Добавил:

Hist Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Теория функций комплексного переменного

Файл:

ТФКП

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.05.2014

Размер:

51.53 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 3628 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

271

PRI \TOM SLAGAEMYE W SKOBKAH | \TO WY^ETY DWUH RAZ-

NYH ODNOZNA^NYH WETWEJ MNOGOZNA^NOJ FUNKCII w =

z ;1

z+b

(S RAZNYMI ZNA^ENIQMI (

b) ;1). dLQ ODNOJ IZ \TIH WETWEJ

;

0, W KOTOROJ

WYDELQEMOJ W OBLASTI C r

arg z

2 ;2

res

z ;

= e

( 1)

+ i arg(

( 1)

;

= e

;

; ,

z= b

z+b

;

j;j

j j

DLQ;DRUGOJ VE | W OBLASTI C r

00,

GDE

arg z

, |

;

res

z ;

= e

( 1)

+ i arg(

b) =

i2 ( 1)

;

; e

;

; .

z=;b z+b

j; j

;

j j

wYWOD:

PRI b<0

;

+1x

i b ;1 1+ei2 ( ;1)

v.p.

;

dx =

j j

ei2 (

= b

;1ctg (

;

1).

x+b

;;

;

j j

+1ln(1+x2)

WSPOMOGATELXNYM SLU-

pRI WY^ISLENII

x (1+x )

VIT

ln(1

iz)

SOSTOQ]EMU

;

PO ZAMKNUTOMU KONTURU

;Hr z2

(1+z2)

;r ,

IZ DWUH OTREZKOW [;r1 ;r2]

[r2 r1]

I DWUH POLUOKRUVNOS-

TEJ Cr1 Cr2

(NAPRAWLENIQ IH OBHODA UKAZANY NA RIS. 99).

rIS. 99

272

sU]ESTWENNO, ^TO DANNYJ KONTUR PRINADLEVIT ODNO-

SWQZNOJ OBLASTI | PLOSKOSTI S \RAZREZOM" OT TO^KI ;i WNIZ PO MNIMOJ OSI: W \TOJ OBLASTI ;2 < arg(z;(;i)) < 32 ,

A SLEDOWATELXNO, LOGARIFM W ^ISLITELE PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII IMEET ODNOZNA^NU@ WETWX

def

ln(1;iz) = ln j1;izj + i arg(1;iz) =

= ln j1;izj + i arg;(;i)(z+i) = ln j1;izj + i;arg(z;(;i)); 2 . pRIMENENIE TEOREMY O WY^ETAH DAET:

ln(12 ;iz2) dz = 2 ires ln(12 ;iz2)

2 i ln(12 ;iz)

ln 2

(1+z )

z=i

z (1+z )

(z+i)

z=i

;

;Hr

W SILU VE SWOJSTWA ADDITIWNOSTI INTEGRALA WKUPE S LEMMA

MI 1, 2 (S. 247{248)

ln(1

iz)

r1 ln(1

;

ix)

dx +

;r2 ln(1

;

ix)

ln(1

iz)

2 ;

2 dx +

;

z (1+z )

(1+x )

x (1+x )

z (1+z )

r1(ln(1

ln(1

iz)

dz =

ix)+ln(1+ix))

ln(1

iz)

2 ;

;

z (1+z )

(1+x )

z (1+z )

Cr2

Cr1

ln(1

iz)

+1ln(1+x2)

ln(1 iz)

;

i res

;

2 .

CHr2

(1+z )

(1+x )

;

z=0

z (1+z )

! 1

r2 !0

wY^ISLENIE POSLEDNEGO WY^ETA1

res ln(12 ;iz2)

= lim ln(12 ;iz2)

= lim;iz;(iz)2=22;

;

z=0 z (1+z )

z!0 z

(1+z )

z!0

z(1+z )

I SOPOSTAWLENIe WYWEDENNYH SOOTNO[ENIJ DA@T TREBUEMYJ

OTWET: +R1ln(1+x2) dx = (1;ln 2).

