Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1304 вуза, 5171 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)
Предмет:
Теория функций комплексного переменного
Файл:

Шпоры к вопросам / Литература / ТФКП

.pdf
Скачиваний:
37
Добавлен:
11.05.2014
Размер:
51.53 Mб
Скачать
☆

331

XX. kAK OPERIRU@T PREOBRAZOWANIEM lAPLASA

tRADICIONNYM PRILOVENIEM PREOBRAZOWANIQ lAPLASA, ILI, KAK E]E GOWORQT, OPERACIONNOGO IS^ISLENIQ1, QWLQETSQ RE[ENIE \OPERACIONNYM METODOM" LINEJNYH DIFFERENCI- ALXNYH (A TAKVE INTEGRALXNYH I INTEGRODIFFERENCIALX- NYH) URAWNENIJ I SISTEM, WOZNIKA@]IH, W ^ASTNOSTI, PRI RAS^ETE \LEKTRI^ESKIH CEPEJ | ZANQTII, PODWIG[EM BYW- [EGO SOTRUDNIKA TELEGRAFNOJ KOMPANII hEWISAJDA (XIX, SNOSKA 4 NA S. 309) K IZOBRETENI@ TOGO, ^TO STALI NAZYWATX

OPERACIONNYM IS^ISLENIEM.

oB]AQ SHEMA METODA WESXMA PROSTA I, ESLI ESTX OSNOWA- NIQ S^ITATX ISKOMYE (RAWNO KAK I ZADANNYE) FUNKCII ORIGINALAMI, SWODITSQ K SLEDU@]EMU:

a) OT ISHODNOGO URAWNENIQ, PRIMENQQ K OBEIM EGO ^AS- TQM PREOBRAZOWANIE lAPLASA I U^ITYWAQ IME@]IESQ (ILI DOPOLNITELXNO ZADAWAEMYE) NA^ALXNYE USLOWIQ, PEREHODQT K TAK NAZYWAEMOMU URAWNENI@ W IZOBRAVENIQH

B) RE[AQ POLU^ENNOE URAWNENIE (A ONO, ESLI, K PRIMERU, ISHODNOE URAWNENIE BYLO DIFFERENCIALXNYM, OKAZYWAETSQ

ALGEBRAI^ESKIM2) NAHODQT IZOBRAVENIQ ISKOMYH FUNKCIJ W) PO NAJDENNYM IZOBRAVENIQM NAHODQT FUNKCII-ORIGI-

NALY, ISPOLXZUQ IME@]IESQ SPRAWO^NYE TABLICY ILI INYE SPOSOBY WOSSTANOWLENIQ ORIGINALOW PO IH IZOBRAVENIQM.

wOT NESKOLXKO PRIMEROW, ILL@STRIRU@]IH KAK SAMU \TU SHEMU, TAK I TIPOWYE PRIEMY EE REALIZACII.

1 nA SAMOM DELE TERMIN OPERACIONNOE IS^ISLENIE IMEET BOLEE [I- ROKIJ SMYSL: POMIMO PREOBRAZOWANIQ lAPLASA ON OHWATYWAET WSE ME-

TODY SWEDENIQ DIFFERENCIALXNYH (I INTEGRALXNYH ) URAWNENIJ K AL-

GEBRAI^ESKIM.

2 iLI DIFFERENCIALXNYM, NO S MENX[IM ^ISLOM PEREMENNYH.

332

1.nAJTI OB]EE RE[ENIE URAWNENIQ x + !2x = f(t), A

DLQ SLU^AEW A) f(t) = cos t ( 6= !) I B) f(t) = cos !t NAJ-

TI EGO ^ASTNYE RE[ENIQ, OTWE^A@]IE NULEWYM NA^ALXNYM USLOWIQM: x(0)=0 x(0)=0.

dLQ NAHOVDENIQ OB]EGO RE[ENIQ URAWNENIQ ZA NA^ALXNYE ZNA^ENIQ ISKOMOJ FUNKCII BERUT PROIZWOLXNYE ^ISLA:

x(0) = c1 x(0) = c2,

POSLE ^EGO, POLAGAQ x(t) : X(p), a

f(t) : F (p), PRIHODQT K URAWNENI@ W IZOBRAVENIQH:

 

p2X(p) ; px(0) ; x(0)

+ !2 X(p) = F (p).

w EGO RE[ENII;

 

 

F (p)

c1p+c2

PERWOE SLAGAEMOE ESTX

X(p) = p2+!2

 

 

 

+ p2

+!2

 

 

 

 

 

 

1

t

 

 

 

 

IZOBRAVENIE SWERTKI

0 f( ) sin !(t; )d , WTOROE VE | LI-

!

