Добавил:

Hist Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Теория функций комплексного переменного

Файл:

ТФКП

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.05.2014

Размер:

51.53 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 3233 / 3633 34 35 36 > Следующая >>>

321

w ^ASTNOSTI, ESLI PREDSTAWLENNYE NA RIS. 127 ORIGINALY

f(t)= t ; t1; t2+ t3 I g(t)= t ; t1;11 S^ITATX PERIODI^ESKI PRODOLVENNYMI (S PERIODAMI, SOOTWETSTWENNO, l =3 I l=1

RIS. 128), TO IH IZOBRAVENIQMI OKAVUTSQ, SOOTWETSTWENNO,

F (p) =

(1;e;p)(1;e;2p)

G(p) =

;

e;p

e;pp

(1;e;

(1;e; )p

iZOBRAVENIE SWERTKI.

eSLI f(t):F (p), a g(t):G(p),

TO F(p)G(p)

0 f( ) g(t; )d , T. E. yMNOVENI@ IZOBRAVENIJ

OTWE^AET SWERTKAR ORIGINALOW1.

dOKAZATELXSTWO.

pUSTX

| NAIBOLX[IJ IZ POKAZA-

TELEJ ROSTA FUNKCIJ-ORIGINALOW = f(t) I = g(t), I

PUSTX p | L@BOE KOMPLEKSNOE ^ISLO c

Rep > . pOSKOLX-

Rep;

;

KU =

> 0, WYPOLNQ@TSQ OCENKI f(t) = O e( + )t

g(t) = O e( + )t

, T. E. NERAWENSTWA

f(t)

h1e

( + )t

g(t)

( + )t

[0 +

h2 e

; j

GDE h1

| NEKOTORYE

POLOVITELXNYE POSTOQNNYE.

dLQ L@BOGO POLOVITELXNOGO ^ISLA b PUSTX P | PARAL-

LELOGRAMM W PLOSKOSTI R2

PEREMENNYH t I ,

ZADAWAEMYJ

SOOTNO[ENIQMI = 0

= b

= t

= t;b I RAZDELQEMYJ

DIAGONALX@ (t=b) NA TREUGOLXNIKI T1 I

T2 (RIS. 129).

pEREHOD OT DWOJNOGO INTEGRALA (PO PARALLELOGRAMMU)

f( )g(t; )e;ptdtd K POWTORNYM WKUPE SO SWOJSTWOM

ADDITIWNOSTI DWOJNOGO INTEGRALA DAET, S ODNOJ STORONY,

1 wOOB]E

SWERTKOJ

FUNKCIJ

= f(t)

I = g(t) NA ^ISLOWOJ OSI

NAZYWA@T FUNKCI@, OBOZNA^AEMU@ SIMWOLOM f

g I OPREDELQEMU@ SO-

def +1

OTNO[ENIEM (f g)(t) =

f( )g(t; )d

;1 < t < +1,

KOTOROE DLQ

UKAZANNYJ WY[E WID. CWERTKA OBLA-

FUNKCIJ-ORIGINALOW PRINIMAETR

DAET SWOJSTWOM PERESTANOWO^NOSTI: f g = g f, ^TO PROWERQETSQ ZA- MENOJ NA u =t; .

322

rIS. 129

f( )g(t; )e;ptdtd =

f( ) g(t; )e;ptdt d t;==u

= f( )e;p d g(u)e;pudu

F (p)G(p),

! 1

A S DRUGOJ |

f( )g(t; )e;ptdtd =

0 0 f( )g(t; )d e;ptdt + f( )g(t; ) e;ptdtd

SO SLEDU@]EJ OCENKOJ DWOJNOGO INTEGRALA PO TREUGOLXNIKU

T2 :

f( )g(t; )e;ptdtd 6

f( )g(t; )e;pt dtd 6

h1e( + ) h2 e( + )(t; ) e;Re ptdtd =

h1h2 e; b

= h1h2 e( + ;Re p)tdtd <

! 1

RRT2

sOPOSTAWLENIE \TIH SOOTNO[ENIJ DAET:

323

R R

+1 t

0 f( )g(t; )d

0 0 f( )g(t; )d e;

dt =

! 1 R R

e;ptdt = F (p)G(p).

lim

f( )g(t

;

Q.E.D.

pRIMERY PRIMENENIQ:

)

F(p)

ESLI f(t) : F (p), TO

f( )d = (f

1)(t) :

(SWOJSTWO

INTEGRIROWANIQ ORIGINALA

(p2 +1)2

0 sin sin(t ;

)d = 2 0

cos(2 ; t) ; cos t d =

;

sin t

; t cos t .

tEOREMA OBRA]ENIQ PREOBRAZOWANIQ lAPLASA. w

TEH TO^KAH, GDE FUNKCIQ-ORIGINAL

= f(t) IMEET PROIZ-

WODNU@1,

ONA WOSSTANAWLIWAETSQ PO SWOEMU IZOBRAVENI@

F (p) = f(t)e;ptdt POSREDSTWOM FORMULY OBRA]ENIQ

+i1

def

+ir

f(t) =

v.p. F(p)e

dp =

lim

F (p)e dp

2 i

2 ir!+1 ir

;

W KOTOROJ | L@BOE DEJSTWITELXNOE ^ISLO, BOLX[EE POKA-

ZATELQ ROSTA f FUNKCII-ORIGINALA, A INTEGRAL OT ;ir DO + ir BERETSQ PO PRQMOLINEJNOMU OTREZKU, PLOSKOSTI PEREMENNOJ p, SOEDINQ@]EMU \TI TO^KI.

dOKAZATELXSTWO \TOJ TEOREMY MOVNO DATX, SOSLAW[ISX NA TEOREMU OBRA]ENIQ PREOBRAZOWANIQ fURXE2, RASSUVDAQ SLEDU@]IM OBRAZOM.

1 iLI, BUDU^I NEPRERYWNOJ, IMEET OBE ODNOSTORONNIE PROIZWODNYE.

2 rAZUMEETSQ, SSYLKA BUDET KORREKTNOJ, LI[X ESLI NAZWANNAQ TEORE- MA BYLA USWOENA W PRED[ESTWU@]EM KURSE DEJSTWITELXNOGO ANALIZA: W PROTIWNOM SLU^AE DOKAZATELXSTWO S TAKOJ SSYLKOJ OKAZYWAETSQ LI[X NOMINALXNYM.

324

dLQ L@BOGO ^ISLA f FUNKCIQ def ; t

> = f (t) = e f(t)

NA OSI ;1<t<+1 QWLQETSQ ABSOL@TNO INTEGRIRUEMOJ I IMEET (W PROMEVUTKAH MEVDU WOZMOVNYMI TO^KAMI RAZRY-

WA FUNKCII-ORIGINALA) PROIZWODNU@. sLEDOWATELXNO, ONA WOSSTANAWLIWAETSQ (W UKAZANNYH PROMEVUTKAH) PO EE PRE-

def

i t

OBRAZOWANI@ fURXE f ( )=

f (t)e;

dt, ;1< <+1,

FORMULOJ OBRA]ENIQb(NAPRIMERR, [17], n 715)

i t

def

i t

f (t) = p

d = p

v.p.

f ( )e

lim

f ( )e

d .

2 r!+1 r

;

pODSTANOWKA W \TU FORMULU

i t

f ( ) = p

f(t)e;

dt =

i t

= p

f(t)e;

;

dt = p

F ( +i ),

UMNOVENIE NA e

+i =p DA@T:

I ZAPISX

e t

i t

f(t) = e

f (t) =

lim

F ( +i )e

d =

p2 r!+1;Rr

+ir

lim

F ( +i )e( +i )td =

lim

F (p)eptdp =

2 r!+1;r

2ir!+1 ;ir

+ir

v.p.

F (p)e dp. Q.E.D.

;ir

mOVNO DATX I PRQMOE (BEZ OBRA]ENIQ K

PREOBRAZOWANI@ fURXE)

DOKAZATELXSTWO TEOREMY OBRA]ENIQ PREOBRAZOWANIQ lAPLASA.1

pUSTX t0 | L@BAQ TO^KA ^ISLOWOJ OSI, W KOTOROJ FUNKCIQ-ORIGI- NAL =f(t) IMEET PROIZWODNU@ (ILI, BUDU^I NEPRERYWNOJ, IMEET W NEJ PRAWU@ I LEWU@ PROIZWODNU@). wZQW L@BYE ZNA^ENIQ > f I > 0, MOVNO ZAPISATX:

1 nA SAMOM DELE TEOREMA OBRA]ENIQ PREOBRAZOWANIQ lAPLASA I TE- OREMA OBRA]ENIQ PREOBRAZOWANIQ fURXE | \TO DWA WARIANTA ODNOJ I TOJ VE TEOREMY S PRAKTI^ESKI ODINAKOWYMI DOKAZATELXSTWAMI.

325

+ir

pt0

+ir +1

pt0

p= +i

2 i ir F (p)e

dp =

2 i ir

f(t)e;

r d

f(t)e; (t;t0)e;i (t;t0)dt,

PRI \TOM OCENKA

f(t)e; (t;t0)e;i (t;t0) 6 he( f + )te; (t;t0) 6e t0 he; t

(GDE =

; f

WYTEKA@]IE IZ NEE SOOTNO[ENIQ

d f(t)e; (t;t0)e;i (t;t0)dt

! 1

;

dt f(t)e; (t;t0)e;i (t;t0)d

! 1

;

I, NAKONEC, WOZMOVNOSTX POMENQTX PORQDOK INTEGRIROWANIQ PO OTREZ-

KAM 06t6 I ;r6 6r1 PRIWODIT K SOOTNO[ENIQM

+ir

pt0

(t t0)

i (t t0)

2 i

F (p)e

dp = 2

d f(t)e;

;

dt =

;

(t t0) sin r(t;t0)

(t t0)

i (t t0)

2 0 dt

r f(t)e;

;

d = 0

f(t)e;

;

t;t0

dt.

;

wZQW SKOLX UGODNO MALOE ^ISLO " > 0, POSLEDNIJ INTEGRAL SLEDUET

RAZBITX NA TRI: J1

| OT 0 DO t0 ;

| OT t0

;

" DO t0 +"

I J3

| OT t0

+" DO +1,

A ZATEM K INTEGRALAM J1

I J3

PRIMENITX IZWEST-

NU@ IZ KURSA DEJSTWITELXNOGO ANALIZA (NAPRIMER, [17], n 682) LEMMU

rIMANA, UTWERVDA@]U@, ^TO ESLI INTEGRAL

g(t)dt SU]ESTWUET (KAK

SOBSTWENNYJ ILI KAK NESOBSTWENNYJ, NO ABSOL@TNOR

SHODQ]IJSQ), TO

g(t) sin rtdt r

! 1

R pRIMENENIE \TOJ LEMMY DAET:

J1 =

t0;"f(t)e; (t;t0) sin r(t

;

t0)dt

(TO^NO TAK VE) J3

t t0

;

! 1

~TORKASAETSQ INTEGRALA J2 , TO EGO, W SWO@ O^EREDX, SLEDUET ZAPI-

SATX W WIDE

1 nAPRIMER, NA OSNOWANII TEOREMY O PEREHODE OT DWOJNOGO INTEG-

RALA (PO PRQMOUGOLXNIKU) K POWTORNYM.

326

t0+" f(t)e; (t;t0)

f(t )

t0+"f(t

)

;

sin r(t;t0)dt +

sin r(t;t0)dt

t0;"

t;t0

t0;" t;t0

A WO WTOROM SDELATX

I PRIMENITX K PERWOMU INTEGRALU LEMMU rIMANA

PODSTANOWKU

I WSPOMNITX

^TO

sin x

dx = XVI, c. 265):

r(t;t0) = x (

t0+"f(t)e; (t;t0);f(t0) sinr(t

;

tR0)dt

t0 "

;

! 1

t0+"

f(t )

sin x

sin r(t

;

t0)dt = f(t0)

f(t0),

;

! 1

A SLEDOWATELXNOR

J2 =

t0) sin r(t;t0)

f(t0).

f(t)e;

;

t t0

;

! 1

oB_EDINENIE POLU^ENNYH PREDELXNYH SOOTNO[ENIJ DLQ INTEGRA-

LOW J1 J2 J3 DAET OKON^ATELXNO:

+i1

def

+ir

v.p.

F (p)ept0 dp =

lim

F (p)ept0 dp =

2 i

2 i ir

r!+1

; 1

;

R sin r(t

;

t0)

=r lim+

(t t0)

f(t)e;

;

dt =

! 1

lim

+ J2 + J3

= f(t0). Q.E.D.

r!+1;

dLQ PRAKTI^ESKOGO WOSSTANOWLENIQ ORIGINALA PO EGO IZ-

OBRAVENI@ TEOREMU OBRA]ENIQ PREOBRAZOWANIQ lAPLASA PRI-

MENQ@T SRAWNITELXNO REDKO (XVI , c. 266, PRIMER 5). ~A- ]E S \TOJ CELX@ ISPOLXZU@T2 SLEDU@]IE WYWODIMYE IZ NEE UTWERVDENIQ.

1 iMENNO ZDESX ISPOLXZUETSQ SU]ESTWOWANIE PROIZWODNOJ (ILI HO- TQ BY ODNOSTORONNIH PROIZWODNYH) U FUNKCII-ORIGINALA W TO^KE t0:

PODYNTEGRALXNAQ FUNKCIQ W t0+" f(t)e; (t;t0);f(t0) dt IMEET W \TOM SLU-
	t0 "	t;t0
^AE W TO^KE	;	(ILI VE RAZRYW 1-GO RODA), ^TO
	t0 USTRANIMYJ RAZRYWR

OBESPE^IWAET SU]ESTWOWANIE DANNOGO INTEGRALA.

2 hOTQ, RAZUMEETSQ, NE TAK ^ASTO, KAK RAZNOJ STEPENI PODROBNOSTI SPRAWO^NYE TABLICY \ORIGINAL"{\IZOBRAVENIE" I (W PROSTYH SLU^A- QH) IZLOVENNYE WY[E SWOJSTWA PREOBRAZOWANIQ lAPLASA.

327

tEOREMY RAZLOVENIQ.1 1.

eSLI ORIGINAL

= f(t)

IMEET SWOIM IZOBRAVENIEM (PO lAPLASU) FUNKCI@, ANALI-

TI^ESKU@ W OKRESTNOSTI BESKONE^NOSTI, S RAZLOVENIEM

lORANA F (p) =

aktk

t>0.

k+1 , TO f(t) =

k=0

eSLI ORIGINAL

= f(t)

IMEET SWOIM IZOBRAVENIEM

(PO lAPLASU) RACIONALXNU@ FUNKCI@ S POL@SAMI p1 : : : pm,

res F (p)ept

TO f(t) =

t>0.

j=1 p=pj

dOKAZATELXSTWA

USLOWIQH OBOIH UTWERVDENIJ SU]EST

;

. B

WUET POLOVITELXNOE ^ISLO S TEM SWOJSTWOM, ^TO DLQ WSEH

DOSTATO^NO BOLX[IH ZNA^ENIJ r >0 ZAMKNUTYJ KONTUR ; r ,

SOSTOQ]IJ IZ OTREZKA PRQMOJ

p 2 C : Rep =

OT TO^KI

;ir

DO TO^KI

+ir

I POLUOKRUVNOSTI

C r (

DLQ KOTOROJ

\TOT OTREZOK SLUVIT DIAMETROM RIS. 130), CELIKOM LEVIT W OKRESTNOSTI BESKONE^NOSTI, GDE FUNKCIQ-IZOBRAVENIE w =F (p) QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ.

rIS. 130

1 \Expansion Theorem" | TAK NAZYWAL hEWISAJD SFORMULIROWANNYJ IM WARIANT WTOROJ IZ \TIH TEOREM ([36], p. 126{131).

328

w SOOTWETSTWII S \KWIWALENTNYMI OPREDELENIQMI WY^E-

TA W BESKONE^NOSTI (XV, c. 229, 231) I TEOREMOJ O WY^ETAH

(XV, c. 233) W USLOWIQH PERWOGO UTWERVDENIQ

F (p)eptdp =

res

F (p)ept

2 i

; r

;p=1

;

= ;pres=1

+ ap32 +

1+ pt1! +

(pt)

+ =

a t

a t2

= a0 +

A W USLOWIQH WTOROGO |

F (p)eptdp =

F (p)ept .

res

2 i

; r

j=1 p=pj

P ;

s DRUGOJ STORONY,

+ir

F(p)eptdp =

F (p)eptdp +

F (p)eptdp,

2 i

; r

;ir

C r

PRI \TOM WWEDENIE PEREMENNOJ z = p;

PREOBRAZUET WTOROE

e t

SLAGAEMOE W PRAWOJ ^ASTI W

F( +iz)eitzdz | INTEGRAL

2 i

PO IZOBRAVENNOJ NA RIS. 96,

B (XVI, S. 266) POLUOKRUVNOSTI

Cr, K KOTOROMU PRI L@BOM t>0							PRIMENIMA LEMMA vORDANA
(XVI, c. 248{249) S =t I f(z)=F ( +iz)2:
lim	1		F(p)e	pt	dp =	lim		e t		itz
				pt						itz
	2 i									F ( +iz)e dz = 0,
r!+1	2 i	C r				r!+1 2 i			Cr
		R							R

1 wZQTYJ SO ZNAKOM \MINUS" KO\FFICIENT PRI p;1 W PROIZWEDENII STOQ]IH W SKOBKAH ABSOL@TNO SHODQ]IHSQ RQDOW.

2 wYPOLNENIE USLOWIQ f(z) ;! 0 W SLU^AE PERWOGO UTWERVDENIQ z!1 +1

WYTEKAET IZ PREDSTAWLENIQ F (p) = P ak , A W SLU^AE WTOROGO |

k=0 pk+1

IZ TOGO, ^TO F (p) ESTX PRAWILXNAQ RACIONALXNAQ DROBX, POSKOLXKU

F (p) ;! 0 (S. 311).

Re p!+1

329

A SLEDOWATELXNO (S U^ETOM TEOREMY OBRA]ENIQ PREOBRAZO-

WANIQ lAPLASA) DLQ WSEH TO^EK t > 0, W KOTORYH FUNKCIQ- ORIGINAL IMEET PROIZWODNU@ f0(t)1,

+ir

f(t) =

lim

F (p)eptdp =

lim

F (p)eptdp,

r!+1

2 i ir

r!+1

2 i

; r

;

A POTOMU f(t) =

aktk

W USLOWIQH PERWOGO UTWERVDENIQ I

;

k=0

Ppt

f(t) =

res

W USLOWIQH WTOROGO. Q.E.D.

F (p)e

j=1 p=pj

zAME^ANIE. eSLI ZARANEE NE IZWESTNO, ^TO DANNAQ FUNKCIQ w = F (p) DEJSTWITELXNO SLUVIT IZOBRAVENIEM NEKOTOROGO ORIGINALA, TO NAJDENNU@ PO PRIWEDENNYM FORMULAM FUNKCI@ = f(t) SLEDUET RASSMATRIWATX LI[X KAK \PRED-

POLAGAEMYJ" ORIGINAL, TREBU@]IJ PROWERKI, ^TO W SAMOM DELE f(t) : F (p), T. E. +R1f(t)e;ptdt = F(p).

pREDLAGAEMYE INOGDA DOSTATO^NYE PRIZNAKI TOGO, ^TO TA ILI INAQ FUNKCIQ w = F (p) SLUVIT IZOBRAVENIEM PO lAPLASU NEKOTOROJ FUNKCII = f(t), QWLQ@TSQ TIPI^NYMI PRIMERAMI \DISSERTACIONNYH" TEOREM-PUSTOCWETOW, BESPOLEZNYH W PLANE IH KONKRETNOGO PRIMENENIQ. sUDITX OB \TOM MOVNO PO IH FORMULIROWKAM (NAPRIMER, W

[11], S. 404, TEOREMA 4):

	eSLI FUNKCIQ F (p) ANALITI^NA W POLUPLOSKOSTI Rep > s0, STRE-
MITSQ K NUL@ PRI jpj!1 W L@BOJ POLUPLOSKOSTI Rep>a>s0 RAWNO-
		a+i1
MERNO OTNOSITELXNO arg p I INTEGRAL			F(p)dp ABSOL@TNO SHODIT-
		a;Ri1			1	a+i	1 pt
SQ, TO F (p) QWLQETSQ IZOBRAVENIEM FUNKCII f(t) =
							e F (p)dp.
	pRIMER.		1		2 ia;Ri1
		iZ RAZLOVENIQ DROBI		3 W RQD lORANA
			2
			(p +1)

1 iLI, BUDU^I W NIH NEPRERYWNOJ, IMEET W NIH ODNOSTORONNIE PROIZWODNYE.

330

1+1

(

;

1)j (j+2)(j+1)

p6(1+p;2)3 =

, jpj>1,

(p2+1)3

2j=0

p6+3j

I PERWOJ IZ TEOREM RAZLOVENIQ MOVNO ZAKL@^ITX, ^TO

(;1)j(j+2)(j+1) t5+3j.

(p +1)

2 j=0

(5+3j)!

gORAZDO BOLEE WNQTNYJ OTWET DAET WTORAQ IZ TEOREM RAZ-

LOVENIQ:

res

ept

+ res

ept

2 3

(p +1)

p=i

(p +1)

p=;i (p +1)

ept

00 +

ept

t2sin t

t cos t +

sin t.

2 (p+i) p=i

(p;i) p=;i

; 8

|TOT VE REZULXTAT (PRIBLIZITELXNO S TEM VE OB_EMOM

WY^ISLITELXNOJ RABOTY) MOVNO POLU^ITX, RAZLAGAQ DROBX

NA PROSTYE (XIV, S. 225)

2 3

(p +1)

3 =

B 2 +

3 +

2 +

p+i

(p;i)

p;i

(p +1)

(p+i)

(p;i)

S A=

, B =;

, C =;

, D =;

, E =;

, F =

16i

I OPERIRUQ ZATEM SWOJSTWOM DIFFERENCIROWANIQ IZOBRAVE-

NIQ (S. 317).

uPRAVNENIQ.

PRI

t = N

1. pROWERITX, ^TO FUNKCIQ f(t) =

et2

PRI

t 2 N

(

IMEET BESKONE^NYJ PORQDOK ROSTA, NO EE IZOBRAVENIE PO lAPLASU OPRE-

DELENO DLQ WSEH KOMPLEKSNYH ZNA^ENIJ p.

pRIMENIW TEOREMU kO[I K INTEGRALU

eieze;pzdz PO PRQMO-

UGOLXNIKU Pb

S WER[INAMI 0 b

b+ i

, i

(Hb > 0), A ZATEM LEMMU

vORDANA K EGO SOSTAWLQ@]EJ PO OTREZKU

MEVDU TO^KAMI b

I b+i

(PRI b

S PEREHODOM K PEREMENNOJ =ez), DOKAZATX, ^TO

IMEET NULEWOJ POKAZATELX ROSTA

a) FUNKCIQ-ORIGINAL f(t)=eie

B) EE IZOBRAVENIE PO lAPLASU OPREDELENO DLQ WSEH p c Rep>;1.

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 3233 / 3633 34 35 36 > Следующая >>>