0 x2(1+x2)

1 tO^KA z = 0 QWLQETSQ POL@SOM 1-GO PORQDKA, TAK KAK DLQ WY- DELENNOJ ODNOZNA^NOJ WETWI w = ln(1 ;iz) SPRAWEDLIWY RAWENSTWA

ln(1;iz)z=0 = 0 I ln(1;iz)0z=0 = ;i.

273

iNTEGRALY fRENELQ

cos x2dx I

sin x2dx MOVNO

+1 R

WY^ISLITX, ZNAQ ZNA^ENIE

e;x dx =

ISHODQ IZ INTEG-

RALA

iz2

dz, WZQTOGO PO ZAMKNUTOMU KONTURU ;r, SOSTOQ-

]EMU;HIZr

DWUH OTREZKOW I WOSXMOJ ^ASTI OKRUVNOSTI Cr

RADIUSA r S CENTROM 0 (RIS. 100).

rIS. 100

w SILU TEOREMY kO[I (X, S. 151)3 I SWOJSTWA ADDITIW-

NOSTI INTEGRALA S U^ETOM TOGO, ^TO NA NEOTRICATELXNOJ

^ASTI DEJSTWITELXNOJ OSI z =x, A NA BISSEKTRISSE PERWO-
GO KOORDINATNOGO UGLA z =xei				x>0,
GO KOORDINATNOGO UGLA z =xei			4	x>0,			R
H	R			R			R
0 = eiz2dz =	r	eix2dx ;		r	e;x2ei		dx + eiz2dz.
0 = eiz2dz =	0	eix2dx ;		0	e;x2ei	4	dx + eiz2dz.
;r							Cr

1 iME@]IE PRILOVENIE W TEORII DIFRAKCII SWETA I NAZWANNYE W ^ESTX EE SOZDATELQ | FRANCUZSKOGO FIZIKA fRENELQ (Fresnel, Augustin

Jean, 1788 {1827).

2 eGO WY^ISLQ@T W KURSE DEJSTWITELXNOGO ANALIZA SWEDENIEM K NE- SOBSTWENNOMU DWOJNOMU INTEGRALU.

3 iLI TEOREMY O WY^ETAH (XV, S. 233).

274

pRI POSLEDU@]EM PEREHODE W \TIH RAWENSTWAH K PREDE-

LU PRI r ! +1 NEBOLX[AQ TRUDNOSTX SOSTOIT W TOM, ^TO K R eiz2dz LEMMA 1 NAPRQMU@ NE PRIMENIMA: NE WYPOLNENO

USLOWIE 2) \TOJ LEMMY. ~TOBY OBOJTI \TU TRUDNOSTX, SLEDU-

NUTOMU KONTURU ;r , PREDSTAWLENNOMU NA RIS. 97, a.

iz2

ET ZAPISATX eiz2 =

I, PREDSTAWIW INTEGRAL PO

2iz2

DUGE Cr W WIDE SUMMY DWUH, PRIMENITX K PERWOMU FORMULU

nX@TONA{lEJBNICA (VIII, S. 133), A KO WTOROMU | UPOMQNU-

TU@ LEMMU:

e;r2

eir2

eiz2

iz2

e dz =

;

2iz2 dz

! 1

+1eix2 dx =

+1e;x2ei

wYWOD:

dx ,

T. E.

cos x

dx + i

sin x dx =

cos

+ i sin

dx,

;

A SLEDOWATELXNO,

1cos x2dx =

1sin x2dx =

uPRAVNENIQ.

1 (K POSLEDNEMU PRIMERU). w KAKOJ ^ASTI PLOSKOSTI

C FUNKCIQ w=eiz2

QWLQETSQ OGRANI^ENNOJ?

2 (

K PRIMERU

8).

pO^EMU WY^ISLITX

res

ln(1;iz)

MOVNO I PO

( . 272)

z=0 z

(1+z )

FORMULE

ln(1;iz)

A WO WSPOMOGATELXNOM KONTURNOM

zres=0 z2(1+z2)

1+z2

INTEGRALE (c. 271) NELXZQ WMESTO

ln(1

iz) WZQTX

ln(z+i) ?