 

 

 

 

 

 

R

 

1

sin !t. wWIDU PROIZWOLX-

 

 

 

 

 

 

 

 

NEJNOJ KOMBINACII c1 cos !t + c2

!

NOSTI ^ISEL c1 c2 (I WOZMOVNOSTI IH PEREOBOZNA^ENIQ) OB-

]IM RE[ENIEM ISHODNOGO NEODNORODNOGO URAWNENIQ BUDET

x(t) =

1

t f( ) sin !(t; )d +

c1 cos !t + c2 sin !t ,

!

0

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

T. E. (KAK I SLEDOWALO OVIDATX) SUMMA EGO ^ASTNOGO RE[E-

NIQ (S NULEWYMI NA^ALXNYMI USLOWIQMI) I OB]EGO RE[ENIQ

SOOTWETSTWU@]EGO ODNORODNOGO URAWNENIQ.

w SLU^AE f(t) = cos t

(I NULEWYH NA^ALXNYH USLOWIJ)

RE[ENIEM URAWNENIQ W IZOBRAVENIQH QWLQETSQ

 

 

X(p)=

 

 

p

 

 

 

 

 

=

 

1

 

 

 

 

p

 

 

 

 

p

 

PRI

= !

2

2

 

2

2

 

 

2

 

2

 

2

+

2

 

2

2

 

I

(p

+ )(p

+! )

 

 

!

;

 

p

 

; p

+!

 

6

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X(p) =

(p2+!2)2 =

;

2

p2+!2

PRI =!,

 

SOOTWETSTWENNO ^EMU

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x(t) =

 

 

1

 

cos t

;

cos !t

PRI =!

 

 

 

 

2

2

 

I

 

 

 

 

! ;

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x(t) = t 2! sin !t

PRI

=! (REZONANSNYJ SLU^AJ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

333

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x=y;z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

rE[ITX SISTEMU URAWNENIJ

 

y =x+y

 

S NA^ALXNYMI

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<z =x+z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

USLOWIQMI x(0)=1 y(0)=2 z(0)=3.>

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

;1=Y ;Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pX

 

pEREHOD K IZOBRAVENIQM DAET SISTEMU

 

pY 2=X +Y ,

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

;3= X+Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<pZ

RE[AQ KOTORU@ (NAPRIMER, PO PRAWILU kRAMERA), MOVNO PO-

LU^ITX OTWET W IZOBRAVENIQH:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X =

p

 

2

 

, Y =

2p2

p

2

, Z =

3p2

 

 

2p;2

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

;

 

;2

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p(p;1)

 

 

p(p;1)

 

 

 

p(p;

 

 

 

 

 

 

RAZLOVENIE VE POLU^ENNYH DROBEJ NA PROSTYE

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X =

2

 

1

 

, Y =

;2 +

4

 

 

 

1

 

, Z =

;2

+

 

 

 

5

 

 

 

1

 

p

; p;1

 

 

 

 

p

p;1 ; (p;

1)

 

 

p

 

 

 

 

 

p;1

; (p;1)

PoZWOLQET POLU^ITX OKON^ATELXNYJ OTWET:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x(t)=2 ; et y(t)=;2 + 4et ; tet z(t)=;2 + 5et ; tet.

3.

nAJTI OB]EE RE[ENIE URAWNENIQ tx

;(1+t)x+x = 0.

s^ITAQ NA^ALXNYE ZNA^ENIQ x(0) x(0)

PROIZWOLXNYMI

^ISLAMI, POLAGAQ x(t) : X(p) I POLXZUQSX SWOJSTWAMI DIF-

FERENCIROWANIQ ORIGINALA I IZOBRAVENIQ (XIX, c. 316{317),

MOVNO PEREJTI K URAWNENI@ W IZOBRAVENIQH1:

;;p2X;px(0);x(0) 0;;pX;x(0) +;pX ;x(0) 0+X = 0. zAPISX EGO W WIDE

;p2 ;p X0+(3p;2)X = 2x(0)

I PRIMENENIE STANDARTNOJ SHEMY RE[ENIQ LINEJNYH NEODNORODNYH DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ 1-GO PORQDKA (METOD WARIACII PROIZWOLXNOJ POSTOQNNOJ) PRIWODIT POSLEDOWATELXNO K SOOTNO[ENIQM:

1 w KOTOROM [TRIH OBOZNA^AET PROIZWODNU@ PO p.

