11. Интегральная формула Коши.

Th. Пусть граница ¶D (n+1)-связной области D состоит из спрямляемых взаимно непересекающ. кус.-гл. кривых Жордана, причём С₁…C_n расположены внутри С₀. Тогда если f(z) – аналитическая ф-я в обл. D и непр. в обл. Ď=DȶD, то справедлива формула:

[1/2pI] * _¶Dò[f(x) / (x-z)]dx = {f(z), zÎD; 0, zÏĎ} (1)

где интегрирование производится в положительном направлении, т.е. область при обходе остается слева, т.е. ¶D= С₀ÈČ₁È Č ₂È…ÈČ _n

Док-во:

Если zÏĎ=DȶD, то ф-я f(x) / (x-z) аналитична в обл. D и непр. в обл. Ď. Поэтому по основной Th. Коши: [1/2pi] * _¶Dò[f(x) / (x-z)]dx = 0.

Пусть zÎD. Зафиксируем в обл. D т.z и круг U(z,r) – имеет границу g. Зафиксируем круг т.о., чтобы он Î обл.D и не принадлежал границе. Очевидно, что ф-я f(x) / (x-z) аналитична в обл. D*=D/Ū(z,r) и непр. в обл. Ď*=D*ȶD*, ¶D*=¶DÈg ^- (см. рис. в лекции). Тогда по обобщенной Th.Коши: _¶D*ò[f(x) / (x-z)]dx = _¶Dò[f(x) / (x-z)]dx + _g^-ò[f(x) / (x-z)]dx = 0

Отсюда, т.к. выполняется _g -ò = - _gò , получим:

_¶Dò[f(x) / (x-z)]dx = _gò[f(x) / (x-z)]dx . Ранее вычислили: _gò[ dx/ (x-z)] = 2pi (3)

Отсюда f(z) можно предствить в след. виде:

f(z) = [1/2pi]*f(z)*2pi = [1/2pi]* f(z)* _gò[ dx/ (x-z)] = [1/2pi]* _gò[f(z)/(x-z)]dx (4)

На основании (2) и (4) имеем следующее:

f(z) - [1/2pi] * _¶Dò[f(x) / (x-z)]dx = [1/2pi] * _¶Dò[ (f(z) - f(x)) / (x-z)]dx (5)

Т.к. f(x) непр. в т.z, то" ε>0 $d(e): при r<d ½f(z) - f(x)½< e

Тогда из формулы (5) имеем:

½f(z) - [1/2pi] * _¶Dò[f(x) / (x-z)]dx ½< [1/2pi]*½_gò[ (|f(z) - f(x)|) / (|x-z|)] |dx|½= [1/2pi]* e*2pi = e

Это означает, что выполняется 1-ое рав-во в ф-ле(1). 2-ое рав-во вып-ся автоматически, т.к. нет особых точек. РИС

12. Интеграл типа Коши. Сущеествование производных всех порядков у аналитической функции.

Опр. Пусть Г- кус.-гл. кривая Жордана, а f непр. ф-я, заданная на Г. Пусть zÎС, zÏГ. Тогда ф-я F(z)= [1/2pI] * _Гò[f(x) / (x-z)]dx (1) наз. интегралом типа Коши.

Если Г-замкнута, а f(x) – аналитична в огр. обл. D с границей Г и непр.. в замкн. обл. Ď=DÈГ,то этот интегр. (1) переходит в интеграл Коши и имеет место рав-во: F(z)={f(z), zÎD; 0, zÏ Ď=DȶD} (2) В общем случае (2) не обязат. имеет место #

Th. Ф-я, определяемая интегр. типа Коши F(z)= [1/2pI] * _Гò[f(x) / (x-z)]dx иммет в кажд. т zÏГ произв. Всех порядков, кот. вычисл. по ф-ле:

F⁽ⁿ⁾(z)= n!/ [2pi] * _Гò[f(x) / (x-z)ⁿ⁺¹]dx (3)

Док-во:

Выведем формулу (3) для n=1. Зафиксируем произв. т.zÏГ. Пусть d - расст-е от z до кривой Г. Рассм. круг с центром в т.z и радиуса d/2. Тогда " т. z+Dz Î U(z,d) будет выполн-ся нер-во ½x-z½>d/2 и ½x-z-Dz ½>d/2.

