Шпоры к вопросам / Литература / ТФКП
.pdf
341
SLEDUET, ^TO c2 = E(p). oSTAETSQ PRIMENITX K POLU^ENNOMU RE[ENI@ W IZOBRAVENIQH
U(x p) = E(p)e;(ppLC+pRG)x = e;ppLC;e;xpRGE(p)
SWOJSTWO ZAPAZDYWANIQ ORIGINALA (XIX, c. 318): u(x t)=e;xpRG";t;xpLC .
wYWOD: W SLU^AE LG = RC PODAWAEMYJ NA WHOD SIGNAL (POTENCIAL) "(t) RASPROSTRANQETSQ SO SKOROSTX@ pLC1 , PRI
\TOM FORMA SIGNALA NE ISKAVAETSQ, A EGO AMPLITUDA (PO PRIHODU SIGNALA W TO^KU x) UMENX[AETSQ W expRG RAZ.
pRILOVENIQ K RAZNOSTNYM URAWNENIQM.
aNALOGAMI DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ, KOGDA W KA^EST-
WE U^ASTWU@]IH W NIH FUNKCIJ WYSTUPA@T POSLEDOWATELX-
NOSTI, QWLQ@TSQ RAZNOSTNYE URAWNENIQ.
k PRIMERU, LINEJNOE RAZNOSTNOE URAWNENIE k-GO PORQDKA S POSTOQNNYMI KO\FFICIENTAMI IMEET WID
xn+k + a1 xn+k;1 + + ak xn = bn n = 0 1 2 : : : , |
|
GDE a1 : : : ak | ZADANNYE ^ISLA, A fbng1 |
= b0 b1 b2 : : : | |
ZADANNAQ ^ISLOWAQ POSLEDOWATELXNOSTX. |
|
zADA^A kO[I DLQ TAKOGO RAZNOSTNOGO URAWNENIQ IMEET SLEDU@]U@ FORMULIROWKU: NAJTI ^ISLOWU@ POSLEDOWATELX-
1 fAKTI^ESKI TAKOE RAZNOSTNOE URAWNENIE (A W SLU^AE, ESLI WSE bn =0, EGO NAZYWA@T ODNORODNYM) ESTX BESKONE^NAQ SISTEMA LINEJNYH
ALGEBRAI^ESKIH URAWNENIJ.
rAZNOSTNYE URAWNENIQ ^ASTO WOZNIKA@T KAK DISKRETNYE PRIBLIVE-
NIQ DIFFERENCIALXNYH, KOGDA FUNKCII ZAMENQ@T POSLEDOWATELXNOSTQMI IH ZNA^ENIJ W (OBY^NO RAWNOOTSTOQ]IH) TO^KAH ^ISLOWOJ OSI. nAPRIMER, SOOTWETSTWU@]IM RAZNOSTNYM URAWNENIEM (ODNORODNYM)
DLQ URAWNENIQ KOLEBANIQ MAQTNIKA x +!2x =0 BUDET |
||||||
xn+2 |
;2x2n+1 |
+xn |
+ !2xn+1 =0, ILI |
xn+2 + (h2!2 |
; |
2)xn+1 + xn = 0, |
|
||||||
|
h |
|
|
|
|
|
GDE xn = x(nh) n = 0 1 2 : : : , | ZNA^ENIQ ISKOMOJ FUNKCII PRI t = 0 h 2h 3h : : :
342
NOSTX fxng=x0 x1 x2 : : : , UDOWLETWORQ@]U@ DANNOMU RAZNOSTNOMU URAWNENI@ I IME@]U@ W KA^ESTWE NA^ALXNYH k \LEMENTOW (x0 : : : xk;1) ZADANNYE k ^ISEL. tO, ^TO RE[ENIE \TOJ ZADA^I (POSLEDOWATELXNOSTX fxng S \TIMI SWOJSTWAMI) SU]ESTWUET I QWLQETSQ EDINSTWENNYM, NAPRQMU@ WYTEKA- ET IZ WOZMOVNOSTI WY^ISLENIQ \LEMENTOW POSLEDOWATELXNOS- TI fxng, NA^INAQ S xk , PO k PREDYDU]IM. iNTERES VE PRED- STAWLQET POLU^ENIE OB]EJ FORMULY \TIH \LEMENTOW.
k ZADA^E kO[I DLQ LINEJNOGO ODNORODNOGO RAZNOSTNOGO yRAWNENIQ (2-GO PORQDKA) PRIWODIT SLEDU@]AQ \zADA^A O KROLIKAH" IZ \kNIGI ABAKA" (\Liber abaci")1 ITALXQNSKOGO MATEMATIKA lEONARDO pIZANSKOGO, ILI fIBONA^^I2
w PERWYJ DENX QNWARQ W ZAGON POME]A@T PARU KROLIKOW, KOTORYE PROIZWODQT NOWU@ PARU KROLIKOW W PERWYJ DENX FE- WRALQ I ZATEM W PERWYJ DENX KAVDOGO SLEDU@]EGO MESQCA. kAVDAQ NOWOROVDENNAQ PARA STANOWITSQ ZRELOJ UVE ^EREZ MESQC I ZATEM ^EREZ MESQC DAET VIZNX NOWOJ PARE KROLIKOW. sKOLXKO PAR KROLIKOW BUDET W ZAGONE ^EREZ GOD, T. E. ^EREZ 12 MESQCEW S NA^ALA RAZMNOVENIQ?
oBOZNA^AQ xn n = 0 1 : : : 12, ^ISLO PAR KROLIKOW (ZRE- LYH) W PERWYJ DENX n-GO MESQCA (S^ITAQ x0 = 0), PRIHODQT K ZADA^E kO[I DLQ ODNORODNOGO RAZNOSTNOGO URAWNENIQ3 xn+2; xn+1;xn = 0 S NA^ALXNYMI USLOWIQMI x0 =0 x1 =1.
pOSKOLXKU PREOBRAZOWANIE lAPLASA K POSLEDOWATELXNOS-
TQM NAPRQMU@ NE PRIMENIMO, EGO PRIWLE^ENIE K RE[ENI@
S^ETNAQ DOSKA W \TOJ WPERWYE WY[ED[EJ W 1202 G. RUKOPISNOJ KNIGE BYLI IZLOVENY DOSTIVENIQ ARABSKIH MATEMATIKOW, I S NEE NA^ALSQ PEREHOD W eWROPE OT RIMSKIH CIFR K ARABSKIM.
2 Leonardo Pisano (Fibonacci | ZNA^IT SYN bONA^^O) RODILSQ MEVDU
1170 I 1180 GG., UMER NE RANEE 1240 G. o EGO VIZNI, EGO WREMENI, EGO PUTE[ESTWIQH I KNIGAH O^ENX INTERESNO NAPISANO W [34].
3 oB OGRANI^ENII n612, RAZUMEETSQ, MOVNO ZABYTX.
343
RAZNOSTNYH URAWNENIJ ORGANIZU@T SLEDU@]IM OBRAZOM. oT
POSLEDOWATELXNOSTEJ fxng = x0 x1 x2 : : : PEREHODQT K STU- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
PEN^ATYM FUNKCIQM |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
ESLI |
|
|
t<0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
ESLI |
|
0 |
6t<1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
def |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
6t<2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(t) = |
>x1 ESLI 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
<x2 |
ESLI |
|
2 |
6t<3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
I UVE K NIM, PREDPOLAGAQ, ^TO ONI QWLQ@TSQ ORIGINALAMI |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(XIX, c. 310) |
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
PRIMENQ@T PREOBRAZOWANIE lAPLASA: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x(t) : X(p) = |
x(t)e;ptdt = lim |
|
|
x(t)e;ptdt = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
n!+1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
e= lime |
|
|
1 |
|
|
R pt |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
R |
e |
|
|
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pt |
|
|
|
|
+ |
|
xn e; |
pt |
dt |
|
= |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
x0 e;e dt + x1 e; |
|
dt + |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
n |
! |
+ |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 R |
|
|
p |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
p + |
|
|
|
|
|
||||||||||
= lim |
1;e; |
|
x0 + x1e;p + |
|
+ xn e;np |
|
= |
1;e; |
|
|
|
|
1xn e;np. |
||||||||||||||||||||||||||||
n!+1 |
p |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|||||
oPUSKAQ OB]IJ DLQ IZOBRAVENIJ TAKIH STUPEN^ATYH |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
FUNKCIJ MNOVITELX |
|
1;pe;p |
, OPREDELQ@T |
DISKRETNOE PREOB- |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
RAZOWANIE lAPLASA |
ISHODNOJ POSLEDOWATELXNOSTI fxng |
: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
xn |
|
|
D |
+1 |
|
np |
= x0 +x1e; |
p |
+x2 e; |
2p |
+x3 e; |
3p |
+ |
|
|
|
, |
|
||||||||||||||||||||
|
f |
|
: |
|
|
|
xn e; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
g |
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
WOSPRINIMAQ EGO ISKL@^ITELXNO KAK SOKRA]ENNU@ ZAPISX
OBY^NOGO PREOBRAZOWANIQ lAPLASA SOOTWETSTWU@]EJ STUPEN^ATOJ FUNKCII2.
1 a \TO RAWNOSILXNO TOMU, ^TO DLQ NEKOTOROGO ^ISLA WYPOLNQETSQ OCENKA xn = O(e n).
2 w OBOZNA^ENII ep = z DISKRETNOE PREOBRAZOWANIE lAPLaSA NAZY-
WA@T E]E Z-PREOBRAZOWANIEM. pODROBNEE OB \TOM | U g. dE^A [6].
344
nEKOTORYE, WPRO^EM, PREDPO^ITA@T OPERIROWATX DISKRETNYM PRE- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
OBRAZOWANIEM lAPLASA KAK OBY^NYM (INTEGRALXNYM), NO TOLXKO NE PO- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
SLEDOWATELXNOSTI f+xng, A OBOB]ENNOJ FUNKCII (PSEWDOFUNKCII, RAS- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
PREDELENIQ) x (t) = |
1xn (t |
; |
n), GDE (t) | TAK NAZYWAEMAQ \DELXTA |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
-FUNKCIQ" dIRAKA |
|
SO SLEDU@]IM FORMALXNYM PRAWILOM INTEGRIRO |
- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|||||
WANIQ EE PROIZWEDENIQ S \OBY^NOJ" FUNKCIEJ: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
f(t) (t;a)dt = f(a). |
||||||||||||||||||||||||||||||||
wWIDU \TOGO SWOJSTWA FORMALXNO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
;1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x (t) : |
+1+1 |
xn (t;n)e; |
pt |
dt = |
+1 |
xn e; |
np |
D |
|
|||||||||||||||||||||||||
0 |
n=0 |
|
|
n=0 |
|
|
fxng. |
|
||||||||||||||||||||||||||
pODROBNO OB \TOMR |
PODHODEP |
MOVNO PRO^ITATXP U g. bREMERMANA [1]. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
tAK KAK PRI Re p >ln |
j |
q |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
+1 |
n |
|
np |
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
p |
|
2 |
|
|
p |
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
||||
n=0 q |
|
e; |
|
= 1+ qe; |
|
+(qe; |
|
) |
|
|
+(qe; |
) |
|
+ = 1;qe;p , |
|
|||||||||||||||||||
SPRAWEDLIWA SLEDU@]AQ FORMULA DISKRETNOGO PREOBRAZOWA- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
NIQ lAPLASA GEOMETRI^ESKOJ PROGRESSII: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
fq |
n |
D |
+1 |
n |
e; |
np |
|
ep |
|
|
. |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
g : n=0q |
|
|
|
|
= |
ep;q |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
hORO[IJ PRIMER PRIMENENIQ DISKRETNOGO PREOBRAZOWA-
NIQ lAPLASA | OTYSKANIE FORMULY ^ISEL fIBONA^^I2, T. E.
RE[ENIE RAZNOSTNOGO URAWNENIQ xn+2 |
; xn+1 |
; xn = 0 S NA- |
||||||
^ALXNYMI USLOWIQMI |
x0 =0 x1 =1 (c. 342). pOLAGAQ |
|||||||
D |
def |
|
p |
|
2p |
|
3p |
+ , |
fxng : X(p) = x0 + x1e; |
|
+ x2e; |
|
+ x3e; |
|
|||
MOVNO PRIJTI K SOOTNO[ENIQM |
|
|
|
|
||||
1 hOTQ PRINQTO S^ITATX, ^TO EE WWEL ANGLIJSKIJ FIZIK dIRAK (TO^-
NEE, dIR\K Dirac Paul Adrien Maurice, 1902{1984), \TOJ \FUNKCIEJ"
OPERIROWALI I DO NEGO | NAPRIMER, kO[I W OPUBLIKOWANNOM W 1827 G.
MEMUARE O RASPROSTRENENII WOLN (\Theorie de la propogation des ondes") [28], ser. I, t. I, p. 5{318 (KONKRETNO NA S. 28{29, 61, 63).
2 1 1 2 3 5 8 13 21 : : : (x1 = x2 = 1, A KAVDOE SLEDU@]EE ESTX SUMMA DWUH PREDYDU]IH).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
345 |
|||
|
|
|
|
|
|
D |
+ x2 e; |
p |
+ x3 e; |
2p |
+ x4 e; |
3p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
fxn+1g : x1 |
|
|
|
|
|
|
+ = (X(p);x0)e , |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
D |
+ x3e; |
p |
+ x4e; |
2p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
2p |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
fxn+2g : x2 |
|
|
|
|
+ |
|
= (X(p);x0 ; x1e; )e |
|
|
, |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
TAK ^TO PEREHOD W RAZNOSTNOM URAWNENII xn+2;xn+1;xn = 0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
K IZOBRAVENIQM (S U^ETOM NA^ALXNYH USLOWIJ x0 =0 x1 =1) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
PRIWODIT K URAWNENI@ (X(p) |
; |
e;p)e2p |
|
X(p)ep |
; |
X(p) = 0, RE- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ENIEM KOTOROGO QWLQETSQ X(p) = e2p;ep;1 . wOSSTANOWITX |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
PO \TOMU RE[ENI@ SAMU POSLEDOWATELXNOSTX |
fxng |
PRO]E |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
WSEGO PUTEM RAZLOVENIQ DROBI |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
NA PROSTYE: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2p |
|
p |
;1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
;e |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
e2p;ep;1 |
= (ep;q1)(ep;q2) |
|
= q1;q2 |
ep;q1 |
|
; ep;q2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A SLEDOWATELXNO, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ep |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ep |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ep |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
5 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
e2p;ep;1 |
= q1;q2 ep;q1 |
; ep;q2 , |
|
GDE |
q1 2 = |
|
|
2 |
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
pOSKOLXKU |
|
|
|
n |
|
D |
ep |
|
|
|
SLEDUET OKON^ATELXNYJ OTWET |
: |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fq g ep;q , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
n |
|
|
|
p |
5 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1+ |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
xn = p5 2 ; ;2 |
|
|
|
|
|
|
, n = 1 2 : : : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
TAK NAZYWAEMAQ |
FORMULA bINE |
1 |
^ISEL fIBONA^^I. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
kAK SLEDSTWIE, DLQ ^ISEL fIBONA^^I WYPOLNQETSQ (W PREDELE PRI |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
BOVESTWENNAQ |
|
|
ZOLOTAQ |
|
|
|
|
PROPORCIQ |
|
|
|
|
xn |
|
|
|
|
|
|
|
p5 |
|
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
! |
+ |
1 |
) \ |
( |
) |
"2: |
|
xn+1 |
n |
|
|
+ |
|
|
2; |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
;! |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
uPRAVNENIQ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1. nAJTI DISKRETNOE PREOBRAZOWANIE lAPLASA |
POSLE- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
DOWATELXNOSTI fng = 0 1 2 3 : : : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
ep |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ep;1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
oTWET: fng : |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2. nAJTI FORMULU OB]EGO \LEMENTA POSLEDOWATELXNOSTI fxng, OPRE- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
DELQEMOJ SOOTNO[ENIEM xn+2 = xn+xn+1 |
(PRI PROIZWOLXNYH x0 |
I x1). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
oTWET: xn = |
x0+2x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
x0 |
|
|
x1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
+(;1) |
|
3 2;n;1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1 Binet, Jacques (1786{1856) | FRANCUZSKIJ ASTRONOM I MATEMATIK.
2 mENX[AQ ^ASTX TAK OTNOSITSQ K BOLX[EJ, KAK BOLX[AQ K CELOMU. bOVESTWENNOJ NAZWAL \TU PROPORCI@ ITALXQNSKIJ MATEMATIK pA^OLI
(Pacioli, Luca, 1445{1515) W KNIGE [41], WPERWYE WY[ED[EJ W 1509 G. S ILL@STRACIQMI PRIQTELQ pA^OLI | lEONARDO DA wIN^I (1452{1519).
346
pRILOVENIE. bUKWY DREWNEGRE^ESKOGO PISXMA nAPISANIE nAZWANIE pEREDAWAEMYJ ZWUK
A |
|
ALXFA |
[a] |
B |
|
BETA |
[B] |
; |
|
GAMMA |
[G] |
|
|
DELXTA |
[D] |
E |
" |
\ PSILON |
[e] (KRATKOE) |
Z |
|
DZETA |
[DZ] |
H |
|
\TA |
[e] (DOLGOE) |
|
|
TETA |
[T] (S PRIDYHANIEM) |
I |
|
IOTA |
[I] |
K |
|
KAPPA |
[K] |
|
|
LAMBDA |
[L] |
M |
|
M@ (MI) |
[M] |
N |
|
N@ (NI) |
[N] |
|
|
KSI |
[KS] |
O |
o |
o MIKRON |
[o] (KRATKOE) |
|
|
PI |
[P] |
P |
|
RO |
[R] |
|
& (W KONCE SLOWA) |
SIGMA |
[c] |
T |
|
TAU |
[T] |
|
|
I PSILON |
MEVDU [I] I [U] |
|
' |
FI |
[F] |
X |
|
HI |
[x] |
|
|
PSI |
[PS] |
|
! |
O MEGA |
[o] (DOLGOE) |
(" & | BOLX[OJ, o& | MALYJ, |
o& | GOLYJ, KRATKIJ) |
||
347
sPISOK CITIROWANNOJ LITERATURY1
1.bREMERMAN g. rASPREDELENIQ, KOMPLEKSNYE PEREMENNYE I PREOBRAZOWANIQ fURXE. m.: mIR, 1968.
2.gARDI g. iNTEGRIROWANIE \LEMENTARNYH FUNKCIJ. m.{l.: onti, 1935.2
3.gILXBERT d., kON-fOSSEN s. nAGLQDNAQ GEOMETRIQ. M.: nAUKA, 1981.
4.gURWIC a. tEORIQ ANALITI^ESKIH I \LLIPTI^ESKIH FUNKCIJ. m.{l.: gtti, 1933.2
5.gURSA |. kURS MATEMATI^ESKOGO ANALIZA. t. II. m.{l.: onti, 1936.2
6.dE^ g. rUKOWODSTWO K PRAKTI^ESKOMU PRIMENENI@ PREOBRA-
ZOWANIQ lAPLASA. m.: nAUKA, 1965.
7.kARATEODORI k. kONFORMNOE OTOBRAVENIE. m.{l.: onti, 1934.2
8.kARTAN a. |LEMENTARNAQ TEORIQ FUNKCIJ ODNOGO I NESKOLX- KIH KOMPLEKSNYH PEREMENNYH. m.: il., 1963.
9.kOLXMAN |. bERNARD bOLXCANO. m.: iZD-WO an sssr, 1955.
10.kURANT r. gEOMETRI^ESKAQ TEORIQ FUNKCIJ KOMPLEKSNOJ PE- REMENNOJ. m.{l.: onti, 1934.
11.lAWRENTXEW m. a., {ABAT b. w. mETODY TEORII FUNKCIJ KOMPLEKSNOGO PEREMENNOGO. m.{l.: gittl, 1951.
12.mARKU[EWI^ a. i. tEORIQ ANALITI^ESKIH FUNKCIJ. m.{l.: gittl, 1950.
13.mATWIEWSKAQ g. p. o^ERKI ISTORII TRIGONOMETRII. tA[-
KENT: \fan", 1990.2
14.oKUNEW l. q. wYS[AQ ALGEBRA. m.{l.: gittl, 1949.
1 pOMIMO PRIWEDENNOJ W TEKSTE. dLQ SRAWNITELXNO REDKIH I ZARU- BEVNYH IZDANIJ UKAZANO, GDE IH MOVNO NAJTI.
2 iMEETSQ W rOSIJSKOJ GOSUDARSTWENNOJ BIBLIOTEKE.
348
15.rIMAN b. sO^INENIQ. m.{l.: gittl, 1948.
16.tIT^MAR[ e. tEORIQ FUNKCIJ. m.{l.: gittl, 1951.
17.fIHTENGOLXC g.m. kURS DIFFERENCIALXNOGO I INTEGRALXNO- GO IS^ISLENIQ. t. III. m.: nAUKA, 1966.
18.fORD l. r. aWTOMORFNYE FUNKCII. m.{l.: onti, 1936.1
19.|JLER l. wWEDENIE W ANALIZ BESKONE^NO MALYH. t. 1. m.{l.: onti, 1936.
20.|JLER l. tRI STATXI PO MATEMATI^ESKOJ KARTOGRAFII. m.: gEODEZIZDAT, 1959.1
21.Argand R. Essai sur une maniere de representer les quantites
imaginaires dans les constructions geometriques. 2-me edition. Paris, 1874.1
22.Borel E. Lecons sur les fonctions monogenes uniformes d'une variable complexe. Paris, 1917.1
23.Briot et Bouquet. Theorie des fonctions elliptiques. 2-me edition. Paris, 1875.1
24.Carson J.R. Electric circuit theory and the operational calculus. New York{London, 1926.1
25.Casorati F. Teorica delle funzioni di variabili complesse. V. I. Pavia, 1868.1,2
26. Cauchy A.-L. Cours d'Analyse de l'Ecole Royale Polytechnique. Paris, 1821.2
27. Cauchy A.-L. Memoire sur les integrales de nies. Paris, 1825.1 28. Cauchy A.-L. uvres completes. Ser. I { II. Paris, 1887{1974.1,2 29. da Cunha J.-A. Principes mathematiques. Bordeaux, 1811.1 30. Descartes R. La geometrie (nouvelle edition). Paris, 1927.2
31. Euler L. Opera omnia, series prima. V. VI. Lipsiae et Berolini, 1921.1
1 iMEETSQ W rOSSIJSKOJ GOSUDARSTWENNOJ BIBLIOTEKE. 2 iMEETSQ W BIBLIOTEKE MEH.-MAT. F-TA mgu.