334

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

C0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X = p2

(p;1)

C =C(p)

(p

 

;p) p2(p;1)

= 2x(0),

 

 

 

 

 

 

 

x(0)p2 + C

 

 

 

x(0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C =x(0)p2 +C

;X =

2

;

e

=

 

;

 

 

+

 

;e t

;

e

;

e

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

;

 

C2

 

C

 

 

 

e

 

 

p (p

 

1)

 

 

 

p 1

 

 

p

t

 

p

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

e

 

 

 

e

 

 

PEREHOD K ORIGINALU DAET: x(t) = x(0)+C e

 

C(t+1) ILI

(

POSLE PEREOBOZNA^ENIQ KONSTANT

) x(t)=c1e + c2(t+1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. nAJTI RE[ENIE URAWNENIQ tx+2x+tx= sin t, UDOWLE-

TWORQ@]EE NULEWYM NA^ALXNYM USLOWIQM: x(0)=0

x(0)=0.

 

sOOTWETSTWU@]IM URAWNENIEM W IZOBRAVENIQH BUDET

 

 

 

;(p2X)0+ 2pX

; X0 =

1

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p2+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W SILU ^EGO X0= ; (p2+1)2 . s U^ETOM SWOJSTWA DIFFERENCI-

ROWANIQ IZOBRAVENIQ (XIX, c. 317) I IZOBRAVENIQ SWERTKI

(XIX, c. 321) POSLEDNEE RAWENSTWO POZWOLQET ZAKL@^ITX, ^TO

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R;

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

t

 

 

 

 

 

 

 

 

;tx(t) : ;0 sin sin(t; )d =

2

0

cos t ; cos(2 ;t) d =

 

 

 

 

 

 

 

=

1

t cos t

;

1

sin(2

;t) =0 =

1

 

t cos t ; sin t ,

 

 

 

 

 

 

2

4

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

sint

; cos t .

 

 

;

 

 

 

 

I OKON^ATELXNO x(t)=

2

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

5. rE[ITX INTEGRALXNOE URAWNENIE wOLXTERRY1 (TIPA

SWERTKI)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x(t) = t +

0 sin(t;u)x(u)du.

 

 

 

 

 

 

 

pOLAGAQ x(t) : XR(p) I WSPOMINAQ IZOBRAVENIE SWERTKI2,

URAWNENIE MOVNO ZAPISATX W IZOBRAVENIQH:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X(p)=

 

1

+

1

 

 

X(p)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

p +1

 

 

 

 

 

 

 

 

RE[ENIE EGO I WOZWRA]ENIE K ORIGINALU DA@T:

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

p2

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X(p) =

 

 

1

 

 

=

2

+

 

4

 

 

, A SLEDOWATELXNO, x(t) = t +

 

.

 

 

1;p2+1

 

 

p

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

1 wOLXTERRA (Volterra, Vito, 1860 {1940) | ITALXQNSKIJ MATEMATIK.

2 XIX, S. 321.

335

rIS. 131

6. nAJTI WELI^INU TOKA ^EREZ KONDENSATOR W SHEME, IZ- OBRAVENNOJ NA RIS. 131, ESLI NA WHOD PODANO NAPRQVENIE u0 = 100 B, EMKOSTX KONDENSATORA C = 100 MKf, INDUKTIWNOSTX KATU[KI L=29 4 MgN, SOPROTIWLENIE R =10 Om, A

KL@^ WKL@^AETSQ W MOMENT WREMENI t=0.

pUSTX iC = iC(t) I iL = iL(t) | TOKI SOOTWETSTWENNO ^EREZ KONDENSATOR I KATU[KU, PRI \TOM iC(0) = iL(0) = 0. pOSKOLXKU NA^ALXNOE PADENIE NAPRQVENIQ NA KONDENSA-

TORe RAWNQLOSX u0,

K MOMENTU WREMENI t

ONO OKAZYWAETSQ

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

RAWNYM u0 +

1=C

 

iC (t)dt, PADENIE VE NAPRQVENIQ NA KA-

 

;(

 

0

 

 

) Li0L c

 

 

 

 

R

 

 

 

 

TU[KE RAWNO

 

PO ZAKONU lENCA

 

 

 

 

U^ETOM ZAKONA oMA

\TO PRIWODIT K SISTEME URAWNENIJ

R

 

