точек различ типов

20. говорят , что точка a – это нуль n–го порядка функции f(z). Ясно что f(a)=0=C₀.

Теорема 1. (об изолированности нулей аналитической функции).Функция f(z) аналитична в окрестности U(a) своего нуля a порядка n.. Тогда существует окрестонсть U₁(a) , где нет никаких других нулей , кроме а и f(z) представима в виде : f(z)=(z-a)ⁿ(z) где (z) аналитическая функция и (z)0 в U₁(a).

Доказательство: Из условия теоремы следует , что функция представима в окрестности U(a) рядом Тейлора: f(z)=C_n(z-a₀)ⁿ+ C_n+1(z-a₀)ⁿ⁺¹+…=(z-a)ⁿ(C_n+ C_n+1(z-a₀)+ C_n+2(z-a₀)² +..)=(z-a)ⁿ(z).Здесь (z) аналитическая функция как сумма сходящегося степенного ряда (z) – непрерывна в точке а, т.к. C_n0 (a)0 . В следствии непрерывности (z) в точке a существует окрестность U₁(a), где (z)0. т.о. функция f(z)=(z-a)ⁿ(z) не имеет других нулей , кроме а в этой окрестности.

19. для "xÎC_r Þ Выражение (2) есть сумма геометрической прогрессии 1/(x-z) = _k=0å^¥(z-z₀)/k!]

_k=0å^¥[(z-z₀)^k/(x-z₀)^k+1(3). Ряд справа в (3) сход на окружнсти C_r т.к. [(z-z₀)^k/(x-z₀)^k+1]^1/k=q<1. По этому его можно почленно интегр. Умножим обе чати (3) на f(x)/(2pi) которая ограничена на C_r. Результат проинтегрируем по C_r почленно: (1/2pi)_Crò[(f(x))/(x-z)]dx = _k=0å^¥[(1/(2pi) _Crò[(f(x))/(x-z₀)^k+1]]dx*(z-z₀)^k (4) или согласно (1) можно записать: f(z) = _k=0å^¥[C_k*(z-z₀)^k] где C_k = [(1/(2pi) _Crò[(f(x))/(x-z₀)^k+1]]dx = (f^(k)(z₀))/(k!) (5). #

Док-во единственности:

Пусть f(z) = _k=0å^¥[b_k*(z-z₀)^k], b_k = (f^(k)(z₀))/(k!) k=1,2,3

22.

21. для С_R1, 1/(-z)=1/(-z₀+z-z)= 1/(-z₀)_*1/(1-(z-z₀/-z₀)), 1/(-z)= _k=0_­^(z-z₀)^k/(-z₀)^k+1 (5).В силу равномерной сходимости по C_R1 ряда (5), его можно почленно интегрировать по окрестности C_R1. Умножим обе части равенства (5) на f()/2i и проинтегрируем левую и правую части по C_R1 . 1/2i*_CR1(f()/(-z))d=_k=0^(1/2i*_CR1(f()/(-z)^k+1)d(z-z₀)^k ; 1/2i_CR1(f()/(-z))d= _k=0^C_k(z-z₀)^k (6); C_k= 1/2i_CR1(f()/(-z)^k+1)d (7). Рассмотрим интеграл по C_R1: _CR1(f()/(-z))d (8) из формулы (4). Для этого случая будет соотношение такое |(-z₀₎/(z-z₀₎|1, C_r; 1/(-z)=1/(-z₀+z₀-z)= (-1/(z-z₀₎)(1/(1-(-z₀/z-z₀))). Получим аналогично предидущему : 1/2i_CR1(f()/(-z))d= -_k=1^[1/2i*_CR1(f()/(-z₀)^k+1)d]1/(z-z₀)^k Поменяем индекс суммирования k-k получим: 1/2i_CR1(f()/(-z))d= - _k-_­^-1C_k(z-z₀)^k(9) где С_k=1/2i*_Cr1f()/(-z₀)^k+1d(10). Подставив (6) и (9) в выражение для интегралов в формулу (4) получим представления f(z) в виде ряда Лорана: f(z)= _k=0_­^C_k(z-z₀)^k+ _k-_­^-1C_k(z-z₀)^k= - _k=-_­^+C_k(z-z₀)^k (11) , где коэффициенты C_k ((7) k0;(10) k0) . Вследствие аналитичности в кольце k функции f(z) и на основании обобщенной теоремы Коши интегралы в (7) и (10) не изменяются , если в качестве контура интегрирования взять любую окружность C_: |-z₀|=, а rR произвольное число  можно считать , что т.к. C_k=1/2i_C(f()/(-z))d (12) т.к.zk есть любая точка этого кольца , то теорема доказана .

24.

23.