Шпоры к вопросам / Литература / ТФКП

291

ANALITI^ESKOJ FUNKCII w = f(z) | NE NA WSEM MNOVESTWE, GDE \TO USLOWIE WYPOLNQETSQ, A TOLXKO W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI KAVDOJ EGO TO^KI. iMENNO, WWIDU 2 i-PERIODI^NOSTI FUNKCII w =exp z ONA NE QWLQETSQ ODNOLISTNOJ W PLOSKOSTI C (I POTOMU OBRATNOJ K NEJ QWLQETSQ \MNOGOZNA^NAQ FUNKCIQ" z =Lnw). w OKRESTNOSTI VE L@BOJ TO^KI z0 2C FUNKCIQ w = exp z ODNOLISTNA I POTOMU DLQ NEE W OKRESTNOSTI TO^KI w0 = exp z0 SU]ESTWUET OBRATNAQ z = ln w | ODNOZNA^NAQ WETWX MNOGOZNA^NOJ FUNKCII z =Lnw.

pRINCIP SOOTWETSTWIQ GRANIC. pUSTX ; | ZAMKNU-

TYJ I NE IME@]IJ SAMOPERESE^ENIJ KUSO^NO-GLADKIJ KON-

TUR, RASPOLOVENNYJ W ODNOSWQZNOJ OBLASTI D C , W KO- TOROJ FUNKCIQ w = f(z) QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ. tOGDA ESLI \TA FUNKCIQ WZAIMNO-ODNOZNA^NO OTOBRAVAET KONTUR

; NA ZAMKNUTYJ I NE IME@]IJ SAMOPERESE^ENIJ KUSO^NO-

GLADKIJ KONTUR ;e c cOHRANENIEM NAPRAWLENIQ OBHODA1, TO ONA OTOBRAVAET | WZAIMNO-ODNOZNA^NO I KONFORMNO | WNUTRENNOSTX int; KONTURA ; NA WNUTRENNOSTX int;e KONTURA ;e.

rIS. 110

1 |TO OZNA^AET, ^TO POLOVITELXNOMU OBHODU (TO^KOJ z ) KONTURA ; SOOTWETSTWUET POLOVITELXNYJ OBHOD (TO^KOJ f(z)) KONTURA ;e.

294

DLQ DOKAZATELXSTWA EE ANALITI^NOSTI W KRUGE K DOSTA- TO^NO W SILU TEOREMY mORERY (XI, c. 173) USTANOWITX, ^TO

H f(z)dz = 0 DLQ L@BOJ ZAMKNUTOJ LOMANOJ P K (RIS. 112,

P

a). sOGLASNO LEMME OB INTEGRALAH PO ZAMKNUTYM LOMANYM

(X, c. 157) DLQ \TOGO, W SWO@ O^EREDX, DOSTATO^NO PROWERITX, ^TO H f(z)dz = 0 DLQ L@BOGO TREUGOLXNIKA T K.

T

rIS. 112

oSU]ESTWITX \TU PROWERKU POZWOLQET TEOREMA kO[I OB INTEGRALE PO GRANICE ZWEZDNOJ OBLASTI (X, c. 162), PRIME-

NENNAQ (W ZAWISIMOSTI OT POLOVENIQ TREUGOLXNIKA T PO OT- NO[ENI@ K PROMEVUTKU L) K ODNOJ ILI DWUM ZWEZDNYM OB-

LASTQM: LIBO WNUTRENNEJ ^ASTI TREUGOLXNIKA T , ESLI ON LEVIT PO ODNU STORONU OT PROMEVUTKA L, LIBO WNUTRENNIM

^ASTQM TREUGOLXNIKA I WYPUKLOGO ^ETYREHUGOLXNIKa (ILI

DWUH TREUGOLXNIKOW), OBRAZU@]IMSQ W SLU^AE PERESE^ENIQ TREUGOLXNIKA T PROMEVUTKOM L (RIS. 112, B). sLEDUET LI[X ZAMETITX, ^TO W KAVDOJ IZ \TIH ZWEZDNYH OBLASTEJ FUNKCIQ w =f(z) QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ, A NA OGRANI^IWA@]EM EE KONTURE | NEPRERYWNOJ. Q.E.D.

OBLASTI G W OBLASTX G ^EREZ PROMEVUTOK L.2

rIS. 113

1 nAZYWAEMYJ E]E PRINCIPOM SIMMETRII rIMANA{{WARCA

{WARC (Schwarz, Hermann Amandus, 1843 -1921) | NEMECKIJ MATEMA-

TIK, U^ENIK I POSLEDOWATELX wEJER[TRASSA I rIMANA.

2 pRIWLE^ENIE WSPOMOGATELXNYH DROBNO-LINEJNYH PREOBRAZOWANIJ

W PLOSKOSTQH PEREMENNYH z I w POZWOLQET RASPROSTRANITX PRINCIP SIMMETRII NA SLU^AJ OBLASTEJ, SIMMETRI^NYH OTNOSITELXNO OKRUV-

NOSTEJ, PRI \TOM ROLX PRQMOLINEJNYH PROMEVUTKOW L I Le BUDUT WYPOLNQTX DUGI \TIH OKRUVNOSTEJ.

296

dOKAZATELXSTWO. wSPOMOGATELXNYMI LINEJNYMI PREOB- RAZOWANIQMI PEREMENNYH z I w (SDWIGOM I POWOROTOM PLOS-

rIS. 114

aNALITI^NOSTX FUNKCII w = f (z) W OBLASTI G WYTE-

dLQ TO^EK VE 2 L (U^ITYWAQ, ^TO L ESTX PROMEVUTOK DEJSTWITELXNOJ OSI, I FUNKCIQ w = f(z) OTOBRAVAET EGO NA PROMEVUTOK Le DEJSTWITELXNOJ OSI)

w =f (z) NEPRERYWNA WPLOTX DO PROMEVUTKA L, SOWPADAQ NA NEM S FUNKCIEJ

oSTAETSQ PRIMENITX PRINCIP NEPRERYWNOGO PRODOLVE-

NIQ, POLAGAQ W EGO FORMULIROWKE (S. 292) G1 = G G2 = G , f1(z)=f(z) f2(z)=f (z).

rIS. 115

zAME^ANIe. pRIMER ANALITI^ESKOJ FUNKCII w =pz | ODNOZNA^NOJ WETWI KWADRATNOGO KORNQ, OPREDELQEMOJ W OBLASTI G = z 2C : 0 < arg z < USLOWIEM 0 < arg pz < =2,

1 oDNOZNA^NAQ WWIDU OTSUTSTWIQ U OBLASTEJ G I G OB]IH TO^EK (POSKOLXKU \TI OBLASTI LEVAT PO RAZNYE STORONY OT PRQMOJ L).

298

POKAZYWAET, ^TO ESLI OBLASTI G I G , SIMMETRI^NYE OT- NOSITELXNO PRQMOJ L (W DANNOM SLU^AE DEJSTWITELXNOJ OSI), IME@T OB]IE TO^KI (PRI < 6 2 RIS. 115), TO PRI ANALITI^ESKOM PRODOLVENII \TOJ ODNOZNA^NOJ WET-

WI W SOOTWETSTWII S PRINCIPOM SIMMETRII (W DANNOM SLU-

rIS. 116

\TOJ FUNKCII WPLOTX DO PROMEVUTKA L PONI-

MAETSQ W DANNOM SLU^AE KAK EE NEPRERYWNOSTX W TO^KAH z 2 L LIBO IZ WERHNEJ, LIBO IZ NIVNEJ POLUPLOSKOSTI, cOOTWETSTWENNO WYBORU TO^EK z 2L ODNOGO IZ DWUH ZNA^ENIJ arg pz : LIBO 0, LIBO

(ZDESX WYBRANO ZNA^ENIE 0).

299

nAGLQDNO PREDSTAWITX \TU DWUHZNA^NU@ FUNKCI@ KAK ODNOZNA^NU@

POZWOLQET SLEDU@]AQ KONSTRUKCIQ. oBLASTX G =G PREDSTAWLQ@T KAK WTOROJ \KZEMPLQR OBLASTI G, \SKLEENNYJ" S PERWYM PO PROMEVUTKU L (NA KOTOROM PREDELXNYE ZNA^ENIQ pz I pz SOWPADA@T RIS. 117, a).

rIS. 117

pOSKOLXKU PREDELXNYE ZNA^ENIQ pz I pz SOWPADA@T TAKVE I NA PROTIWOPOLOVNYH STORONAH WERHNEGO I NIVNEGO \LISTOW" (IZOBRAVEN- NYH \OTOGNUTYMI" SOOTWETSTWENNO WWERH I WNIZ NA RIS. 117, a), PRI- MENENIE PRINCIPA NEPRERYWNOSTI PRIWODIT K \SKLEJKE" TAKVE I \TIH STORON | RAZUMEETSQ, WOOBRAVAEMOJ (I TO S TRUDOM, POSKOLXKU NA RE- ALXNOJ MODELI \TO SDELATX NEWOZMOVNO).

tAKIE KONSTRUKCII, \SKLEENNYE" IZ NESKOLXKIH (INOGDA BESKONE^- NOGO ^ISLA) \LISTOW" | \KZEMPLQROW PLOSKOSTI C ILI EE ^ASTEJ1, |

1 ~ISLO \LISTOW", A TAKVE SPOSOB IH SOEDINENIQ (PUTEM \RAZREZA- NIJ" I \SKLEIWANIJ") OPREDELQ@TSQ KONKRETNOJ MNOGOZNA^NOJ FUNKCIEJ w=F (z), PRI^EM EE ZNA^ENIQM NA OTDELXNYH \LISTAH" OTWE^A@T RAZLI^NYE ODNOZNA^NYE WETWI w=f(z) \TOJ MNOGOZNA^NOJ FUNKCII.

300

POLU^ILI NAZWANIE RIMANOWYH POWERHNOSTEJ | PO IMENI IH IZOBRE-

TATELQ (IV, S. 59{61.) | I DALI IMPULXS RAZWITI@ KAK OTDELXNOJ MA- TEMATI^ESKOJ NAUKI TOPOLOGII1 (S EE RAZLI^NYMI SPECIALIZACIQMI),

TAK I NOWYH RAZDELOW ANALIZA, W ^ASTNOSTI TEORII FUNKCIJ NA RI-

MANOWYH POWERHNOSTQH. w RAMKAH VE MATEMATI^ESKOGO ANALIZA NA

KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTI ROLX \TIH KONSTRUKCIJ NE STOLX WELIKA, TAK KAK NA PERWYJ PLAN WYHODIT NE NAGLQDNOE IZOBRAVENIE MNOGOZNA^NOS-

TI FUNKCII, A PRAKTI^ESKOE WYDELENIE EE ODNOZNA^NYH WETWEJ. pRIMEROM PRAKTI^ESKOGO PRIMENENIQ PRINCIPA SIMMET-

RII MOVET SLUVITX RE[ENIE SLEDU@]EJ ZADA^I.

nAJTI ANALITI^ESKU@ FUNKCI@ w = f(z), WZAIMNO-OD- NOZNA^NO I KONFORMNO OTOBRAVA@]U@ OBLASTX G | PLOS-

KOSTX C S \RAZREZAMI" PO POLOVITELXNOJ ^ASTI DEJSTWI-

TELXNOJ OSI I OTREZKAM BISSEKTRIS KOORDINATNYH UGLOW

MEVDU KORNQMI 4-J STEPENI IZ ;1 (RIS. 118, a) | NA WERH-

N@@ POLUPLOSKOSTX.

rIS. 118

1 oT GRE^. o o& | MESTO, o o& | SLOWO, S^ET, U^ENIE.