Шпоры к экзамену / Шпоры / мал31-36

31. Теорема обращения (представление оригинала по его изображению)

Теорема: Если F(p) – изображение кусочно-гладкой функции-оригинала f(t) в области Rep>s₀, то в точках непрерывности f(t)=(1/2pi) _a-i¥ò^a+i¥e^ptF(p)dp (1), где интеграл берется вдоль прямой Rep=a>s₀

Доказательство:

Рассмотрим функцию j(t)= e^-atf(t). Эта функция является также кусочно-гладкой и, т.к. |f(t)|£Me^-s0t, то: |j(t)|=Me^-(a-s0)t и => limj(t)=0 (t->¥). Это значит, что j(t) представима интегралом Фурье. e^-atf(t)= j(t)=(1/2p)_-¥ò^+¥dx_-¥ò^+¥j(h)e^ix(t-h)dh, j(t)=0 при h<0; e^-atf(t)=(1/p)_-¥ò^+¥dx₀ò^+¥j(h)e^ix(t-h)dh | *e^at; f(t)=(1/2p)_-¥ò^+¥ e^-atf(t)= j(t)=(1/2p)_-¥ò^+¥e^(a+ix)tdx₀ò^+¥e^-(a+ix)hf(h)dh; f(t)=(1/2p)_-¥ò^+¥e^(a+ix)tF(a+ix)dx (2). F – образ f. Сделаем замену: a+ix=p. f(t)=(1/2pi) _a-i¥ò^a+i¥e^ptF(p)dp, ч.т.д.

32. Линейность преобразования Лапласа и теорема подобия.

Теорема: Если для i=1, 2,.., n: f_i(t) ¸F_i(p) "i: Rep>s_i, тогда для "с₁,.., с_n: _i=1åⁿc_if_i(t)¸_i=1åⁿc_iF_i(p), Rep>maxs_i (1<i<n)

Доказательство:

(основано на линейности оператора Лапласа)

₀ò^+¥e^-pt_i=1åⁿc_if_i(t)dt=_i=1åⁿc_i0ò^+¥e^-ptf_i(t)dt= _i=1åⁿc_iF_i(p), ч.т.д.

Теорема: Eсли f(t)¸F(p), то для "a>0: f(at)¸(1/a)F(p/a), Rep>as₀

Доказательство:

Сделаем замену: at=x

₀ò^+¥e^-ptf(at)dt=(1/a)₀ò^+¥e^-(p/a)xf(x)dx=(1/a) F(p/a), ч.т.д.

33. Теоремы о дифференцировании оригинала и изображения.

Теорема: Если f(t)¸F(p), Rep>s₀, то f ’(t)¸pF(p)-f(0) (1)

Если f(n)(t) – оригинал, то f⁽ⁿ⁾(t)¸pⁿF(p)-p^n-1f(0)-p^n-2f ’(0)-…-f^(n-1)(0), Rep>s₀ (2)

Доказательство:

(для (1)) f ’(t)¸ ₀ò^+¥e^-ptf ’(t)dt=e^-ptf(t)½₀^+¥+p*₀ò^+¥e^-ptf(t)dt=pF(p)-f(0), ч.т.д.

Теорема: Если F(p)¸f(t), Rep>s₀, то F’(p)¸-tf(t) (1)

И вообще, n-ая производная: F⁽ⁿ⁾(p)¸(-t)ⁿf(t), Rep>s₀ (2)

Доказательство:

Согласно Тh1 {{. Теорема об аналитичности изображения оригинала.

. Изображение F(p)=₀^+exp(-pt)*F(t)dt оригинала F(t) является аналитичной функцией в области Re(p)>S₀, где S₀ – показатель роста, причем в этой области F⁽ⁿ⁾(p)=₀^+(dⁿ[exp(-pt)*F(t)]/dpⁿ)dt. }}, F⁽ⁿ⁾(p)= (dⁿ/dpⁿ) ₀ò^+¥e^-ptf(t)dt= ₀ò^+¥e^-pt[(-t)ⁿf(t)]dt¸(-t)ⁿf(t), ч.т.д.

34. Теорема об интегрировании оригинала.

Теорема: Если f(t) ¸F(p), Rep>s₀, то ₀ò^tf(x)dx¸F(p)/p, Rep>s₀

Доказательство:

Легко проверить, что если f(t) – оригинал, то и функция g(t)= ₀ò^tf(x)dx - оригинал. Пусть g(t)¸G(p). Тогда по Св3 (диф. оригинала){{ Теорема: Если F(p)¸f(t), Rep>s₀, то F’(p)¸-tf(t) (1) И вообще, n-ая производная: F⁽ⁿ⁾(p)¸(-t)ⁿf(t), Rep>s₀ (2) }}, g’(t)¸pG(p)-g(0), g(0)=0, g'(t)=f(t), f(t)¸pG(p), f(t)¸F(p) => G(p)=F(p)/p, т.е. F(p)/p=G(p)¸g(t)= ₀ò^tf(x)dx, ч.т.д.

Следствие: Если f(t)¸F(p), то ₀ò^tdt₁₀ò^tdt_2…0ò^tf(t_n)dt_n¸(1/pⁿ)F(p)

35. Теорема об интегрировании изображения.

Теорема: Если f(t) ¸F(p), Rep>s₀ и f(t)/t – оригинал, то f(t)/t ¸ ₀ò^+¥f(q)dq

Доказательство:

Пусть функция Q(q)= ₀ò^+¥e^-qt(f(t)/t)dt – изображение f(t)/t. Согласно следствию из Л1, Q(¥)=0. Дифференцируя обе части этого равенства, причем для правой части возможно дифференцирование под знаком интеграла, согласно Teoreme{{. Теорема об аналитичности изображения оригинала.. Изображение F(p)=₀^+exp(-pt)*F(t)dt оригинала F(t) является аналитичной функцией в области Re(p)>S₀, где S₀ – показатель роста, причем в этой области F⁽ⁿ⁾(p)=₀^+(dⁿ[exp(-pt)*F(t)]/dpⁿ)dt. }} возможно, получим: Q’(q)=- ₀ò^+¥e^-qt(f(t)/t)dt=-F(q). Интегрируем это равенство от p до ¥: Q(¥)-Q(p)= - _pò^+¥F(q)dq, Q(¥)=0, Q(p)= _pò^+¥F(q)dq, ч.т.д.

36. Теоремы запаздывания и смещения.

Th. Запаздывания.

Если f(t)  F(p) Re(p)>S₀ при 0<<+ то для ф-ии f_ = {f(t-), t ; 0, t<. f_(t)  e^-pF(p) (1)

Док-во:

Т.к. f(t-) = 0 при t<, то: f_ = ₀^e^-ptf_(t)dt = _^e^-ptf(t-)dt = ₀^e^-p(+)f()d = e^-p₀^e^-pf()d = e^-pF(p). 

Th. Смещения.

Если f(t)  F(p) Re(p)>S₀ то для p₀  C : e^p0t  F(p-p₀), Re(p) > S₀ + Re(p₀).

Док-во:

e^p0tf(t) - оригинал с показателем роста S₀ + Re(p₀); тогда e^p0tf(t)  ₀^e^-pte^p0tf(t)dt = ₀^e^-(p-p0)tf(t)dt = F(p-p₀).

32.

31.

34.

33.

36.

35.