3 (K PRIMERU 7). kAK PONIMATX

;z ;1dz

z ;1dz

(INTEGRALY

Cr1

z+b

Cr2

z+b

PO OKRUVNOSTQM Cr1 Cr2 ) NA S. 269{270H ?

4 (K PRIMERU 6).

nAJTI

x2ln x dx

WY^ISLQQ

z2ln2z dz

PO ZAMK-

+1)

;Hr

NULEJ I/ILI POL@SOW.

^ENIE INTEGRALA

2 i

275

XVII. w ^EM SOSTOIT PRINCIP ARGUMENTA I ^TO UTWERVDAET TEOREMA rU[E

tEOREMA (PRINCIP ARGUMENTA).1 pUSTX W ODNOSWQZ-

NOJ OBLASTI D C FUNKCIQ w = f(z) QWLQETSQ ANALITI- ^ESKOJ, ISKL@^AQ LI[X KONE^NOE ^ISLO POL@SOW, I IMEET W \TOJ OBLASTI LI[X KONE^NOE ^ISLO NULEJ 2 TOGDA DLQ L@-

BOGO ZAMKNUTOGO I NE IME@]EGO SAMOPERESE^ENIJ KUSO^NO-

GLADKOGO KONTURA ; D, OBHODQ]EGO WNUTRENN@@ PO OTNO- [ENI@ K NEMU OBLASTX int; W POLOVITELXNOM NAPRAWLENII I NE PROHODQ]EGO ^EREZ NULI I POL@SY DANNOJ FUNKCII,

SPRAWEDLIWO RAWENSTWo

Nfint ; ; Pfint ; = 21 MArgf(z) ; ,

LEWAQ ^ASTX KOTOROGO | RAZNOSTX MEVDU ^ISLAMI NULEJ I POL@SOW3 FUNKCII w = f(z) WNUTRI KONTURA ;, a PRAWAQ | DELENNOE NA 2 POLNOE PRIRA]ENIE ARGUMENTA WEKTORA f(z) (ILI, ^TO TO VE SAMOE, SUMMARNOE ^ISLO EGO OBOROTOW4) PRI PEREME]ENII TO^KI z WDOLX KONTURA ;.

dOKAZATELXSTWO. dOSTATO^NO DWUMQ SPOSOBAMI NAJTI ZNA-

f0(z)

H f(z) dz, PRIMENQQ: 1) TEOREMU O WY^E-

;

TAH (XV, c. 233), FORMULU nX@TONA{lEJBNICA W WARIAN-

TE S \MNOGOZNA^NOJ PERWOOBRAZNOJ", OBSUVDAW[EMSQ W IX

(c. 135|137).

1 u kO[I W [28], ser. I, t. XII, p. 266.

2 wKL@^AQ SLU^AI OTSUTSTWIQ U FUNKCII

3 nA RIS. 101 z1 : : : zm | NULI I POL@SY FUNKCII w = f(z), PRI \TOM KAVDYJ NULX S^ITAETSQ STOLXKO RAZ, KAKOWA EGO KRATNOSTX, A

KAVDYJ POL@S | STOLXKO RAZ, KAKOW EGO PORQDOK.

4 oBOROTY \PROTIW HODA ^ASOWOJ STRELKI" BERUTSQ SO ZNAKOM +, A W PROTIWOPOLOVNU@ STORONU | SO ZNAKOM ;.

