40.Интеграл Дюамеля и его применение

f ’(t) ÷ p*F(t) - f(0) (1). Запишем теорему умножения:

F(p)*G(p) ÷ ₀∫^tf(u)*g(t-u)*du (2); f(t) ÷ F(p); g(t)÷G(p), то p*F(p)*G(p) = f(0)*G(p)+(p*F(p)-f(0))*G(p) ÷ f(0)*g(t) + ₀∫^tf ’(u)*g(t-u)*du (3). В этой формуле мы исп: p*F(p)-f(0) ÷ f ’(t); p*F(p)*G(p) ÷ f(0)*g(t) + ∫g(u)*f ’(t-u)*du (4).

Поменяем ролями F(p) и G(p): p*F(p)*G(p) ÷ g(0)*f(t) + ₀∫^tg’(u)*f(t-u)*du = g(0)*f(t) + ₀∫^tf(u)*g’(t-u)*du (5).

Применение интеграла Дюамеля

Пусть требуется решить линейное диф. уравнение при нулевых начальных усл.:

L[x] = f(t) (6). Пусть известно решение x₁(t) урав. L[x]=1, также при нулевых нач. усл. Воспользуемся интегралом Дюамеля для реш (6)

Опер. урав-ния соответственно (6) и (7):

A(p)*X(p) = X(p) (8); A(p)*X₁(p)=1/p (9); x₁(t) ÷ X₁(t); x(t) ÷ X(p); f(t)÷F(p);

X(p) = p*X₁(p)*F(p) (10); x(t)=₀∫^tf(u)*x₁(t-u)*du (11); x(t)=x₁(t)*f(0) + ₀∫^tx₁(t)f’(t-u)*du (12); f(0)=0

41.Импульсная функция и её изображение по Лапласу.Некоторые св-ва δ функцию

δ={0,t<0,t>h;1/h,0<t<h.

_-∞∫^+∞ δ(t)dt=₀∫^+∞dt/h=1;(2)

h->0 получаем последовательность {δ(∂)},которая является расходящейся. Введём

условную функцию,которую будем считать пределом δ(t)=lim_h->0δ_n(t) (3)

Эта функция называется импульсной функцией нулевого порядка или

δ-функцией,или ф-ией Дирана.Эта ф-ия всюду=0 кроме точки t=0,где она δ(0)=∞

и для нее считается справедливым соотношение _-∞∫^+∞(t)dt=1.

Изображение δ-функции. δ_n(t)=1/h[η(t)- η(t-b)] (5).

По теореме запаздывания δ(t)÷ [1/h][(1/p)-(1/p)(e^(-ph))]

δ(t)÷ lim[1-e^(-ph)]/ph=1.(6)Рассмотрим график интеграла ф-ии

η(t)=₀∫^t δ(τ) dτ (7)

η(t)->η(t); δ(t)= η’(t) (9).Преобразуем соотношение (6) η(t) ÷1/p; δ(t)÷ p/p=1.

Значение оригинала при t=0 считаем=0.Для любой ф-ии оригинала φ(t) получаем

₀∫^∞φ(t) δ_n(t)dt=[1/h]₀∫^htdt переходя к пределу h->0 ₀∫^∞φ(t) δ(t)dt=φ(0) (10) h->0.

Если φ(t) разрывна при t=0 то под знаком φ(0) будем понимать правое предельное значение этой ф-ии.Значения ф-ии (10) δ(t)÷ ₀∫^∞[e^(-pt)] δ(t)=dt=e^(-pt)│_t=0=1

На δ-функц. Распространяються основы итерационного исчисления.Основные прав.

1)Теорема запаздывания δ(t-τ)=e^(-p τ); ₀∫^∞)[e^(-pt)]δ(t- τ)dt= e^(-pt) │_t=τ=e^(-pτ)

2)Теорема умножения 1)F(p) ÷ ₀∫^tδ(τ) δ(t-τ)dτ=δ(τ) │ _t=τ =δ(t) F(p) ÷ δ(τ) РИС

42. Передаточная ф-ия и ее применение к решению задач электротехники.

