Шпоры к экзамену / Лекции 1 / 34

33. Теоремы о дифференцировании оригинала и изображения.

Теорема: Если f(t)¸F(p), Rep>s₀, то f ’(t)¸pF(p)-f(0) (1)

Если f(n)(t) – оригинал, то f⁽ⁿ⁾(t)¸pⁿF(p)-p^n-1f(0)-p^n-2f ’(0)-…-f^(n-1)(0), Rep>s₀ (2)

Доказательство:

(для (1)) f ’(t)¸ ₀ò^+¥e^-ptf ’(t)dt=e^-ptf(t)½₀^+¥+p*₀ò^+¥e^-ptf(t)dt=pF(p)-f(0), ч.т.д.

Теорема: Если F(p)¸f(t), Rep>s₀, то F’(p)¸-tf(t) (1)

И вообще, n-ая производная: F⁽ⁿ⁾(p)¸(-t)ⁿf(t), Rep>s₀ (2)

Доказательство:

Согласно Тh1 {{. Теорема об аналитичности изображения оригинала.

. Изображение F(p)=₀^+exp(-pt)*F(t)dt оригинала F(t) является аналитичной функцией в области Re(p)>S₀, где S₀ – показатель роста, причем в этой области F⁽ⁿ⁾(p)=₀^+(dⁿ[exp(-pt)*F(t)]/dpⁿ)dt. }}, F⁽ⁿ⁾(p)= (dⁿ/dpⁿ) ₀ò^+¥e^-ptf(t)dt= ₀ò^+¥e^-pt[(-t)ⁿf(t)]dt¸(-t)ⁿf(t), ч.т.д.

34. Теорема об интегрировании оригинала.

Теорема: Если f(t) ¸F(p), Rep>s₀, то ₀ò^tf(x)dx¸F(p)/p, Rep>s₀

Доказательство:

Легко проверить, что если f(t) – оригинал, то и функция g(t)= ₀ò^tf(x)dx - оригинал. Пусть g(t)¸G(p). Тогда по Св3 (диф. оригинала){{ Теорема: Если F(p)¸f(t), Rep>s₀, то F’(p)¸-tf(t) (1) И вообще, n-ая производная: F⁽ⁿ⁾(p)¸(-t)ⁿf(t), Rep>s₀ (2) }}, g’(t)¸pG(p)-g(0), g(0)=0, g'(t)=f(t), f(t)¸pG(p), f(t)¸F(p) => G(p)=F(p)/p, т.е. F(p)/p=G(p)¸g(t)= ₀ò^tf(x)dx, ч.т.д.

Следствие: Если f(t)¸F(p), то ₀ò^tdt₁₀ò^tdt_2…0ò^tf(t_n)dt_n¸(1/pⁿ)F(p)

35. Теорема об интегрировании изображения.

Теорема: Если f(t) ¸F(p), Rep>s₀ и f(t)/t – оригинал, то f(t)/t ¸ ₀ò^+¥f(q)dq

Доказательство:

Пусть функция Q(q)= ₀ò^+¥e^-qt(f(t)/t)dt – изображение f(t)/t. Согласно следствию из Л1, Q(¥)=0. Дифференцируя обе части этого равенства, причем для правой части возможно дифференцирование под знаком интеграла, согласно Teoreme{{. Теорема об аналитичности изображения оригинала.. Изображение F(p)=₀^+exp(-pt)*F(t)dt оригинала F(t) является аналитичной функцией в области Re(p)>S₀, где S₀ – показатель роста, причем в этой области F⁽ⁿ⁾(p)=₀^+(dⁿ[exp(-pt)*F(t)]/dpⁿ)dt. }} возможно, получим: Q’(q)=- ₀ò^+¥e^-qt(f(t)/t)dt=-F(q). Интегрируем это равенство от p до ¥: Q(¥)-Q(p)= - _pò^+¥F(q)dq, Q(¥)=0, Q(p)= _pò^+¥F(q)dq, ч.т.д.

36. Теоремы запаздывания и смещения.

Th. Запаздывания.

Если f(t)  F(p) Re(p)>S₀ при 0<<+ то для ф-ии f_ = {f(t-), t ; 0, t<. f_(t)  e^-pF(p) (1)

Док-во:

Т.к. f(t-) = 0 при t<, то: f_ = ₀^e^-ptf_(t)dt = _^e^-ptf(t-)dt = ₀^e^-p(+)f()d = e^-p₀^e^-pf()d = e^-pF(p). 