276

rIS. 101
f0(z)
w USLOWIQH TEOREMY FUNKCIQ w = f(z)	QWLQETSQ ANALI-

TI^ESKOJ W OBLASTI D, ISKL@^AQ LI[X a) NULI I B) POL@SY FUNKCII w =f(z).

pUSTX z = a | NULX FUNKCII w = f(z) KRATNOSTI k (XIII, S. 198), T. E. RAZLOVENIE tEJLORA \TOJ FUNKCII W OKREST-

NOSTI TO^KI a IMEET WID

f(z) = ck(z;a)k + ck+1(z;a)k+1 +

(c ck 6=0),

A TAK KAK

f0(z) = kck(z;a)k;1 + (k+1)ck+1(z;a)k + ,

DLQ ^ASTNOGOf0(z) =

kck +(k+1)ck+1(z;a)+

f(z)

(z;a)[ck+ck+1(z;a)+ ]

z = a QWLQETSQ POL@SOM 1-GO PORQDKA S WY^ETOM

res f0(z)

= lim

kck+(k+1)ck+1(z;a)+

;

a) = k.

z=a f(z)

z!a

(z;a)[ck+ck+1(z;a)+

]

pUSTX TEPERX

z = b | POL@S FUNKCII w = f(z) PORQDKA

n (XIV, c. 218),

T. E. RAZLOVENIE lORANA \TOJ FUNKCII W

OKRESTNOSTI TO^KI b IMEET WID

f(z) =

c;n

c;n+1

(c c;n 6= 0),

(z;b)n

(z;b)n;1

ODNOZNA^NAQ WETWX

1 |TO OZNA^AET, ^TO

w =lnf(z) S PROIZWODNOJ

277

TAK ^TO

ncn

( n+1)c n+1

f0(z) =

;

n+1 +

;

(z;b)

A PO\TOMU DLQ ^ASTNOGO

f0(z) = ;nc;n+(;n+1)c;n+1 (z;b)+

f(z)

(z;b)[c;n+c;n+1(z;b)+

]

z =b QWLQETSQ POL@SOM 1-GO PORQDKA S WY^ETOM

f0(z)

nc;n+( n+1)c;n+1(z

b)+

res

= lim

;

b) =

;

z=b f(z)

z!b

(z;b)[c;n+c;n+1(z;b)+ ]

|TIM USTANOWLENO, ^TO WY^ET FUNKCII w=

f0(z)

W NULE

f(z)

FUNKCII w = f(z) RAWEN KRATNOSTI \TOGO NULQ, A W POL@SE FUNKCII w = f(z) | WZQTOMU SO ZNAKOM \MINUS" PORQDKU

\TOGO POL@SA.

pRIMENENIE TEOREMY O WY^ETAH (XV, c. 233) POZWOLQET PO\TOMU UTWERVDATX: ESLI z1 : : : zm | OB]IJ SPISOK NU-

LEJ I POL@SOW FUNKCII w =f(z) W OBLASTI D, TO DLQ L@BOGO

ZAMKNUTOGO KUSO^NO-GLADKOGO KONTURA ; D BEZ SAMOPE-

RESE^ENIJ, KOTORYJ NE PROHODIT ^EREZ TO^KI z1 : : : zm I OBHODIT WNUTRENN@@ PO OTNO[ENI@ K NEMU OBLASTX int; W POLOVITELXNOM NAPRAWLENII1, WYPOLNQ@TSQ SOOTNO[ENIQ

f0(z) dz =

res f0(z)

= Nf int ;

;

Pf int ; .

2 i

f(z)

z=zj f(z)

f (z)

;

zj2int ;

s DRUGOJ STORONY, PODYNTEGRALXNAQ FUNKCIQ W

2 i

f(z)

W OBLASTI D0 = Drfz1 : : : zmg (KAK I WY[E, z1 :H;: : zm | OB]IJ SPISOK NULEJ I POL@SOW FUNKCII w =f(z) W OBLASTI

D) IMEET \MNOGOZNA^NU@ PERWOOBRAZNU@" w =Lnf(z) (VIII,

S. 135): W OKRESTNOSTI KAVDOJ TO^KI OBLASTI D0 OPREDELENA

;lnf(z) 0= ff0((zz)) .

ind(; z) = 1 DLQ TO^EK z 2int; (IX, c. 144).