Рассмотрим отношение:

[F(z+Dz) – F(z)]/ Dz = [1/2pI] * (_Гò[f(x) / (x-z-Dz)] - _Гò[f(x) / (x-z)])*[1/ Dz] dx =

= [1/2pi] * _Гò[f(x) / ((x-z)* (x-z-Dz))]dx (4)

т.к. "xÎГ: ½x-z½>d/2,½x-z-Dz ½>d/2. Из соотношения (4) можем написать:

½[F(z+Dz) – F(z)]/ Dz - [1/2pi] * _Гò[f(x) / (x-z)²]dx ½ =

= [1/2pi]*½ _Гò[(f(x)*Dz) / ((x-z)²* (x-z-Dz))]dx ½<

< [1/2p]* _Гò[(½f(x)½*½Dz½*½dx½) / (½x-z½²* ½x-z-Dz½)]½dx½ <(M*½Dz½*L)/(2p*(d/2)³) (5)

$M: ½f(x)½< M; _Гò½dx½=L – длина кривой; M=max_xÎГ½f(x)½;

(5)®0 при ½Dz½® 0, след-но $ предел:

lim([F(z+Dz) – F(z)]/ Dz) = [1/2pi] * _Гò[f(x) / (x-z)²]dx = F’(z)

Доказана для 1й производной, далее, пользуясь методом мат. индукции и ф-лой (6) устанавливается верность ф-лы (3) для m=2,3,… #

Следствие. $е производной "порядка у аналит. ф-ции:

Th. Если ф-я аналитич. в обл. D, то она имеет производн. " порядка в этой обл.

Док-во: Пусть z – произв. т. обл D, а U(z,r) – окр-сть(круг) с границей g и радиуса r с центром в z. Круг Î обл. D. Тогда по интегр. формуле Коши:

f(z)= [1/2pi] * _gò[f(x) / (x-z)]dx, где zÎU(z,r). Этот интеграл есть инт-л типа Коши Þ имеет производн. " пор-ка в т.z . Т.к. z-произв. т. обл. D, то имеет производную в D в " точке. Отсюда также следует, что "n f⁽ⁿ⁾(z) аналитична в D. РИС

13. Первообразная. Достаточные условия $я первообразной.

Опр. Пусть ф-я f(z) определена в D. Аналитич. в этой обл. F(z) наз. первообразной для f(z), если в D: F’(z)=f(z). Очевидно, что F(z)+C, C=const, также явл-ся первообр. для f(z).

Th. Если F(z) и Ф(z) – первообр. в D для ф-ции f(z), то F(z) - Ф(z) = C

Док-во: Пусть W(z)= F(z) - Ф(z). Тогда dW(z)/dz = F’(z) – Ф’(z) = f(z)- f(z)=0 Пусть W(z) = U(x,y) + iV(x,y) Тогда

dW(z)/dz = ¶U/¶x + i¶V/¶x = ¶V/¶y - i¶U/¶y = 0 Þ

¶U/¶x = 0; ¶V/¶x = 0; ¶V/¶y = 0; ¶U/¶y = 0; Откуда следует, что U(x,y)=const; V(x,y)=const; Þ W(z) = const.

Достаточные усл-я $ первообр.:

Th. Пусть:

1. Ф-я f(z) непр. в односвязной, огр. обл D

2. " замкн. кус-гл. кривой Жордана Г: _Г(ò)f(z)dz=0

Тогда:

1)"т.aÎD, "zÎD F(z) = _aò^zf(x)dx (1) – аналитич. в D

2)"zÎD $ производная F’(z) = d\dz [_Г òf(x)dx] = f(z) (2)

F(z) – первообразная для f(z).