 

8

 

 

 

 

;

 

 

 

<

 

 

 

L

 

 

 

 

t

 

 

R(iC +iL) + 1=C u0C + iC (t)dt = u0

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

R(iC +iL) + Li0 = u0:

 

 

 

 

 

pEREHOD:K IZOBRAVENIQM iC (t) : IC (p) iL(t) : IL(p) PRE-

OBRAZUET EE W SISTEMU

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R(IC

+IL) + IC=(Cp) = 0

 

 

 

 

R(IC

+IL) + L(pIL

;

0) = u0=p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

336

IZ KOTOROJ SLEDUET, ^TO

 

 

u0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

IC =

 

 

 

 

;u0

 

 

 

 

=

 

 

; L

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

p;

1

+

L

+Lp

 

 

 

 

p2+RC +LC

 

 

 

 

 

 

 

C p

RC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

100

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;29 4

 

10

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

3400

 

 

=

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

;

1

 

 

 

 

=

 

,

 

p2+

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

; (p+500)

2

+300

2

 

 

10 100 10;6

29 4 10;3 100

10;6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I (PO PEREHODU K ORIGINALU) iC (t) = 11 3 e;500 t sin 300t[A].

 

7. w SHEME, IZOBRAVENNOJ NA RIS. 132, a, NAJTI WYHODNOE NAPRQVENIE uR2 (t), ESLI R1 = R2 = 1 KOM, C = 2000 MKf,

A ZAWISIMOSTX u = u(t) WHODNOGO NAPRQVENIQ OT WREMENI PREDSTAWLENA NA RIS. 132, B.

 

 

 

rIS. 132

pRI OBOZNA^ENII

i1 = i1(t)

I i2 = i2(t) TOKOW SOOTWET-

STWENNO ^EREZ KONDENSATOR I PARALLELXNOE EMU SOPROTIW-

LENIE (KAK NA RIS. 132, a) DLQ NIH MOVNO ZAPISATX SISTEMU

URAWNENIJ

8

 

;

R

 

 

 

<

 

 

t

 

R1

(i1

+i2) + 1=C i1(t)dt = u

 

:

 

 

0

 

 

 

 

 

R1

(i1

+i2) + R2i2 = u:

337

eSLI S^ITATX, ^TO i1(t) :I1(p) i2(t) :I2(p), a u(t) :U(p), TO SISTEMOJ URAWNENIJ W IZOBRAVENIQH BUDET

(R1(I1 +I2) + I1=(Cp) = U R1(I1 +I2) + R2I2 = U :

iZ NEE SLEDUET,

^TO I2 =

 

 

 

U

 

 

 

 

, A SLEDOWATELXNO,

R1R2 C p+(R1+R2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R2 U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

uR2(t) = R2 i2(t) : R2I2 = R1R2 C p+(R1 +R2) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

103 U

 

 

 

 

 

 

U

 

 

 

 

1

t

(t

 

)

 

 

 

= 103 103

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2000 10;6p+2 103

= 2(p+1)

 

 

2 0 u( )e; ;

 

d .

 

pRIMENITELXNO VE K ZADANNOMU WHODNOMUR

NAPRQVENI@

(RIS. 132, B) WY^ISLENIE POSLEDNEGO INTEGRALA DAET:

 

 

 

 

 

ESLI 06t6

1, TO

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

(t) =

1

t

100 e ;td =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R2

2 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 50 e ;t

 

t =0 ;

0 e ;td = 50 t;1+e;t

 

 

[B],

 

ESLI VE t>1, TO

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

(t) =

 

 

100 e ;td +

100( 1)e ;td =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

t

+t;2+ee;

t

 

[B].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 50 e;

 

 

 

 

dLQ UPRO]ENIQ RAS^ETA \LEKTRI^ESKIH CEPEJ IH RAZDELQ@T NA OT-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

DELXNYE U^ASTKI (KONTURY), HARAKTERIZU@]IESQ (WNE ZAWISIMOSTI OT

INDIWIDUALXNOGO USTROJSTWA KAVDOGO) NALI^IEM DWUH KLEMM WHODNOGO

NAPRQVENIQ I DWUH KLEMM WYHODNOGO. tAKIE U^ASTKI W \LEKTROTEHNI-

KE NAZYWA@T ^ETYREHPOL@SNIKAMI. oTNO[ENIE IZOBRAVENIQ NAPRQ-

VENIQ NA WYHODE ^ETYREHPOL@SNIKA K IZOBRAVENI@ NAPRQVENIQ NA

WHODE NAZYWA@T

PEREDATO^NOJ FUNKCIEJ

^ETYREHPOL@SNIKA. w ^AST-

NOSTI, ^ETYREHPOL@SNIK W RAZOBRANNOM PRIMERE IMEET PEREDATO^NU@

FUNKCI@

UR2

=

 