278

~TOBY W \TOM UBEDITXSQ, DOSTATO^NO ZAMETITX, ^TO L@-

BAQ TO^KA 2 D0 IMEET OKRESTNOSTX, WO WSEH TO^KAH z KO- TOROJ jf(z); f( )j < jf( )j, I W KOTOROJ PO\TOMU OPREDELENA

ODNOZNA^NAQ WETWX ' = arg f(z), A SLEDOWATELXNO, I ODNO-

ZNA^NAQ WETWX w =ln f(z) = ln jf(z)j + i arg f(z). pRIMENENIE (K UVE WY^ISLENNOMU S POMO]X@ WY^ETOW

INTEGRALU) FORMULY nX@TONA{lEJBNICA | PUTEM RAZDELE-

NIQ KONTURA ; NA U^ASTKI, CELIKOM POPADA@]IE W OBLASTI OPREDELENIQ ODNOZNA^NYH WETWEJ w =ln f(z), | DAET:

f0(z)

Nfint ; ; Pfint ; = 2 i

;

f(z) dz = 2 iMLnf(z) =

M ln jf(z)j + iArgf(z) ; =

MArg f(z) ;

2 i

Mln jf(z)j ; = 0, TAK KAK;

KONTUR ; ZAMKNUT

. Q.E.D.

;

wOT WAVNOE SLEDSTWIE PRINCIPA ARGUMENTA.

tEOREMA rU[E.1 pUSTX ; | ZAMKNUTYJ I NE IME@]IJ SAMOPERESE^ENIJ KUSO^NO-GLADKIJ KONTUR, NE WYHODQ]IJ ZA

PREDELY ODNOSWQZNOJ OBLASTI D C , W KOTOROJ FUNKCII w = '(z) I w = (z) QWLQ@TSQ ANALITI^ESKIMI I IME@T NE BOLEE KONE^NOGO ^ISLA NULEJ. tOGDA ESLI NA \TOM KONTURE

WYPOLNENO NERAWENSTWO j'(z);	(z)j<j (z)j, TO WNUTRI \TOGO
KONTURA FUNKCII w = '(z) I	w = (z) IME@T ODINAKOWOE

^ISLO NULEJ2.

1 fRANCUZSKIJ MATEMATIK rU[E (Rouche, Eugene, 1832{1910) USTA-

NOWIL \TU TEOREMU W G OPUBLIKOWANA W

1861 . Journal de l'Ecole Imperiale

Polytechnique ZA 1862 G. (t. 22, p. 217{218).

2 kAVDYJ NULX S^ITAETSQ STOLXKO RAZ, KAKOWA EGO KRATNOSTX. rAZU- MEETSQ, PRAWU@ ^ASTX NERAWENSTWA j'(z); (z)j<j (z)j W USLOWII TEORE- MY MOVNO ZAMENITX NA j'(z)j. iZWESTNY RAZLI^NYE PEREFORMULIROWKI I OBOB]ENIQ \TOJ TEOREMY W ^ASTNOSTI, UPOMQNUTOE NERAWENSTWO W EE USLOWII DOPUSKAET ZAMENU NA j'(z); (z)j< j'(z)j+j (z)j (T.Estermann.

Complex numbers and functions. London, 1962, p. 156).

279 dOKAZATELXSTWO. wWIDU WYPOLNENIQ W TO^KAH KONTURA ;

NERAWENSTWA j'(z);	(z)j < j (z)j	\TOT KONTUR NE PROHODIT
^EREZ NULI FUNKCIJ	w = '(z) I	w = (x), A TAK KAK U \TIH

FUNKCIJ NET OSOBYH TO^EK W OBLASTI D, PRINCIP ARGUMEN- TA POZWOLQET SDELATX WYWOD: KOLI^ESTWA N'int ; I N int ; NULEJ, KOTORYE IME@T FUNKCII w='(z) I w = (z) WNUTRI KONTURA ;, SOWPADA@T S KOLI^ESTWAMI OBOROTOW WEKTOROW '(z) I (z) PRI OBHODE TO^KOJ z \TOGO KONTURA. oSTAETSQ ZAMETITX, ^TO (OPQTX VE W SILU USLOWIQ j'(z); (z)j<j (z)j) UGOL MEVDU WEKTORAMI '(z) I (z) PRI PEREME]ENII TO^KI WDOLX KONTURA ; OSTAETSQ OSTRYM (RIS. 102), A POTOMU RAZ-

