Шпоры к экзамену / Лекции 1 / 21
.doc20. Нули аналитической функции. Порядок нуля. Теорема об изолированности нулей аналитической функции.
Определение 1. Пусть функция f(z)определена в области D, точка aD называется нулем или корнем функции f, если f(a)=0.
Порядок нуля. Пусть f(z) аналитична в некоторой окрестности U(a) и f(z)0. Тогда по теореме Тейлора {{ Th. (О разложении аналит ф-ии в ряд Тейлора).
Если ф-ия f(z)
аналит в обл D,
то для каждой т-ки z0ÎD
$
круг U(z0,R)
причем U(z0,R)
Î
D,
где ф-ия f(z)
представима рядом Тейлора f(z)
= k=0å¥[Ck*(z-z0)k];
Ck
=(f(k)(z0))/(k!)
и это представление единственно.}}
,
в окрестности U(a)
функция f(z)
представима рядом Тейлора f(z)=k=0
Ck(z-a)k
(1)и этот ряд имеет отличные от нуля
коэффициенты.
Если в разложении (1) коэффициенты C0=C1=..=Cn-1=0 ,но Cn0 то говорят , что точка a – это нуль n–го порядка функции f(z). Ясно что f(a)=0=C0.
Теорема 1. (об изолированности нулей аналитической функции).Функция f(z) аналитична в окрестности U(a) своего нуля a порядка n.. Тогда существует окрестонсть U1(a) , где нет никаких других нулей , кроме а и f(z) представима в виде : f(z)=(z-a)n(z) где (z) аналитическая функция и (z)0 в U1(a).
Доказательство: Из условия теоремы следует , что функция представима в окрестности U(a) рядом Тейлора: f(z)=Cn(z-a0)n+ Cn+1(z-a0)n+1+…=(z-a)n(Cn+ Cn+1(z-a0)+ Cn+2(z-a0)2 +..)=(z-a)n(z).Здесь (z) аналитическая функция как сумма сходящегося степенного ряда (z) – непрерывна в точке а, т.к. Cn0 (a)0 . В следствии непрерывности (z) в точке a существует окрестность U1(a), где (z)0. т.о. функция f(z)=(z-a)n(z) не имеет других нулей , кроме а в этой окрестности.
21. Ряд Лорана. Теорема о разложимости аналитической в кольце функции в ряд Лорана.
Ряды Лорана. Рядом Лорана называется ряд f(z)=k=0 Ck(z-a)k (1),Ck,z0 - некоторые комплексные числа ,z0 - центр ряда. Ряд(1) можно представить в виде : I(правильная часть) k=0 Ck(z-z0)k +II(главная часть) k=0 Ck/(z-z0)k.
Ряд(1) сходится в точке, если в точке z если в точке z сходятся ряды I и II. Сходится для I: |z-z0|R1, 0R1+ . для II k=0(C-k)/(z-z0)k=(C-k)k, k =1/(z-z0),этот ряд сходится в некот.круге ||r , 0r1+ 1/(z-z0)r |z-z0|1/r =Rr.
Теорема Лорана(о разложимости аналитической в кольце функции в ряд Лорана.)