R2

 

. pRI POSLEDOWATELXNOM WKL@^E-

U

 

R1R2 C p+(R1 +R2)

 

 

 

 

 

NII ^ETYREHPOL@SNIKOW IH PEREDATO^NYE FUNKCII PEREMNOVA@TSQ.

338

8. nAJTI FORMULU RASPROSTRANENIQ \LEKTRI^ESKOGO PO- TENCIALA u = u(x t) W POLUBESKONE^NOJ PROWODNOJ LINII (06x<+1), NA WHOD KOTOROJ (x=0) PODAETSQ (PRI t>0) PO- TENCIAL "="(t) ZA \POLOVITELXNOE" NAPRAWLENIE TOKA i= i(x t) PRINIMAETSQ NAPRAWLENIE WOZRASTANIQ x (RIS. 133),

PRI \TOM NA^ALXNYE ZNA^ENIQ POTENCIALA I TOKA S^ITA-

@TSQ NULEWYMI: u(x 0) = 0 i(x 0) = 0. pARAMETRAMI LINII SLUVAT OTNESENNYE K EDINICE DLINY LINII

a) AKTIWNOE (OMI^ESKOE) SOPROTIWLENIE1 R

B) INDUKTIWNOSTX2 L W) EMKOSTX3 C

G) KO\FFICIENT POTERX4 G.

zADA^U RE[ITX W SLU^AE LG=RC | LINII \BEZ ISKAVENIJ" (SMYSL TERMINA WYQSNITSQ NIVE).

rIS. 133

1 zAWISQ]EE OT MATERIALA I SE^ENIQ PROWODA.

2 kO\FFICIENT PROPORCIONALXNOSTI MEVDU |ds SAMOINDUKCII I SKOROSTX@ IZMENENIQ TOKA.

3 kO\FFICIENT PROPORCIONALXNOSTI MEVDU SKOPIW[IMSQ ZARQDOM I POTENCIALOM (OBKLADKAMI \KONDENSATORA" SLUVAT PROWOD I \ZEMLQ" S OKRUVA@]IMI PROWOD PREDMETAMI).

4 kO\FFICIENT PROPORCIONALXNOSTI MEVDU POTOKOM STEKA@]EGO ^E- REZ IZOLQCI@ ZARQDA I POTENCIALOM PROWODA.

339

pRIMENENIE ZAKONA oMA K U^ASTKU LINII OT x DO x+Mx PRIWODIT K SOOTNO[ENI@

u(x t) ; u(x+Mx t) = RMxi(x t) + LMxi0t(x t)

(POD ZNA^ENIQMI TOKA I EGO PROIZWODNOJ PONIMA@TSQ IH USREDNENIQ NA U^ASTKE OT x DO x+Mx). dELENIE EGO PRAWOJ I LEWOJ ^ASTEJ NA Mx I USTREMLENIE Mx K NUL@ PRIWODIT K PERWOMU IZ TAK NAZYWAEMYH TELEGRAFNYH URAWNENIJ:

u0x + Ri + Li0t = 0 .

s DRUGOJ STORONY, SOSTAWLENIE BALLANSA ZARQDA ZA PRO- MEVUTOK WREMENI OT t DO t+Mt POZWOLQET ZAPISATX:

;i(x t) ; i(x+Mx t) Mt =

= CMx;u(x t+Mt) ; u(x t) + GMxu(x t)Mt

(ZNA^ENIQ TOKA I POTENCIALA PONIMA@TSQ KAK USREDNENNYE SOOTWETSTWENNO PO WREMENI I/ILI KOORDINATE) DELENIE

OBEIH ^ASTEJ RAWENSTWA NA x I t S POSLEDU@]IM USTREM-

 

 

M

M

LENIEM IH K NUL@ DA@T WTOROE TELEGRAFNOE URAWNENIE:

 

 

 

 

 

 

i0

+ Cu0

+ Gu = 0

.