NOSTX MEVDU KOLI^ESTWAMI OBOROTOW, SOWER[ENNYH \TIMI WEKTORAMI PO ZAWER[ENI@ OBHODA TO^KOJ z KONTURA ; RAWNA NUL@. Q.E.D.

rIS. 102

tEOREMA rU[E DAET ODIN IZ SPOSOBOW DOKAZATELXSTWA TE-

OREMY O SU]ESTWOWANII KORNEJ MNOGO^LENOW (XIII, c. 197) I DAVE W BOLEE SILXNOJ FORMULIROWKE:

l@BOJ MNOGO^LEN STEPENI n>1 IMEET W PLOSKOSTI C ROW- NO n KORNEJ.

280

dOKAZATELXSTWO.

pUSTX p(z) | MNOGO^LEN STEPENI n S KO-

\FFICIENTOM a0 PRI zn. tAK KAK

lim

p(z);an0zn

= 0,

NA L@-

z!1

a0z

BOJ OKRUVNOSTI S CENTROM 0

DOSTATO^NO BOLX[OGO RADI-

ja0z

; p(z)j<ja0z

USA WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO

A POTOMU

SOGLASNO TEOREME rU[E (WZQW W NEJ '(z) = p(z)

(z) = a0z )

MOVNO UTWERVDATX, ^TO WNUTRI L@BOJ TAKOJ OKRUVNOSTI MNOGO^LEN p(z) IMEET STOLXKO VE NULEJ (ILI KORNEJ), SKOLX- KO IH IMEET ODNO^LEN a0zn, T. E. ROWNO n (DLQ NEGO NA^ALo

KOORDINAT QWLQETSQ n-KRATNYM NULEM). Q.E.D.

sLEDU@]IE PRIMERY POKAZYWA@T, KAK, ISPOLXZUQ PRINCIP ARGUMENTA I TEOREMU rU[E, POLU^ATX INFORMACI@ NE TOLXKO O KOLI^ESTWE, NO I O RASPOLOVENII NULEJ ANALITI- ^ESKIH FUNKCIJ (PREVDE WSEGO MNOGO^LENOW).

1.	nAJTI ^ISLO KORNEJ URAWNENIQ z4 + z3 ; 4z + 1 = 0 W
KOLXCE	fz 2 C : 1<jzj<2g.
dOSTATO^NO PRIMENITX TEOREMU rU[E, WZQW W KA^ESTWE
KONTURA ; WNA^ALE OKRUVNOSTX RADIUSA 1, A ZATEM OKRUV-
NOSTX RADIUSA 2 (OBE S CENTROM W NA^ALE KOORDINAT), A W
KA^ESTWE FUNKCIJ \| SOOTWETSTWENNO
'(z) = z4 + z3					4z + 1	I (	'(z) = z4 + z3		4z + 1
( (z) =		;	4z	;			(z) = z4 + 1:	;
						j'(z);	(z)j = jz4 + z3 + 1j 6 3,
nA PERWOJ OKRUVNOSTI
a j (z)j = j;4zj				= 4, POTOMU WNUTRI NEE LEVIT STOLXKO

VE KORNEJ DANNOGO URAWNENIQ, SKOLXKO IH IMEET URAWNENIE

;4z = 0, T. E. ODIN.

pOLU^ITX SOOTWETSTWU@]IE OCENKI NA WTOROJ OKRUV- NOSTI (PRI jzj = 2) NE STOLX PROSTO. rASSUVDATX MOVNO, NAPRIMER, TAK. dLQ TO^EK z c jzj=2 WNE DUG, OPREDELQEMYH

NERAWENSTWAMI

8 + 2k 6 arg z 6 38 + 2k k 2Z (RIS. 103, a),

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 3628 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>