Док-во: Согласно 2-ому усл-ю Th. _aò^zf(x)dx не зависит от пути интегр-я. Þ не зависит от пути, соедин. точки a и z. (в лекции есть рисунок областей)

Пусть точка z+Dz (Dz¹0) Î некот. окрестности т.z, кот. Î D. Тогда

[F(z+Dz) – F(z)]/ Dz = [1/Dz]*( _aò^z+Dz f(x)dx - _aò^zf(x)dx)=[1/Dz]* _zò^z+Dz f(x)dx (3)

Вследствие незав-сти интеграла от пути будем считать g - отрезок прямой. Т.к. f(z) – непр. в D, то "xÎU(z), f(x)=f(z)+h(x) (4), где h(x)®0 при x®z. Т.к.путь, соедин. z и z+Dz – есть отрезок прямой, то вып-ся след. соотнош-я:{_zò^z+Dz ½ dx½=½Dz½ и _zò^z+Dz f(x)dx = f(z) Dz (6)

Так же ½[1/Dz]* _zò^z+Dz h(x)dx½£ [1/½Dz½]*max½h(x)½* _zò^z+Dz ½dx½ =

=max _xÎg ½h(x)½® 0 при Dz ®0, x®z (7)

Из этой оценки и на основании (5): lim [1/Dz]* _zò^z+Dz h(x)dx=0 при Dz®0

На основании (4),(5),(6) для правой части (3) имеем:

lim [1/Dz]*_zò^z+Dz f(x)dx = lim{ [1/Dz]* _zò^z+Dz [f(z) + h(x)dx]} =

= lim{ [1/Dz]* _zò^z+Dz f(z)dz + [1/Dz]* _zò^z+Dz h(x)dx]} = f(z) при Dz®0 (8)

Переходя к пределу в (3) при Dz®0 , учитывая (8):

F’(z) = d\dz [_aò^zf(x)dx] = f(z) (9) РИС #

14. Формула Ньютона-Лейбница. Теорема Морера(достаточные усл-я аналитичности ФКП в области).

Всё это следствия из Th. и её следствия:

Достаточные усл-я $ первообр.:

Th. Пусть:

3. Ф-я f(z) непр. в односвязной, огр. обл D

4. " замкн. кус-гл. кривой Жордана Г: _Г(ò)f(z)dz=0

Тогда:

1)"т.aÎD, "zÎD F(z) = _aò^zf(x)dx (1) – аналитич. в D

2)"zÎD $ производная F’(z) = d\dz [_Г òf(x)dx] = f(z) (2)

F(z) – первообразная для f(z).

Следствие: Если ф-я f(z)- аналитич. в огр D,то " числа а и " числа zÎD ф-я F(z) = _aò^zf(x)dx явл-ся аналитич. в D и первообр. для ф-ции f(z).

Ф-ла Ньютона-Лейбница.

Если ф-я f(z) аналитична в огр. односвязн. обл. D , а Ф(z) - какя-нибудь её первообразная, то "z₁,z₂ÎD справедлива ф-ла Н-Л: _z1ò^z2f(z)dz = Ф(z₁) - Ф(z₂)

Док-во: Если Ф(z) - какя-нибудь первообразная для f(z), то

Ф(z)= _z1ò^z2f(x)dx + С, но Ф(z₁)= _z1ò ^z1f(x)dx + С = С, поэтому

Ф(z₂)= _z2ò ^z2f(x)dx + Ф(z₁), откуда и следует ф-ла Н-Л. #

Th. Морера.

Если ф-я f(z) – непр. в односв. обл. D и " спрямл. замкн. кус-гл. кривой Жордана С: _С(ò)f(z)dz=0, то f(z) – аналитична в D.

