Шпоры к вопросам / Литература / ТФКП

rIS. 103

j

(z)

j

=

j

z4 + 1

j

>

j

z4

j

= 16 (UGOL MEVDU WEKTORAMI z4 I 1

j'(z);

(z)j

= jz

3

;4

4zj616.

OSTRYJ

RIS. 103,

B), PRI \TOM

j

2

j 3

j

=

z + 1

j

>15,

dLQ TO^EK VE z Na UKAZANNYH DUGAH

(z)

TOGDA KAK

j

'(z) (z)

=

z(z

;

4)

j

6 2

8

sin

<15, POSKOLXKU

;

j

j

z

2

4

8

4) MENX[E, ^EM

UGOL MEVDU WEKTORAMI

I

(OBA DLINY

3

(RIS. 104).

4

LI[X POLOVITELXNYE ZNA^ENIQ: ESLI z =x x2R , TO

2z4 ; 3z3 + 3z2 ;z + 1 =

4

2

6

6

(2x

;x+1)+3x (;x+1)>0

DLQ 0

x

1

2

(2x

2

3x+2)+(x

2

x+1)>0

DLQ 1<x<+

= x

;

;

1

8

4

2

>

2

DLQ

x<0:

<(2x + 3x +1);3x(x +1) >0

nA LEVA]EJ W PERWOM KOORDINATNOM UGLE DUGE OKRUV-

>

:

i'

NOSTI RADIUSA

r S CENTROM 0, T. E. DLQ

z =re

06'62 ,

2z4 ; 3z3 + 3z2 ; z + 1 = 2z4 1 ;

3

+

3

;

1

+

1

=

2z

2z2

2z3

2z4

= 2r4ei4' 1+o(1) PRI r

!

+1,

W SILU ^EGO PRI OBHODE UKAZANNOJ DUGI W POLOVITELXNOM

;

z + 1 PO-

NAPRAWLENII ARGUMENT WELI^INY 2z4

;

3z3 + 3z2

;

LU^AET PRIRA]ENIE

1

+1.

2 + o(1) PRI r !

nA MNIMOJ OSI | DLQ z =iy,

y 2 R

, | WELI^INA

2z4 ; 3z3 + 3z2 ; z + 1 = (2y2

;1)(y2

;1) + iy(3y2

;1)

SOHRANQET ZNAKI DEJSTWITELXNOJ I MNIMOJ ^ASTEJ W PRO-

MEVUTKAH MEVDU TO^KAMI y =0

pi

,

pi

,

1.

3

2

iZ \TIH NABL@DENIJ SLEDUET WYWOD:

PRI OBHODE TO^KOJ z

WUET TAKOE ^ISLO

n0, ^TO PRI n>n0 KAVDYJ KORENX MNOGO-

^LENA 1 +

z

+

z2

+ +

zn

PO MODUL@ BOLX[E r.

1!

2!

n!

pUSTX r >0 I "r = min

exp z

. pOSKOLXKU RQD

+1

rn

SHO-

^TO DLQ WSEH n>n0

WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO

+1

rk

< "r ,

k!

k=n+1

A SLEDOWATELXNO, I SOOTNO[ENIQ

P

n

zn

+

1

zk

;

exp z

=

<"r

6

j

exp z

j

z

j

6r.

k=0

n!

k!

k=n+1

j

n pRIMENENIEP

TEOREMY rU[EP

DAET: PRI n > n0 MNOGO^LEN

k=0

zn

IMEET WNUTRI OKRUVNOSTI

z 2 C : jzj = r

STOLXKO

n!

VE NULEJ, SKOLXKO IH IMEET exp z,

T. E. NI ODNOGO.

P

1. dOKAZATX, ^TO UTWERVDENIE TEOREMY rU[E OSTAET-

SQ W SILE PRI ZAMENE W EE USLOWII NERAWENSTWA

j

'(z)

;

(z)

<

j

(z)

j

NA

j'(z); (z)j

<j'(z)j+j (z)j

(SNOSKA

2

NA S. 278).

j

2

4

2n

2. pUSTX n | ^ISLO KORNEJ MNOGO^LENA 1+

z

+

z

+ +

z

3!

5!

(2n+1)!

E SOOTWETSTWU@T RAZNYE TO^KI MNOVESTWA f(E):

8

z

8

z

2

E

^

2

E

^

z = = f(z)=f( ) .

6

)

6

pOMIMO SWOJSTWA KONFORMNOSTI

| W TEH TO^KAH z, GDE

;

f0(z)=0 (V, c. 81), | OTOBRAVENIQM, OSU]ESTWLQEMYM ANA-

6

LITI^ESKIMI FUNKCIQMI w=f(z), PRISU]I I DRUGIE OB]IE

SWOJSTWA, ILI, KAK PRINQTO GOWORITX, PRINCIPY.

pRINCIP SOHRANENIQ OBLASTI.

fUNKCIQ w = f(z),

ANALITI^ESKAQ I NE QWLQ@]AQSQ POSTOQNNOJ W OBLASTI

G C , OTOBRAVAET \TU OBLASTX NA OBLASTX.1

dOKAZATELXSTWO.

OBLASTI G ESTX OTKRYTOE MNOVESTWO I OBLADAET TEM SWOJ-

STWOM, ^TO DLQ L@BYH DWUH TO^EK w1 w2

2f(G) W MNOVESTWE

f(G) SU]ESTWUET SOEDINQ@]IJ IH PUTX

(VII, c. 107).

MNOVESTWA f(G), DOSTATO^NO POKAZATX,

^TO KRUG

w 2 C :

jw;w0j < (

. 107)

ZA[TRIHOWAN NA RIS

SODERVITSQ W OBRA-

ZE KRUGA K | MNOVESTWe

f(K) f(G). dOKAZYWAQ \TO \OT

PROTIWNOGO", SLEDUET PREDPOLOVITX SU]ESTWOWANIE TO^KI

w c

jw

;w0j< ,

e

e

NE QWLQ@]EJSQ OBRAZOM NI ODNOJ IZ TO^EK

c. 278) WZQTX

'(z) = f(z);w, (z) = f(z);w0, A W KA^ESTWE

ODNOSWQZNOJ OBLASTI D

I ZAMKNUTOGO KONTURA ; | KRUG

K I OKRUVNOSTX C, TO,

TAK KAK NA OKRUVNOSTI C

e

j(f(z);w) ; (f(z);w0)j = jw;w0j< 6 jf(z);w0j,

FUNKCIQ w =f(z)

;

w IMEET WNUTRI OKRUVNOSTI C STOLXKO

e

e

VE NULEJ, SKOLXKO IH IMEET FUNKCIQ w = f(z);w0, T. E. PO

KRAJNEJ MERE ODIN

(

POSKOLXKU

f(z0)=w0).

e

.

,

sup

f(z)

=

f(z0)

dOKAZATELXSTWO pREDPOLOVENIE

^TO

z2Gj

DLQ NEKOTOROJ TO^KI z0

2 G PRIWODIT K PROTIWORE^I@ S

PRINCIPOM SOHRANENIQ OBLASTI: TAK KAK OBRAZ f(G)

OBLAS-

BAQ TO^KA OBLASTI G C , W KOTOROJ FUNKCIQ w = f(z),

f(z)6 const, QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ. tOGDA:

ESLI f0(z0) 6= 0, TO W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI z0

FUNKCIQ w = f(z) OKAZYWAETSQ ODNOLISTNOJ: W RAZNYH TO^-

KAH \TOJ OKRESTNOSTI ONA PRINIMAET RAZNYE ZNA^ENIQ

ESLI VE f0(z0) = 0, TO NI W KAKOJ OKRESTNOSTI TO^KI z0

FUNKCIQ w = f(z)

ODNOLISTNOJ NE QWLQETSQ, A IMENNO: ES-

LI

f0(z0) =

= f

(k 1)

NO

f

(k)

(z0) 6= 0,

TO W L@BOJ

; (z0) = 0,

DOSTATO^NO MALOJ OKRESTNOSTI TO^KI z0 FUNKCIQ w =f(z)

PRINIMAET KAVDOE SWOE ZNA^ENIE ROWNO k RAZ.

dOKAZATELXSTWO.

pUSTX z0

| L@BAQ TO^KA OBLASTI G I

f(z0) = w0 , T. E. z0

ESTX NULX FUNKCII w = f(z);w0, PRI^EM

(POSKOLXKU

f(z) 6 const) IZOLIROWANNYJ (XIII, c. 200). sU-

]ESTWUET PO\TOMU KRUG K c CENTROM z0 2G, NE SODERVA]IJ

OTLI^NYH OT z0 NULEJ FUNKCII w = f(z);w0 BOLEE TOGO,

KAK PRI

f0(z0) = 0,

TAK I PRI

f

0(z0) = 0,

MOVNO S^ITATX

,

^TO

6

1

f0(z)=0 W KAVDOJ OTLI^NOJ OT z0

TO^KE z \TOGO KRUGA .

6

PRINADLEVA]AQ KRUGU K, a

C | KONCENTRI^ESKAQ OKRUV-

e

(

. 109),

(

NOSTX MENX[EGO RADIUSA

RIS

NA KOTOROJ

POSKOLXKU

f(z)

;

w0 =0 W KRUGE K)

inf

f(z)

;

w0

j

= >0.

6

z2Cj

jw;w0j< ,

-

w c

kAKOWO BY NI BYLO ZNA^ENIE

e

e

WZQW W KA

1

;

;

CIQM w =f(z)

w I w = f(z)

w0 MOVNO PRIMENITX TEOREMU

rU[E : TAK KAK NA OKRUVNOSTI eC

j(f(z);w) ;e(f(z);w0)j=jw;w0j< 6jf(z);w0j,

WNUTRI \TOJ OKRUVNOSTI FUNKCIQ w =f(z);w IMEET STOLX-

,e

e

w=f(z)

;w0,

:

KO VE NULEJ

SKOLXKO IH U FUNKCII

e

A IMENNO

,

f0(z0) 6= 0,

z0

ROWNO ODIN

ESLI

TAK KAK EDINSTWENNYJ NULX

w =f(z);w0

(k 1)

(k)

FUNKCII

QWLQETSQ PROSTYM

ROWNO

k,

ESLI

f0(z0) = = f

; (z0) = 0, a f (z0) 6= 0,

w =f(z) w

(f0

(z) = 0

z

2

K z =z0).

;

e

6

DLQ

6

QWLQETSQ PROSTYM

6

ESLI

(k

1)

RENNOSTI OKRUVNOSTI

C),

f0(z0) = = f ; (z0) = 0,

a f

(k)

(z0)6=0. Q.E.D.

zAME^ANIE.

pRIMER FUNKCII w = exp z (S exp0z = 0 W

PLOSKOSTI C )

POKAZYWAET, ^TO USLOWIE f0(z) = 0

6

OBESPE^I-

6

WAET LI[X LOKALXNU@ (NO NE GLOBALXNU@) ODNOLISTNOSTX

1

CLEDUET OTMETITX, ^TO FUNKCIQ w =f(z) w MOVET IMETX WNUTRI

OKRUVNOSTI C LI[X KONE^NOE ^ISLO

;

NULEJ: W PROTIWNOM SLU^AE \TI

NULI IMELI BY PREDELXNU@ TO^KU (WNUTRI ILI NA OKRUVNOSTI C ),

OKAZYWA@]U@SQe

e

DLQ \TOJ FUNKCII NEIZOLIROWANNYM NULEM.