 

x

t

 

 

iSKL@^ENIE TOKA IZ POLU^ENNOJ SISTEMY TELEGRAFNYH URAWNENIJ (WY^ITANIEM IZ PERWOGO URAWNENIQ, PRODIFFE- RENCIROWANNOGO PO x, WTOROGO URAWNENIQ, UMNOVENNOGO NA L I PRODIFFERENCIROWANNOGO PO t, S POSLEDU@]IM WYRA- VENIEM i0x ^EREZ u I u0t IZ WTOROGO URAWNENIQ) PRIWODIT K TELEGRAFNOMU URAWNENI@ WTOROGO PORQDKA OTNOSITELXNO u:

u00

LCu00

(LG+RC)u0

RGu = 0:

(

)

xx ;

tt ;

t;

 

 

 

s U^ETOM USLOWIJ u(x 0) = 0 i(x 0) = 0 (I WTOROGO TELE-

GRAFNOGO URAWNENIQ) WOZNIKAET ZADA^A kO[I: NAJTI RE[E- NIE u = u(x t) URAWNENIQ ( ), UDOWLETWORQ@]EE NA^ALXNYM USLOWIQM u(x 0) = 0 u0t(x 0) = 0 I GRANI^NOMU USLOWI@ u(0 t) = "(t).

340

mETOD RE[ENIQ \TOJ ZADA^I | PRIMENENIE PREOBRAZOWANIQ lAPLASA PO PEREMENNOJ t:

 

 

 

 

 

 

 

+1

 

 

 

 

 

+1

u(x t) : U(x p) = u(x t)e;ptdt, "(t) : E(p) = "(t)e;ptdt,

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

0

 

 

u0(x t) : pU(Rx p) u(x 0) = pU(x p),

R

 

 

t

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

u00

 

 

 

 

 

 

 

u0(x 0) = p2U(x p),

 

 

 

(x t) : p2U(x p)

;

pu(x 0)

;

 

 

tt

 

 

 

+1

 

 

t

 

 

 

u00

 

 

(x t) :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u00 (x t)e;ptdt = U00(x p).1

 

 

 

xx

 

 

xx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

sFORMULIROWANNAQR

ZADA^A kO[I DLQ URAWNENIQ W ^AST-

NYH PROIZWODNYH (*) PEREHODIT PRI \TOM W KRAEWU@ ZADA^U

 

d2U

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx2 ;

 

 

LCp

+ (LG + RC)p + RG U = 0 U(0 p) = E(p)

DLQ LINEJNOGO ODNORODNOGO DIFFERENCIALXNOGO URAWNENIQ S

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

POSTOQNNYMI (PO OTNO[ENI@ K PEREMENNOJ x) KO\FFICIEN-

TAMI. w SLU^AE LG=RC KORNQMI EGO HARAKTERISTI^ESKOGO

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

URAWNENIQ SLUVAT ppLC+pRG

 

,2 A POTOMU OB]EE RE[E-

NIE DANNOGO DIFFERENCIALXNOGO URAWNENIQ IMEET WID

 

 

 

U(x p) = c1e(pp

 

+pRG)x + c2e;(ppLC+pRG)x,

 

 

 

 

LC

 

 

 

 

GDE c1 c2 | PROIZWOLXNYE KO\FFICIENTY (NE ZAWISQ]IE OT

x, NO, WOZMOVNO, ZAWISQ]IE OT p).

 

;!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tAK KAK DOLVNO WYPOLNQTXSQ USLOWIE U(x p) Re p

!

+

1

0

(XIX, S. 311), A IZ DWUH \KSPONENT W PREDSTAWLENII U(x p)

LI[X WTORAQ STREMITSQ K NUL@ PRI Rep ! +1, KO\FFICI- ENT c1 DOLVEN RAWNQTXSQ NUL@, IZ USLOWIQ VE U(0 p)=E(p)

1 pOSLEDNEE RAWENSTWO OZNA^AET WOZMOVNOSTX DIFFERENCIROWANIQ

 

+1

.

INTEGRALA

R

u(x t)e;ptdt PO PARAMETRU

 

x, DLQ OBOSNOWANIQ KOTOROGO

0

NET DOSTATO^NOJ INFORMACII O PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII zAMENOJ \TOGO OBOSNOWANIQ MOVET SLUVITX PRQMAQ PROWERKA OKON^ATELXNOGO REZULXTATA.

2 pRI LG = RC MNOGO^LEN 2-J STEPENI LC p2 + (LG + RC)p + RG PRINIMAET WID ;ppLC+pRG 2.

Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности