45. Обращение Z – преобразования.

Обращение z-преобразований. 1). Согласно ф-ле для коэф ряда Лорана f_n=1/(2πi)_|z|=r∫F*(z)dz/z^1-n (1), n=0,1,2…r<R. Внутри окр |z|=r должны быть все особенности ф-ци F*(z). 2). z=re^iφ. f_n=rⁿ/2π_-π ∫^πF*( re^iφ) e^inφdφ(2). , где f_n/rⁿ – коэфф Фурье для F*( re^iφ). 3). Т.к. ряд F*(z^-1) – есть ряд по возрастающим степеням z, то по ф-ле Тейлора f_n=1/n!(dⁿF*(z^-1)/dzⁿ)|_z=0, n=0,1,2…(3). 4). Th(о предельном значении). Если изображение F*(z)=Z[f_n] – сущ, то f₀=_z→∞limF*(z). без док-ва. Следствие: Очевидно, что ряды: z(F*(z)-f_n) =f₁+f₂z^-1+f₃z^-2+… z²(F*(z)-f_n-f₁z^-1)=f₂+f₃z^-1+… итд представляют собой z-преобразования, поэтому, определив по Th значение f₀: f₁=_z→∞limz(F*(z)-f₀) (4), f₂=_z→∞limz²(F*(z)-f₀-f₁x^-1) (5) итд

46. Целые ф-ии и их св-ва.

Целые ф-ии:

Однозначная ф-ия f(z) наз. целой если она аналитична во всей комплексной пл-ти С. {Напр.: e^z; Cosz; Sinz;…}

Опр. Ф-ия наз целой-рациональной, если полюсом для нее явл. т-ка z = , если же т-ка z =  - существенно особая т-ка, то ф-ия наз. трансцендентной.

Th 1. Если т-ка z =  - явл. устранимой особой т-кой целой ф-ии f(z), то f(z) = const.

Док-во:

По условию Th. Lim(f(z)) = A   при z, тогда для >0  R() >0 z: |z|>R |f(z)-A|<  ||f(z)|-|A||  |f(z)-A| <   |f(z)| < |A| +  = M₁, |z| >R. Т.к f(z) аналитична в круге |z|R, то  M₂, что |f(z)| < M₂< |z|R. Пусть теперь M = max{M₁,M₂}, тогда для  z  С: |f(z)|M. Отсюда по Th (Лиувиля)  f(z) = const. 

Th 2. Если z =  - полюс кратности n, n1 целой ф-ии f(z), то эта ф-ия есть многочлен n-ой степени.

Док-во:

Т.к. z =  полюс кратности n, то ряд Лорана ф-ии f(z) имеет следующий вид: f(z) = _k=0^(C_-k/Z^k) + C₁Z + C₂Z² +…+C_nZⁿ, C_n  0

Введем обозначения:(z) = f(z)-P_n(z) = _k=0^(C_-k/Z^k); P_n = C₁Z+…+C_nZⁿ - целая ф-ия. (z) - как разность 2х целых ф-ий тоже целая ф-ия. Т.к разложение Лорана ф-ии (z) не содержит главной части, то т-ка z =  является устранимой для (z) и по Th 1:(z) = C₀ = const.

Отсюда следует что: f(z) = (z) + P_n(z) = C₀ + C₁Z+…+C_nZⁿ. n0. (у Е.П тут касяк а это похоже на правду)

47. Мероморфные ф-ии, рациональные ф-ии. Представимость рациональной ф-ии в виде суммы многочлена и простейших дробей.

Опр. Однозначная ф-ия f(z) наз мероморфной на компл пл-ти С, если в  огр части пл-ти С онане имеет никаких других особых точек, кроме полюсов.

Примеры: Pn(z)/Qm(z) – дробно-рац. ф-ии; tg(z); ctg(z);…

Замечание: В  огр части компл пл-ти мероморфная ф-ия имеет конечное число полюсов, в противном случае в этой части пл-ти  предельная т-ка мн-ва полюсов, и тогда эта т-ка явл не изолированной т-кой для полюсов.

Th 3. Если т-ка z= - полюс мероморфной ф-ии f(z), то f(z) - рациональная ф-ия.

Док-во:

Т.к. z= - изолированная особая т-ка, то  кольцо R<|z|< в котором f(z) - аналитическая, в круге |z|R по условию имеет лишь конечное число полюсов, по этом в пл-ти С имеет конечное число полюсов z₀=, z₁,…,z_n. Рассмотрим полюс z_k (k=1…n) и разложим ф-ию f(z) в ряд Лорана и рассмотрим главную часть в окресности этого полюса _k(z) = [C_-1^(k)/z-z_k] + [C_-1^(k)/(z-z_k)²] +…+ [C_-k^(k)/(z-z_k)^k]

Для полюса z0= главная часть:₀(z) = C₁z + C₂z² +…+ C_z^. Составим рациональную ф-ию: g(z) = ₀(z) + ₁(z) +…+ _n(z). Вычтим g(z) из f(z): F(z) = f(z) – g(z). Для этой ф-ии т-ки z₁…z_n явл устранимыми особыми т-ками, т.к. для каждой из этих ф-ий отсутствует главная часть ряда Лорана для f(z). Определим знач F(z) в т-ках z₀,z₁…z_n предельными значениями ф-ии F(z) в этих т-ках, тогда ф-ия F(z) станет аналитичной и ограниченной во всей компл пл-ти. По этому по Th(Лиувилля): F(z) = C₀ = const  f(z) = C₀ + g(z) - есть рациональная ф-ия(как сумма рац-х). 