Рассмотрим неоднородное ДУ n-ого порядка y⁽ⁿ⁾+C_n-1y^(n-1)+…+C₁y¹+C₀y=f(t) (1). Пусть заданы начальные условия y(0),y¹(0), …,y^(n-1)(0) (2). Представим решение задачи Коши в виде суммы y=y₁+y₂ (3). y₁: y₁⁽ⁿ⁾+C_n-1y₁^(n-1)+…+C₁y₁⁽¹⁾+C₀y₁=f(t), y₁(0)=…=y₁^(n-1)(0)=0} (4) y₂: y₂⁽ⁿ⁾+C_n-1y₂^(n-1)+…+C₁y₂⁽¹⁾+C₀y₂=0, y₂(0),…,y₂^(n-1)(0)} (5). Сумма решений (4) и (5) даст общее решение задачи (1,2). Рассмотрим задачу (4). y(t)÷Y(p) операторные уравнения: pⁿY₁+C_n-1p^n-1Y₁+…+C₁p¹Y₁=F(p) (6), где Y₁(p)÷y₁(t), F(p)÷f(t). Введем обозначения: pⁿ+C_n-1p^n-1+…+C₁p¹=q(p), q(p)Y₁(p)=F(p), Y₁(p)=1/q(p)*F(p) (7). Обозначим 1/q(p) через G(p), тогда Y₁(p)=G(p)F(p) (8). Применив Теор о свертке сразу получаем искомое решение Y₁ задачи (4). y₁(t)=g(t)f(t)=₀∫^tg(τ)f(t-τ)dτ (9). Применение задачи (4) к решению задач, связанных с электротехникой. Зад.(4) назовем f(t)-входная функция, а y(t) – выходная функция. При нулевых нач дан на эл цепь описыв (4) действует только возбуждающая ф-я f(t), а y(t) – отклик на возбуждение. В пространстве изображений F(p) – входная ф-я(возб), а Y(p) – вых ф-я (отклик на возбуждение). Связь имеет вид Y(p)=G(p)F(p) (10). (для удобства заменяем Y₁(p)=Y(p)). Функция G(p) зависит от постоянных C_n-1,…,C₁,C_0, т.е. от внутр Эл цепи, она связывает ф-и Y(p) и F(p). Она назыв коэфф передачи или передаточной ф-ей. Соотв ф-я в пр-ве оригиналов называется ф-ей Грина для задачи (4) или в электротехнике – фесовой ф-ей. Схематическая связь м/у F;Y;G: F → G → Y. Пусть теперь несколько физ систем соединены м/у собой. Например входная ф-я первой системы и выходная второй: F→ G → Y → G₁ → Y₁. Y=GF, Y₁=G₁ Y, след-но Y₁=GG₁F след-но F → GG₁ → Y₁. Рисунок. Выходная ф-я Y₁ блока G питает G₁, находящ на линии обратной связи с вых ф-ей Y₂, подход к D… F-Y₂ или F+Y₂ – как угодно. Y₁=G(F-Y₂), Y₂=G₁Y₁, Y₁=(G/GG₁+1)F, H=G/GG₁+1. РИС

43. Дискретное преобразование Лапласа, связь с импульсной ф-ией.

Дискретное преобразование Лапласа. В прилож вместо f(t) может быть задана последовательность значений {f_n}, n=0,1,2…через опред промежуток времени t=0,1,2…Преобр-е Лапласа примен для ф-ции можно применить и к последовательности, если их заменить ступенчатой ф-ей f_n(t), n≤t≤n+1, n=0,1,2…}(1). Ф-я f₀(t) явл кусочно-пост и ее образ, согласно преобо Лапласа, имеет след вид: F₀(p)=_n=0∑^∞_n∫ⁿ⁺¹e^-ptf_ndt= _n=0∑^∞f_n(e^-np-e^-n(n+1)p)/p= (1-e^-p)/p( _n=0∑^∞f_ne^-np) (2). Запись (2) можно упростить, если отбросить множитель 1-e^-p/p, тогда в правой части (2) ост только _n=0∑^∞f_ne^-np – как результат непосредственных преобр посл-ти {f_n}. Это преобразование обозн символом Д, и называется дискретным преобр Лапласа Д[f_n]≡ _n=0∑^∞f_ne^-np. Замечание: Д-преодр можно рассматривать как преобр Лапласа но не ф-ции, а распределения. Последоват f_n=f(n) выдел из f(t) может быть рассм как результат импульсов δ(t-n) извлеч из f(t) в t=n знач ф-ции f(n). Совокупность этих импульсов моделируется посредством ф-ии f(t). В рез-те получаем f(t)= _n=0∑^∞f(t-n)= _n=0∑^∞f(n)δ(t-n)= f*(t). Ф-ю f*(t) будем называть распределением. Применив к f*(t) преобразование Лапласа, получим:L[_n=0∑^∞f(n)δ(t-n)]= _n=0∑^∞f(n)L[δ(t-n)]= _n=0∑^∞f_ne^-np=Д[f(n)] (4). Д[f(n)] – дискретное преобразование Лапласа(применено к распред{f_n}). (4) следует из Теор запаздывания для δ – функции {(4)=δ(t-τ)-e^-pτ(τ-h)}. Д[f(n)]=L[f*(t)] (5). Таким образом дискретное преобраз-е есть преобраз-е Лапласа некоторого распределения.

44. Z – преобразование, примеры.

Z – преобразование. Введем новую переменную z=e^p. Тогда ряд _n=0∑^∞f_ne^-np переходит в ряд по степеням 1/z и преобразование принимает след вид: F*(z)= _n=0∑^∞f_nz^-n=Z[f_n] (1) это преобр.наз z-преобразов.. F*(z)=Z[f_n]. f_n÷F*(z).

Замечание1: преобразования L,Z,Д связаны м/у собой след соотношением: L[f*]=Д[f_n]=Z[f_n]|_z=e^p=F*(e^p) (2).

Замечание2: Ряд (1) сходится вне некоторого круга комплексной пл-ти |z|>R≥0. Поэтому все особенности изображения F* находятся внутри круга |z|≤R.

Пример1. Найти z – преобр f_n=e^αn. F*(z)= _n=0∑^∞e^αnz^-n= _n=0∑^∞(e^αz^-1)ⁿ=1/(1-e^αz^-1)=z/(z-e^α). |z|>e^{Re α}. Положим α=0. f_n≡1, F*(z)= z/z-1÷f_n=1.

Пример2. Если cos, то cosα=(e^iα+e^-iα)/2.

Пример3. f_n=1/n. n≥0, f₀=0. F*(z)= _n=0∑^∞z^-n/n= _n=0∑^∞1/nzⁿ=ln(1/z-1).