Шпоры к экзамену / Шпоры / мал13-18

13. Первообразная. Достаточные условия $я первообразной.

Опр. Пусть ф-я f(z) определена в D. Аналитич. в этой обл. F(z) наз. первообразной для f(z), если в D: F’(z)=f(z). Очевидно, что F(z)+C, C=const, также явл-ся первообр. для f(z).

Th. Если F(z) и Ф(z) – первообр. в D для ф-ции f(z), то F(z) - Ф(z) = C

Док-во: Пусть W(z)= F(z) - Ф(z). Тогда dW(z)/dz = F’(z) – Ф’(z) = f(z)- f(z)=0 Пусть W(z) = U(x,y) + iV(x,y) Тогда

dW(z)/dz = ¶U/¶x + i¶V/¶x = ¶V/¶y - i¶U/¶y = 0 Þ

¶U/¶x = 0; ¶V/¶x = 0; ¶V/¶y = 0; ¶U/¶y = 0; Откуда следует, что U(x,y)=const; V(x,y)=const; Þ W(z) = const.

Достаточные усл-я $ первообр.:

Th. Пусть:

1. Ф-я f(z) непр. в односвязной, огр. обл D

2. " замкн. кус-гл. кривой Жордана Г: _Г(ò)f(z)dz=0

Тогда:

1)"т.aÎD, "zÎD F(z) = _aò^zf(x)dx (1) – аналитич. в D

2)"zÎD $ производная F’(z) = d\dz [_Г òf(x)dx] = f(z) (2)

F(z) – первообразная для f(z).

Док-во: Согласно 2-ому усл-ю Th. _aò^zf(x)dx не зависит от пути интегр-я. Þ не зависит от пути, соедин. точки a и z. (в лекции есть рисунок областей)

Пусть точка z+Dz (Dz¹0) Î некот. окрестности т.z, кот. Î D. Тогда

[F(z+Dz) – F(z)]/ Dz = [1/Dz]*( _aò^z+Dz f(x)dx - _aò^zf(x)dx)=[1/Dz]* _zò^z+Dz f(x)dx (3)

Вследствие незав-сти интеграла от пути будем считать g - отрезок

14. Формула Ньютона-Лейбница. Теорема Морера(достаточные усл-я аналитичности ФКП в области).

Всё это следствия из Th. и её следствия:

Достаточные усл-я $ первообр.:

Th. Пусть:

3. Ф-я f(z) непр. в односвязной, огр. обл D

4. " замкн. кус-гл. кривой Жордана Г: _Г(ò)f(z)dz=0

Тогда:

1)"т.aÎD, "zÎD F(z) = _aò^zf(x)dx (1) – аналитич. в D

2)"zÎD $ производная F’(z) = d\dz [_Г òf(x)dx] = f(z) (2)

F(z) – первообразная для f(z).

Следствие: Если ф-я f(z)- аналитич. в огр D,то " числа а и " числа zÎD ф-я F(z) = _aò^zf(x)dx явл-ся аналитич. в D и первообр. для ф-ции f(z).

Ф-ла Ньютона-Лейбница.

Если ф-я f(z) аналитична в огр. односвязн. обл. D , а Ф(z) - какя-нибудь её первообразная, то "z₁,z₂ÎD справедлива ф-ла Н-Л: _z1ò^z2f(z)dz = Ф(z₁) - Ф(z₂)

Док-во: Если Ф(z) - какя-нибудь первообразная для f(z), то

Ф(z)= _z1ò^z2f(x)dx + С, но Ф(z₁)= _z1ò ^z1f(x)dx + С = С, поэтому

Ф(z₂)= _z2ò ^z2f(x)dx + Ф(z₁), откуда и следует ф-ла Н-Л. #

Th. Морера.

Если ф-я f(z) – непр. в односв. обл. D и " спрямл. замкн. кус-гл.

15. Функциональные ряды. Достаточные услолвия равномерной сходимости (признак Виерштрасса).

_k=1∑^∞ f_k(z) (1)

Опр. Ряд (1), где f_k(z) – однозначные ф-ции, заданные на некотором мн-ве ЕЄС, наз. Функциональным рядом (ф.р.).

Опр1. Ряд (1) сходится в т. z₀, если сходится следующий числовой ряд: _k=1∑^∞ f_k(z₀). Ряд (1) сход на мн-ве Е , если он сход в любой точке Е. В этом случае его сумма – есть однозначная ф-ция на Е: f(z) = _k=1∑^∞ f_k(z).

Опр2. Ряд (1) наз равномерно сход-ся на Е, если :

1) для " ε >0 $ N(ε) : " n≥N и " zÎE: |f(z)-f_n(z)|=| _k=n+1∑^∞ f_k(z)| < ε .

2) " ε >0 $ N(ε) : " n≥N и " zÎE: sup_zÎЕ|R_n(z)|< ε, или lim_n→∞(sup_zÎЕ|R_n(z)|)=0.

{1) и 2) разные формы записи одного и того же}

Th(дост усл равн сход-ти или призн вейерштрасса) Если числовой ряд _k=1∑^∞ α_к , где для "к: α_кÎR и α_к ≥0, сходится, и для "к и " zÎE выполняется нер-во: |f_k(z)| ≤α_к , то ряд (1) сход-ся равномерно на Е.

Док-во: т.к. ряд _k=1∑^∞ α_к сход-ся , то для него выпон Крит Коши: " ε >0 $ N(ε) " n≥N и " pÎN: _k=n+1∑^n+p α_к <ε. Тогда для "к и "zÎE: |_k=n+1∑^n+p f_k(z)|≤ _k=n+1∑^n+p |f_k(z)|≤ _k=1∑^∞ α_к <ε .

16. Достаточные условия непрерывности функциональнонго ряда.

_k=1∑^∞ f_k(z) (1)

Th. Если ряд (1) сход-ся равномерно на Е к ф-ции f(z), и все его члены f_k(z) непрерывны на Е, то и f(z) также непр-на на Е.

Док-во: пусть z₀– произвольная точка Е. Т.к. ряд (1) сход. равн-но , то для " ε >0 $ N(ε) : " n≥N и " zÎE: |f(z)-S_n(z)|< (ε /3) (2) . Т.к. S_N – непр-на на Е, тогда исходя из определения непр-ти: для нашего ε >0 $ δ=δ(ε , z₀), что для "zÎE и при условии, что |z - z₀|<δ : | S_N(z) – S_N(z₀)|<(ε/3). Тогда для " z : |z - z₀|<δ , zÎE : |f(z)-f(z₀)|=|f(z)- S_N(z)+S_N(z)-S_N(z₀)+S_N(z₀)-f(z₀)|≤|f(z)- S_N(z)|+|S_N(z)-S_N(z₀)| + + |S_N(z₀)-f(z₀)|<(ε/3)+(ε/3)+(ε/3)=ε . #

{здесь |f(z)- S_N(z)|<(ε/3) и |S_N(z₀)-f(z₀)|<(ε/3) из-за равномерной сходимости

Опр2. Ряд (1) наз равномерно сход-ся на Е, если :

1) для " ε >0 $ N(ε) : " n≥N и " zÎE: |f(z)-f_n(z)|=| _k=1∑^∞ f_k(z)- _k=1∑ⁿ f_k(z)|=| _k=n+1∑^∞ f_k(z)| < ε .

2) " ε >0 $ N(ε) : " n≥N и " zÎE: sup_zÎЕ|R_n(z)|< ε, или lim_n→∞(sup_zÎЕ|R_n(z)|)=0.

{1) и 2) разные формы записи одного и того же}}

17. Степенные ряды, круг и радиус сходимости. Теорема Коши-Адамара.

Степ рядом наз ряд вида: _k=0∑^∞ c_k * (z- z₀) ^k , где c_k и z₀ -комплексные числа (const) и постоянные, а z – комплексная переменная.

_k=0∑^∞ c_k * z ^k (1)

Опр.Число R наз радиусом сход-ти ряда (1), а круг |z|<R наз кругом сход-ти ряда (1).

Замеч. Радиус мы так же можем определить на основании признака Даламбера: R= _k→∞lim (|c_k/c_k+1|) = _k→∞lim (|c_k|/|c_k+1|).

Th. Коши –Адамара

Пусть дан ряд (1). Рассмотрим предел: L = _k→∞lim (|c_k|)^1/k . Этот ряд сходится при |z|<R, и расходится при |z|>R, где R=1/L , причем R=0 если L=∞, и R=∞ если L=0.

Док-во:

_k→∞lim (|c_k* z^k|)^1/k = _k→∞lim [|z|*(|c_k|)^1/k] = L * |z| = (1/R)*|z| = q . Если |z|<R, то q<1 , следовательно сход. Если |z|>R, то q>1, следовательно расх.