Следствие: Всякую рациональную ф-ию можно представить в виде конечной суммы многочлена и простейших дробей вида: [C_/(z-zk)^] и это представление единственно.

Док-во:

Особыми т-ками рациональной ф-ии на C могут быть только полюсы z₁…z_n и z₀= - возможно. По доказанной Th эта ф-ия единственным образом предст в виде f(z) = C₀ + ₀(z) + ₁(z) +…+ _n(z), где ₀(z) = C₁z + C₂z² +…+ C_z^, а _k(z) = [C_-1^(k)/z-z_k] + [C_-1^(k)/(z-z_k)²] +…+ [C_-k^(k)/(z-z_k)^k] k =1,…n 

48. Св-во единственности для регулярной ф-ии.

Th 1. Если f(z) /0 регулярная (аналитическая) в нек области, то она в этой области может иметь только изолированные нули. #

Th 2 (Th единственности). Если 2 ругулярные в области D ф-ии f₁(z) и f₂(z) совпадают на некоторой бесконечной последовательности попарно различных т-к z₁…z_n, сходящейся к z_n D, то в области D: f₁(z) = f₂(z).

Док-во:

Рассмотрим регул ф-ию (z) = f₁(z) - f₂(z), все т-ки z₁…z_n - есть нули этой ф-ии т.к. (z_k) = 0, k = 1…n… т.к. limz_k=z₀ при k, то в следствии непрер. (z₀) = limf(z_k)=0 при k. Здесь z₀ – также нуль ф-ии (z), но т-ка z₀ не явл изол нулем ф-ии (z), поскольку в  ее окр имеются другие нули z_k  по Th 1. (z)0 в окр т-ки z₀ тогда все ее коэф Тейлора = 0  в нек круге с центром в z₀ и радиусом = расстоянию от z₀ до ближайшей т-ки границы области D f₁(z)  f₂(z) поскольку (z)  0. Докажем, что f₁(a) = f₂(a) в  т-ке обл D. Соединим z₀ и а кусочно гладкой кривой , целиком леж в D. Пусть 2>0 - кратчайшее расстояние точек  до границы области D. Опишем вокруг z₀ окружность с радиусом , соглано доказ. заключаем, что во внутр т-ках g₀ этой окружности: f₁(z)  f₂(z). Пусть z₀₁ - первая при движении от z₀ к а по  т-ка пересечения этой окр-ти с кривой , проведем окр с рад , с центром в z₀₁, пусть g₁ - внутр этой окр-ти в  окр т-ки z₀₁ попарно разл точек g₀ в которых f₁(z)  f₂(z)  согласно уже док в круге g₁ всюду f₁(z)  f₂(z), продолжая этот процесс мы в конце концов получаем, что f₁(a)  f₂(a). 

Следствие: Если 2 аналитические ф-ии совпадают на сколь угодно малой области или на сколь угодно малой дуге кривой, то они всюду совпадают в области своего определения.

49.Понятие аналитического продолжения ф-ции.

Опред1. 1)Пусть ф-я f(z) определена на мн-ве E;2) Ф-я F(z) аналитична в обл Д, причем T – часть области Д.3)F(z)≡f(z) в E,тогда ф-ия F(z) наз-ся аналитическим продолжением f(z)

множ-ва Е в области Д

Тh1.(принцип аналитического продолжения)Пусть множ-во Е имеет предельную точку

Z₀ принадлежащую Д,тогда аналитическое продолжение с мн-ва Е на мн-во д единственно.

Д-во:Предположим,что f(t) определённое на Е имеет 2 аналитических продолжения F₁(z) F₂(z) в области Д,F₁(z) ≡F₂(z) для z ЄЕ то по теор. единственности F₁(z) ≡F₂(z) в Д.

Если Е-кривая в Д то сущ-ет не более 1 аналитического продолжения f(z) на Д.

Th2.Пусть f(z) и g(z) целые ф-ии тоесть регулярные или аналитические во всей комплексной плоскости.Тогда f(z)±g(z); f(z)*g(z) f(g(z)) будут также целые ф-ии.

Д-во:Следует из определения целой ф-ии и св-в регулярной ф-ии.

Пример:Аналитическое продолжение f(z)=_n=0∑^∞z^(n) (ряд сходится в круге К: |z|<1)

ф-ия регулярна(аналит)в данном круге=>f(z)=1/[1-z] в К,а F(z) аналитична в Д(Д-регулярная расширенная комплексная плоскость,С с выколотой точкой 1).при |z|<1

f(z)≡F(z)=>F(z)-!аналитическое продолжение ф-ии f(z) с мн-ва К наД.

Аналитическое продолжение экспоненты,тригонометрических и гиперболических ф-ий e^z= _n=0∑^∞[z^n]/[n!] (по опред.)ряд в правой части сходится при всех z => сумма ряда аналитична при всех z.При действит z=x ф-ия e^z совпадает с естественной ф-ией e^z=e^x

(на действительной оси)=>ф-ия e^z-аналитическое прод-ие e^x с действительной оси на комплекную плоскость.Введём ф-ию:sin(z),cos(z),sh(z),ch(z) как суммы степенных рядов:

sin(z)= _n=0∑^∞[(-1)^n]*[(z^(2n+1))/(2n+1)!]; cos(z)= _n=0∑^∞[(-1)^n]*[(z^(2n))/(2n)!];

sh(z)= _n=0∑^∞(z^(2n+1))/(2n+1)!]; ch(z)= _n=0∑^∞(z^(2n))/(2n)!]; т.к .все ряды сход-ся при всех z,

то эти ф-ии целые,они –аналитические продолжения ф-ии sin(x);cos(x);sh(x);ch(x) с действит оси на комплекс. пл-ти.