Добавил:

Hist Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Теория функций комплексного переменного

Файл:

ТФКП

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.05.2014

Размер:

51.53 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3132 / 3632 33 34 35 36 > Следующая >>>

311 pOKAZATELEM ROSTA FUNKCII-ORIGINALA = f(t) NAZY-

WA@T ^ISLO f =inf 2R : f(t)= O;e t .

|KWIWALENTNO: POKAZATELX ROSTA FUNKCII-ORIGINALA= f(t) | \TO TAKOE ^ISLO1 f , ^TO OCENKA f(t) = O;e t 2 WYPOLNQETSQ PRI L@BOM > f I NE WYPOLNQETSQ NI DLQ KA-

KOGO < f (PRI = f \TA OCENKA MOVET KAK WYPOLNQTXSQ, TAK I NE WYPOLNQTXSQ3).

iZ \TOGO OPREDELENIQ SLEDUET, ^TO POKAZATELX ROSTA SUMMY ORIGINALOW NE WY[E MAKSIMALXNOGO IZ POKAZATELEJ ROS- TA SLAGAEMYH, A POKAZATELX ROSTA PROIZWEDENIQ | NE WY[E SUMMY POKAZATELEJ ROSTA SOMNOVITELEJ:

f+g 6max f g	fg 6 f + g.
tEOREMA SU]ESTWOWANIQ	IZOBRAVENIQ. eSLI ORIGI-

NAL = f(t) IMEET POKAZATELX ROSTA f , TO EGO IZOBRAVE-

PO KRAJNEJ

NIE PO lAPLASU F (p) =

f(t)e;ptdt OPREDELENO4

MERE DLQ WSEH p S Rep>R f (INA^E GOWORQ, W POLUPLOSKOSTI

: Rep > f

PRI \TOM

F (p) ! 0,

KOGDA

Rep ! +1.

dOKAZATELXSTWO.

pUSTX p | L@BOE KOMPLEKSNOE ^ISLO S

Rep> f I PUSTX =

Rep; f

(RIS. 123). pRIMENENIE OCENKI

f(t) = O e( f+ )t

PRIWODIT K SOOTNO[ENIQM

f(t)e;

f(t) e;

Rep t

f(t) e;

( f+ )t

t 6

he;

;

1 nE ISKL@^ENO, ^TO ONO RAWNO

(NAPRIMER, W SLU^AE FUNKCII-

ORIGINALA f(t) = e;t

), ODNAKO WS@DU NIVE PREDPOLAGAETSQ, ^TO f

KONE^NOE ^ISLO (POKAZATELX ROSTA f < 0 SLEDUET WOSPRINIMATX KAK

\POKAZATELX UBYWANIQ" ORIGINALA).

T. E. UTWERVDENIE

h>0

f(t)e; t 6h .

( f

= Re ) OCENKA

f(t) = O e

f t

nAPRIMER, W SLU^AE

f(t) = e

WYPOLNQETSQ, A W SLU^AE

f(t)=t

;

( f =0) |

NET.

;

4 t. E. INTEGRAL W PRAWOJ ^ASTI SHODITSQ.

312

(S POSTOQNNOJ

h > 0), W SILU KOTORYH SHODITSQ INTEGRAL

(

)

f(t)e;pt dt,

A S NIM I INTEGRAL

f(t)e;ptdt=F (p). oSTA-

ETSQ ZAMETITX

^TO

W SILU TEH VE SOOTNO[ENIJ

! 1

jF (p)j 6

f(t)e;

dt6 0 he;

dt= = Rep

;

TAK ^TO F (p)

KOGDA Re pR

. Q.E.D.

rIS. 123

rIS. 124

313

tEOREMA ANALITI^NOSTI IZOBRAVENIQ. eSLI ORIGI-

NAL =f(t) IMEET POKAZATELX ROSTA f , TO IZOBRAVENIE PO

lAPLASU F (p) =

f(t)e;ptdt \TOGO ORIGINALA QWLQETSQ ANA-

p 2

S PROIZWODNOJ

0(p) =+1(

t)f(t)e;ptdt.

: Rep > f

LITI^ESKOJ FUNKCIEJR

W POLUPLOSKOSTI

;

dOKAZATELXSTWO.

dLQ FIKSIROWANNOGO p

C c Rep>

I PEREMENNOGO Mp2C

c 0<jMpj< =

Rep4; f2

(RIS. 124)

+1 R

F (p+Mp);F (p)

+1f(t)e;(p+Mp)tdt

+1f(t)e;ptdt =

; 0

= f(t)e;pt

e;Mpt

;

1)dt =

(

M;pt)2

(

Mpt)3

= 0

f(t)e;

Mp ;Mpt +

;

+ dt =

Mpt

(

pt)

dt =

= ( t)f(t)e;pt

1 + ;

;

= 0

(;t)f(t)e;

dt + pJ( p),

+ dt.

(

Mpt

pt)

GDE J( p) = 0 t

f(t)e;

2! + ;3!

;4!

dLQ DOKAZATELXSTWA SU]ESTWOWANIQ PROIZWODNOJ

F0(p) =

lim

F (p+Mp)

;

F (p)

t)f(t)e;ptdt,

RAWNOJ

(

Mp!0

;

J( p)

DOSTATO^NO PO\TOMU USTANOWITX

OSTAET

^TO INTEGRAL

SQ OGRANI^ENNYM PRI Mp ! 0. |TO WYTEKAET IZ SLEDU@]IH OCENOK SOMNOVITELEJ EGO PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII:

1 tEOREMA NE ISKL@^AET ANALITI^NOSTI IZOBRAVENIQ I WNE UKA-

ZANNOJ POLUPLOSKOSTI.

314

jf(t)j6he( f + )t

t2 6h1 e t (S POSTOQNNYMI h>0 I h1 >0)

(

Mpt)2

Mpt

+ ;3!pt +

; 4!

+ j;3!

j + j; 4!

+ 6

( t)

+ < 1 +

+ = e t

A IMENNO,

Mpt

( pt)

jf(t)j je;

+ ;3!

; 4!

jJ( p)j

+1 R

( f +2 )t

Re pt

dt =

h1he;

dt =

h1h

. Q.E.D.

h1he

pRIMERY.

1. fUNKCIQ =e!t

(! | KOMPLEKSNOE ^ISLO)

QWLQETSQ ORIGINALOM1 c POKAZATELEM ROSTA Re ! (TAK KAK

e!t

=eRe ! t). eSLI Re p > Re !, TO

+1e!te;ptdt = lim

be;(p;!)tdt = lim

1;e;(p;!)b

p;!

b!+1

p;!

;

e;(p;!)b

R= e;Re (p;!)b

! 1

wYWOD:

RPOSKOLXKU

0 .

e!t :

W ^ASTNOSTI,

p;!

tEOREMA OB ANALITI^NOSTI IZOBRAVENIQ GARANTIRUeT ANALITI^-

NOSTX FUNKCII w =

KAK IZOBRAVENIQ FUNKCII-ORIGINALA (S PO-

p;!

KAZATELEM ROSTA Re !) W POLUPLOSKOSTI

p 2 C : Rep > Re ! . nA

SAMOM VE DELE \TA FUNKCIQ QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ WO WSEJ PLOSKOS-

TI C , KROME TO^KI !. kROME TOGO, \TA FUNKCIQ STREMITSQ K NUL@

PRI L@BOM STREMLENII p K 1, A NE TOLXKO KOGDA Rep ! +1 (KAK UTWERVDAET TEOREMA O SU]ESTWOWANII IZOBRAVENIQ) nI TO, NI DRUGOE,

ODNAKO, NE PROTIWORE^IT UTWERVDENIQM NAZWANNYH TEOREM.

1 eSLI, KAK UVE OTME^ALOSX (S. 310), S^ITATX WSE PODWERGAEMYE PRE-

OBRAZOWAI@ lAPLASA FUNKCII RAWNYMI NUL@ DLQ OTRICATELXNYH ZNA-

^ENIJ t.

315

2.sOGLASNO OPREDELENI@ GAMMA-FUNKCII (INTEGRALA

|JLERA 2-GO RODA

) ;(a) = xa;1e;xdx

a > 0. zAMENA x = pt

| L@BOE POLOVITELXNOE ^ISLO

)

PRIWODIT K RAWENSTWU

;(a) = pa

ta;1 e;ptdt. pOSKOLXKU PRAWAQ ^ASTX \TOGO RAWEN-

STWA OPREDELENA I DLQ KOMPLEKSNYH ZNA^ENIJ p c Rep > 0

pa =exp(a ln p), a INTEGRAL PRI Re p>0 cHODITSQ , SLEDUET

;WYWOD:

ta;1 :

;(a)

PRI L@BOM a>0

pRI 0 < a < 1 FUNKCIQ = ta;1 NE QWLQETSQ POLNOWESNYM ORIGINALOM (W SMYSLE OPREDELENIQ NA S. 310), POSKOLXKU IMEET BESKONE^NYJ

PREDEL PRI t			!	0+0. tEM NE MENEE ONA IMEET IZOBRAVENIE PO lAPLASU:
	+					b
INTEGRAL		1ta;1 e;ptdt =			lim		ta;1e;ptdt cHODITSQ PRI a>0.
	0				b!+1
	R				!0+0 R			(WPERWYE
sLEDU@]IE SWOJSTWA PREOBRAZOWANIQ lAPLASA

AKKURATNO SFORMULIROWANNYE dV. kARSONOM [Car]) USTANA- WLIWA@T SOOTWETSTWIQ DEJSTWIJ S ORIGINALAMI DEJSTWIQM c IZOBRAVENIQMI \TIH ORIGINALOW. pERWOE IZ NIH NAPRQMU@ WYTEKAET IZ SWOJSTWA LINEJNOSTI INTEGRALA.

sWOJSTWO LINEJNOSTI. ESLI f(t):F (p) I g(t):G(p),

TO f(t) + g(t) : F (p) + G(p) DLQ L@BYH KOMPLEKSNYH POSTOQNNYH I .

pRIMERY PRIMENENIQ:

i!t

cos !t = 2

+e;

2 p

;

i! + p+i! = p2+!2

i!t

sin !t = 2i;e

;e;

2i p;i! ; p+i! = p2+!2

ch !t = 21; e!t+ e;!t :

;

p+!

;

; !t

!t :

sh!t =

+e;

p !

+ p+! = p2

+!2

;

2!2

sin

!t = 2

;1;cos 2!t

p ; p2+4!2 = p(p2 +4!2)

X(p)=

316

( +i )t

(

;

i )t

cos t =

;

2 p; ;i

p; +i

(p; ) +

( +i )t

(

;

i )t

sin t =

;

(p; )2+ 2 .

2i p; ;i ; p; +i =

dIFFERENCIROWANIE ORIGINALA. eSLI FUNKCIQ-ORI-

GINAL = f(t) IMEET PROIZWODNU@,

TOVE QWLQ@]U@SQ ORI-

GINALOM,

I f(t) : F (p),

TO f0(t) : pF(p);f(0).

dOKAZATELXSTWO.

pUSTX p | L@BOE KOMPLEKSNOE ^ISLO,

DEJSTWITELXNAQ ^ASTX KOTOROGO BOLX[E POKAZATELQ ROSTA

f FUNKCII-ORIGINALA

= f(t). tOGDA SOGLASNO FORMULE

INTEGRIROWANIQ PO ^ASTQM,

f0(t) :

lim

f0(t)e;ptdt =

b!+1

f(t)e;pt

f(t)e;ptdt =

= lim

(

;

f(0) + pF (p),

b +

t=0

! 1

; ;

ESLI U^ESTX, ^TO f(t)=O e( Rf+ )t DLQ POLOVITELXNOGO ^IS-

LA =

Rep; f

, A SLEDOWATELXNO,

;

f(b)e;pb = O e( f+ )b

e;Re pb = O e; b

Q.E.D.

dWUKRATNOE PRIMENENIE;

POLU^ENNOGO;

! 1

SOOTWETSTWIQ c ZA-

f0(t),

f0(t) NA f00(t) (ESLI I WTORAQ

MENOJ W NEM f(t) NA

PROIZWODNAQ ORIGINALA QWLQETSQ ORIGINALOM) DAET:

f00(t)

p pF (p);f(0)

0(0) = p F (p);pf(0);f0(0).

nAPRIMER, POLAGAQ

sin !t : X(p)

I POLXZUQSX RAWENST-

;

WOM (sin !t)00 = ;!2 sin !t I USTANOWLENNYM PRAWILOM IZOB-

RAVENIQ WTOROJ PROIZWODNOJ, MOVNO PRIJTI K SOOTNO[ENI@ p2X(p) ;p 0 ;! = ;!2X(p), OTKUDA p2+!!2 .

dIFFERENCIROWANIE IZOBRAVENIQ. eSLI

317

f(t):F(p),

TO F 0(p) ;tf(t) (PEREHOD K PROIZWODNOJ IZOBRAVENIQ SO- OTWETSTWUET UMNOVENI@ ORIGINALA NA ;t).

dANNOE SWOJSTWO | PRQMOE SLEDSTWIE TEOREMY ANALITI^- NOSTI IZOBRAVENIQ (c. 313).

2!p

pRIMERY PRIMENENIQ: t sin !t : ;

+w2

(p2+!2)2

2 !t

1 2

: ; p;!

= (p;!)2

, t e : ; (p;!)2

(p;!)3

I WOOB]E t e

(p;!)n+1

, W ^ASTNOSTI,

: pn+1 n2N

IZOBRAVENIE X(p) FUNKCII-ORIGINALA =

sin t

(S NULEWYM

POKAZATELEM ROSTA) MOVNO NAJTI, RE[IW WYTEKA@]EE IZ SO-

OTNO[ENIQ t

sin t

URAWNENIE ;X0(p) =

: TAK KAK

p2+1

X(p)Re p

+ 0, EGO RE[ENIEM (PRI Rep>0) SLUVIT

! 1

lnjp+ij

+ arg(p+i);arg(p;i),

X(p)=

ln(p+i)

;

ln(p

;

i) =

jp;ij

;

< arg(;p;i) < arg(p+i) <

(RIS. 125, a), | PRODOLVENIE

FUNKCII '=arcctg p S DEJSTWITELXNOJ POLUOSI 0<p<+1

W POLUPLOSKOSTX p2C : Rep>0

(RIS. 125, B).

rIS. 125

318

sWOJSTWO PODOBIQ.

eSLI f(t) : F (p),

A a | POLOVI-

TELXNOE ^ISLO,

TO f(at) :

dOKAZATELXSTWO.

s ISPOLXZOWANIEM PODSTANOWKI =at

f(at) :

lim

f(at)e;ptdt =

! 1 R

1f( )e;

lim

f( )e;

d =

;

b!+1

, ^TO Rep > f ,R GDE

| POKAZATELX

W PREDPOLOVENIIR

ROSTA FUNKCII-ORIGINALA = f(t) .