Th. Смещения.

Если f(t)  F(p) Re(p)>S₀ то для p₀  C : e^p0t  F(p-p₀), Re(p) > S₀ + Re(p₀).

Док-во:

e^p0tf(t) - оригинал с показателем роста S₀ + Re(p₀); тогда e^p0tf(t)  ₀^e^-pte^p0tf(t)dt = ₀^e^-(p-p0)tf(t)dt = F(p-p₀). 

37. Th. Умножения (свертки).

Если f(t)  F(p)^*; g(t)  G(p)^**; Re(p) > S₁^*; Re(p) > S₂^** то произведение образов F(p) и G(p) также является образом, причем: F(p)G(p)  ₀^tf()g(t-)d; Re(p) > max{S₁,S₂}.

Док-во:

Докажем сначала, что (t) = ₀^tf()g(t-)d - является оригиналом. Первые два условия очевидны. Докажем третье условие – Пусть |f(t)|  M₁e^S1t; |g(t)|  M₂e^S2t;пусть M = max{M₁,M₂}; S₀ = max{S₁,S₂}.

Тогда: |₀^tf()g(t-)d|  ₀^t|f()||g(t-)|d < M₁M₂₀^te^-S0e^S0(t-)dt  M²e^S0tt < M^*e^(S0+)t  показатель роста нашей ф-ии = S₀  3е условие существования оригинала выполняется (t) = ₀^tf()g(t-)d ₀^e^-pt₀^tf()g(t-)d. Изменим порядок интегрирования: (t) = ₀^f()d _^e^-ptg(t-)d = {замена t- = ; t = +} = ₀^e^-pf()d₀^e^-pg()d = F(p)G(p). 

Замечание: ₀^tf()g(t-)d - наз. сверткой F и G и обозначается (fg)(t) = ₀^tf()g(t-)d т.е. произведению изображений соответствует свертка оригиналов. (fg) = (gf).

38. Первая теорема разложения Хевисайда

Th. Пусть функция F(p)-аналитична в некоторой кольцевой окрестности точки p=∞,R<|p|<∞ и имеет в этой окрестности Лорановское разложение: F(p) = _k=1∑^∞[C_-k/p^k] (1)

Тогда оригиналом F(p) будет функция: f(t)={ _k=1∑^∞[C_-k/(k-1)!]*t^k-1, t>0 ; 0, t<0 (2)

Док-во:

_k=1∑^∞С_-k/p^k=[1/p]*_k=1∑^∞C_-k/p^k-1, точка р=∞ является устранимой для ряда: _k=1∑^∞C_-k/p^k-1,следовательно при |p|>=r>R: найдется A>0 так что |_k=1∑^∞C_-k/p^k-1|<A

Тогда при |p|>=r>R: |_k=1∑^∞C_-k/p^k|=|F(p)|<A/r=M(r)

Согласно неравенству Коши для коэф ряда Лорана имеем

|C_-k|<M(r)/(r ^-k )= M(r)*r^k = A*r^k-1, k=1,2,3… отсюда имеем, |_k=1∑^∞[C_-k/(k-1)!]*t^k-1|  _k=1∑^∞|C_-k|*[|t|^k-1/(k-1)!] < A*_k=1∑^∞[(r|t|)^k-1/(k-1)!] = A*_k=0∑^∞[(r|t|)^k/k!] = A*e^r|t| {до сюда r заменить ρ (это не писaть)}. Ряд (2) мажорируется стремящимся степеным рядом из круга |t|  r,r≠∞ поэтому исходный ряд (3) _k=1∑^∞[C_-k/(k-1)!]*t^k-1 -сходящийся равномерно в круг |t|<r и его можно почленно интегрировать в этом круге.

39.Вторая теорема разложения Хевисайда (без док-ва)

Th. Пусть ф-ция F(p) удовлетворяет след условиям

1.F(p)-аналитична на всей комплексной плоскости кроме конечного числа особых точек которые являются полюсами этой функции

2. В обл. Rep>S₀ F(p)-аналитичная

3.F(p)→0 равномерна относительно arg(p)

4.Для любого a>S₀ сходится интеграл: _a-i∞∫^a+i∞|F(p)|*|dp|.

Тогда оригиналом функции F(p) является ф-ия f(t) = _k∑Res e^p*tF(t) {p = p_k - написать под Res} t>0; f(t)=0, t<0.