18. Степенные ряды. Первая теорема Абеля. Теорема Абеля о равномерной сходимости степенного ряда. Аналитичность суммы степенного ряда внутри круга сходимости.

Степенным рядом наз ряд вида: _k=0å^¥C_k(z-z₀)^k (1), где C_k и z₀ - комплексные числа (const), а z - комплексная переменная. _k=0å^¥C_kz^k (1) z₀ – в начале координат.

Th (1ая теорема Абеля): Если ряд (1) сходится в т-ке z₀¹0, то он абсолютно сходится в круге |z|<|z₀|.

Док-во:

Т.к. (1) сходится в т-ке z₀¹0, то из T (Коши-Адамара) { Th. Коши –Адамара

Пусть дан ряд (1). Рассмотрим предел: L = _k→∞lim (|c_k|)^1/k . Этот ряд сходится при |z|<R, и расходится при |z|>R, где R=1/L , причем R=0 если L=∞, и R=∞ если L=0. } => |z₀|£R, где R – радиус круга сходимости. Значит и для круга |z|<|z₀|<R вытекает условие абсолютной сходимости. #

Th (Абеля о равномерной сход степенного ряда): Ряд (1) сходится равномерно в " замкнутом круге, если этот ряд имеет радиус

14. кривой Жордана С: _С(ò)f(z)dz=0, то f(z) – аналитична в D.

Док-во: Согласно Th(Следствию) при сделанных предположениях ф-я

f(z)= d\dz[F(z)] = d\dz[_aò^zf(x)dx], aÎD имеет аналитическую первообразную в обл. D, т.е. F’(z)=f(z) "zÎD. Тогда согласно $ю производной " порядк у аналитич. ф-ции заключ., что f(z)-аналитическая ф-я. РИС

13. прямой. Т.к. f(z) – непр. в D, то "xÎU(z), f(x)=f(z)+h(x) (4), где h(x)®0 при x®z. Т.к.путь, соедин. z и z+Dz – есть отрезок прямой, то вып-ся след. соотнош-я:{_zò^z+Dz ½ dx½=½Dz½ и _zò^z+Dz f(x)dx = f(z) Dz (6)

Так же ½[1/Dz]* _zò^z+Dz h(x)dx½£ [1/½Dz½]*max½h(x)½* _zò^z+Dz ½dx½ =

=max _xÎg ½h(x)½® 0 при Dz ®0, x®z (7)

Из этой оценки и на основании (5): lim [1/Dz]* _zò^z+Dz h(x)dx=0 при Dz®0

На основании (4),(5),(6) для правой части (3) имеем:

lim [1/Dz]*_zò^z+Dz f(x)dx = lim{ [1/Dz]* _zò^z+Dz [f(z) + h(x)dx]} =

= lim{ [1/Dz]* _zò^z+Dz f(z)dz + [1/Dz]* _zò^z+Dz h(x)dx]} = f(z) при Dz®0 (8)

Переходя к пределу в (3) при Dz®0 , учитывая (8):

F’(z) = d\dz [_aò^zf(x)dx] = f(z) (9) РИС

16.

15.

18. сходимости R³0, а 0<r<R

Док-во:

Т.к. выполняется неравенство 0<r<R, то по Th (Коши-Адамара) сход ряд _k=1å^¥|C_k|r^k, если |z|£r, то |C_kz^k|£|C_k|r^k => по дост признаку Виерштрасса ряд _k=1å^¥|C_k|z^k, - сходится равномерно в круге |z|<r. #

Замечание: если R=¥, то ряд сход равном на всей компл пл-ти.

Th: Сумма S(z) степ ряда (1) есть аналитическая ф-ия в его круге сходимости |z|<R, R>0, и в этом круге ряд можно почленно дифференцировать любое число раз, причем радиус сходимости ряда S⁽ⁿ⁾(z) = _k=10å^¥C_k(k-1)…(k-n)z^k-n (2) также равен R.

Док-во:

Все члены ряда – аналитич ф-ии в круге сход и этот ряд сход равномерно в данном круге Þ по Th (Виерштрасса о почленном диф этого ряда){{ Th(дост усл равн сход-ти или призн вейерштрасса) Если числовой ряд _k=1∑^∞ α_к , где для "к: α_кÎR и α_к ≥0, сходится, и для "к и " zÎE выполняется нер-во: |f_k(z)| ≤α_к , то ряд (1) сход-ся равномерно на Е.}} сумма этого ряда S(z) - есть аналитическая ф-ия и этот ряд можно почленно дифф в обл сходимости любое число раз

17.