Q.E.D.

nAPRIMER, WY[E BYLO USTANOWLENO, ^TO

sin t

p+i

sin 2t

p+2i

p;i

PO\TOMU

= 2

: 2i

lnp;2i .

sME]ENIE IZOBRAVENIQ.

eSLI f(t)

: F(p), A |

KOMPLEKSNOE ^ISLO, TO F (p

; )

e tf(t) (SME]ENIE IZOBRA-

VENIQ | ZAMENA PEREMENNOJ p

NA p

;

| SOOTWETSTWUET

UMNOVENI@ ORIGINALA NA e t).

dOKAZATELXSTWO.

e tf(t) :

e tf(t)e;ptdt =

f(t)e;(p; )tdt = F (p; ).

Q.E.D.

ZAPISXR

k PRIMERU,

S U^ETOM IZ-

;p+1

;

(

;2)

OBRAVENIJ SINUSA I KOSINUSA (c. 315) POZWOLQET SDELATX WY-

WOD: FUNKCIQ w =

SLUVIT IZOBRAVENIEM FUNKCII-

p ;p+1

ORIGINALA =e2 cos

t + p

sin

t .

zAPAZDYWANIE ORIGINALA.

eSLI f(t) : F (p),

POLOVITELXNOE ;^ISLO, TO f(t):F (p), TO f(t; ) : e;p F (p)

(WKL@^ENI@ ORIGINALA S ZAPAZDYWANIEM

SOOTWETSTWUET

UMNOVENIE IZOBRAVENIQ NA e;p )1.

1 wMESTO f(t; ) INOGDA ISPOLXZU@T ZAPISX f (t).

319

rIS. 126

dOKAZATELXSTWO.

s U^ETOM TOGO, ^TO f(t; )=0 PRI t<

(RIS. 126), PEREHOD K PEREMENNOJ u=t; DAET:

;

f(t

) :

)e;ptdt =

lim

f(t

)e;ptdt =

;

lim

f(u)e;p( +u)du =

f(u)e;p e;pudu =

! 1 R

R = e;p F (p). Q.E.D.

rIS. 127

k PRIMERU, PROSTEJ[IJ SPOSOB POLU^ITX IZOBRAVENIQ FUNKCIJ-ORIGINALOW, PREDSTAWLENNYH NA RIS. 127, a, B, | ZAPISATX IH KAK a) f(t)= t ; t1 ; t2 + t3 I B) g(t)= t ; t1;11

I PRIMENITX SWOJSTWO ZAPAZDYWANIQ ORIGINALA:

320

e;p

e;2p

e;3p

(1;e;p)(1;e;2p)

a) f(t)

; p2

;

e;p

B) g(t)

: p2

; p2

;

iZOBRAVENIE PERIODI^ESKOGO ORIGINALA. eSLI ORI-

GINAL = f(t) QWLQETSQ PERIODI^ESKOJ FUNKCIEJ S PERIODOM

		1	l		pt

l, TO f(t) :		1;e;pl 0 f(t)e;				dt.
	dOKAZATELXSTWOR.			tAK KAK L@BAQ PERIODI^ESKAQ FUNKCIQ

-ORIGINAL = f(t) QWLQETSQ OGRANI^ENNOJ (I POTOMU IMEET

NULEWOJ PORQDOK ROSTA), IZOBRAVA@]IJ EE INTEGRAL lAPLA-

c Re p>0. s U^ETOM

0 f(t)e;ptdt SHODITSQ DLQ WSEH p2C

=f(t)

PERIODI^NOSTI FUNKCII

DLQ L@BOGO TAKOGO

f(t) :

f(t)e;ptdt = lim f(t)e;ptdt =

= lim

f(t)e;ptdt +

f(t)e;ptdt =

n!+1 0

(n 1)l

;

= lim

1 + e;pl+

+ e;(n;1)pl

f(t)e;ptdt =

! 1;

npl

= lim

1;e; pl

f(t)e;ptdt =

f(t)e;ptdt

n!+1

1;e;

(POSKOLXKU

je;

j<1).

Q.E.D.

rIS. 128

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3132 / 3632 33 34 35 36 > Следующая >>>