Док-во: Согласно Th(Следствию) при сделанных предположениях ф-я

f(z)= d\dz[F(z)] = d\dz[_aò^zf(x)dx], aÎD имеет аналитическую первообразную в обл. D, т.е. F’(z)=f(z) "zÎD. Тогда согласно $ю производной " порядк у аналитич. ф-ции заключ., что f(z)-аналитическая ф-я. РИС

15. Функциональные ряды. Достаточные услолвия равномерной сходимости (признак Виерштрасса).

_k=1∑^∞ f_k(z) (1)

Опр. Ряд (1), где f_k(z) – однозначные ф-ции, заданные на некотором мн-ве ЕЄС, наз. Функциональным рядом (ф.р.).

Опр1. Ряд (1) сходится в т. z₀, если сходится следующий числовой ряд: _k=1∑^∞ f_k(z₀). Ряд (1) сход на мн-ве Е , если он сход в любой точке Е. В этом случае его сумма – есть однозначная ф-ция на Е: f(z) = _k=1∑^∞ f_k(z).

Опр2. Ряд (1) наз равномерно сход-ся на Е, если :

1) для " ε >0 $ N(ε) : " n≥N и " zÎE: |f(z)-f_n(z)|=| _k=n+1∑^∞ f_k(z)| < ε .

2) " ε >0 $ N(ε) : " n≥N и " zÎE: sup_zÎЕ|R_n(z)|< ε, или lim_n→∞(sup_zÎЕ|R_n(z)|)=0.

{1) и 2) разные формы записи одного и того же}

Th(дост усл равн сход-ти или призн вейерштрасса) Если числовой ряд _k=1∑^∞ α_к , где для "к: α_кÎR и α_к ≥0, сходится, и для "к и " zÎE выполняется нер-во: |f_k(z)| ≤α_к , то ряд (1) сход-ся равномерно на Е.

Док-во: т.к. ряд _k=1∑^∞ α_к сход-ся , то для него выпон Крит Коши: " ε >0 $ N(ε) " n≥N и " pÎN: _k=n+1∑^n+p α_к <ε. Тогда для "к и "zÎE: |_k=n+1∑^n+p f_k(z)|≤ _k=n+1∑^n+p |f_k(z)|≤ _k=1∑^∞ α_к <ε .

16. Достаточные условия непрерывности функциональнонго ряда.

_k=1∑^∞ f_k(z) (1)

Th. Если ряд (1) сход-ся равномерно на Е к ф-ции f(z), и все его члены f_k(z) непрерывны на Е, то и f(z) также непр-на на Е.

Док-во: пусть z₀– произвольная точка Е. Т.к. ряд (1) сход. равн-но , то для " ε >0 $ N(ε) : " n≥N и " zÎE: |f(z)-S_n(z)|< (ε /3) (2) . Т.к. S_N – непр-на на Е, тогда исходя из определения непр-ти: для нашего ε >0 $ δ=δ(ε , z₀), что для "zÎE и при условии, что |z - z₀|<δ : | S_N(z) – S_N(z₀)|<(ε/3). Тогда для " z : |z - z₀|<δ , zÎE : |f(z)-f(z₀)|=|f(z)- S_N(z)+S_N(z)-S_N(z₀)+S_N(z₀)-f(z₀)|≤|f(z)- S_N(z)|+|S_N(z)-S_N(z₀)| + + |S_N(z₀)-f(z₀)|<(ε/3)+(ε/3)+(ε/3)=ε . #

{здесь |f(z)- S_N(z)|<(ε/3) и |S_N(z₀)-f(z₀)|<(ε/3) из-за равномерной сходимости

Опр2. Ряд (1) наз равномерно сход-ся на Е, если :

1) для " ε >0 $ N(ε) : " n≥N и " zÎE: |f(z)-f_n(z)|=| _k=1∑^∞ f_k(z)- _k=1∑ⁿ f_k(z)|=| _k=n+1∑^∞ f_k(z)| < ε .

2) " ε >0 $ N(ε) : " n≥N и " zÎE: sup_zÎЕ|R_n(z)|< ε, или lim_n→∞(sup_zÎЕ|R_n(z)|)=0.

{1) и 2) разные формы записи одного и того же}}