Если функция f(z) аналитична в кольце k: 0r|z-z0|R=+ то она в этом кольце представима рядом Лорана: f(z)= k=-+ Ck(z-z0)k (2) где Ck=1/2iCf()/(-z0)k+1d (3) C : |-z0|=, rR
Доказательство: Пусть zk – любая точка . Очевидно существует k1: rr1|z-z0|R1R. zk1(k- открытое множество) т.к.f(z) –аналитична в кольце (включая его границы), то для точки zk1 , справедлива интегральная форма Коши f(z)=1/2iCR1(f()/(-z))d-1/2iCr1(f()/(-z))d (4) . Пусть CR1 , тогда |z-z0/-z0|=|z-z0|/|-z0|1 для СR1, 1/(-z)=1/(-z0+z-z)= 1/(-z0)*1/(1-(z-z0/-z0)), 1/(-z)= k=0(z-z0)k/(-z0)k+1 (5).В силу равномерной сходимости по CR1 ряда (5), его можно почленно интегрировать по окрестности CR1. Умножим обе части равенства (5) на f()/2i и проинтегрируем левую и правую части по CR1 . 1/2i*CR1(f()/(-z))d=k=0(1/2i*CR1(f()/(-z)k+1)d(z-z0)k ; 1/2iCR1(f()/(-z))d= k=0Ck(z-z0)k (6); Ck= 1/2iCR1(f()/(-z)k+1)d (7). Рассмотрим интеграл по CR1: CR1(f()/(-z))d (8) из формулы (4). Для этого случая будет соотношение такое |(-z0)/(z-z0)|1, Cr; 1/(-z)=1/(-z0+z0-z)= (-1/(z-z0))(1/(1-(-z0/z-z0))). Получим аналогично предидущему : 1/2iCR1(f()/(-z))d= -k=1[1/2i*CR1(f()/(-z0)k+1)d]1/(z-z0)k Поменяем индекс суммирования k-k получим: 1/2iCR1(f()/(-z))d= - k--1Ck(z-z0)k(9) где Сk=1/2i*Cr1f()/(-z0)k+1d(10). Подставив (6) и (9) в выражение для интегралов в формулу (4) получим представления f(z) в виде ряда Лорана: f(z)= k=0Ck(z-z0)k+ k--1Ck(z-z0)k= - k=-+Ck(z-z0)k (11) , где коэффициенты Ck ((7) k0;(10) k0) . Вследствие аналитичности в кольце k функции f(z) и на основании обобщенной теоремы Коши интегралы в (7) и (10) не изменяются , если в качестве контура интегрирования взять любую окружность C: |-z0|=, а rR произвольное число можно считать , что т.к. Ck=1/2iC(f()/(-z))d (12) т.к.zk есть любая точка этого кольца , то теорема доказана .
22.Область равномерной сходимости ряда Лорана. Единственность разложения функции в ряд Лорана.
Ряды Лорана. Рядом Лорана называется ряд f(z)=k=0 Ck(z-a)k (1),Ck,z0 - некоторые комплексные числа ,z0 - центр ряда.
ряд Лорана: f(z)= k=0Ck(z-z0)k+ k--1Ck(z-z0)k= - k=-+Ck(z-z0)k (2) ,
Доказательство. Правильная часть ряда Лорана (2) есть степенной ряд , поэтому на основании теоремы Абеля он сходится равномерно в круге |z-z0|R ,01. Главная часть ряда Лорана сходится вне круга |z-z0|r следовательно сходится равномерно на множестве |z-z0|=r/ , где 01 . Итак , ряд Лорана сходится равномерно в кольце r/|z-z0|R, где 01 и где r/R.
Теорема (единственность разложения в ряд Лорана) Разложение функции f(z) в ряд Лорана в кольце k: r|z-z0|R единственно.
Доказательство. Пусть f(z)=k=- Ck(z-z0)k = k=- bk(z-z0)k (3). Зафиксируем любое число n=0,+-1;+-2,.. и умножим обе части равенства на (z-z0)n-1 , полученный результат, проинтегрируем почленно по окружности |z-z0|= , что возможно согласно равномерной сходимости рядов, причем rR. Известно что интеграл |z-z0|=(z-z0)mdz={2i,m= -1;0,m-1 (4) . Используя (4) , получаем следующее 2iCn=2ibnCn=bn .Единственность доказана.
23. Выражение коэффициентов ряда Лорана. Неравенство Коши. Теорема Лиувиля.
Пусть f(z) аналитична в кольце k: r|z-z0|R |Cn|=1/2C(|f()|/(|-z|)k+1)|d| =(1/2)(M()/k+1)2=M()/k=|Ck|= M()/k. M()=max|f(()|, C.C|d|=2.
Теорема Лиувиля. Если f(z) аналитична и ограничена на комплексной плоскости C то она является постоянной. Доказательство. По теореме Лорана в кольце 0|z|+ (центр-начало координат r=0,R=+все комплексные плоскости) {{{ Теорема Лорана(о разложимости аналитической в кольце функции в ряд Лорана.)Если функция f(z) аналитична в кольце k: 0r|z-z0|R=+ то она в этом кольце представима рядом Лорана: f(z)= k=-+ Ck(z-z0)k (2) где Ck=1/2iCf()/(-z0)k+1d (3) C : |-z0|=, rR
}}}.
f(z)= k=- Ckzk , где |Ck|=M/k так как M=const ,-произвольнаяСk=0 и при k=0 остаются только C0. Отсюда следует, что f(z)=C0=const.
(неравенство Коши …………..)