Пряма на площині

1. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом k:

y = kx + b. Параметр k дорівнює тангенсу кута нахилу прямої до осі OX (k = tg ) та називається кутовим коефіцієнтом.

2. Рівняння прямої, що проходить через точку М ( ) з кутовим коефіцієнтом k : y - y = k(x - x )

3. Кут між прямими. Кут , що відраховується проти часової стрілки від прямої y = k x + b, до прямої y = k x + b , визначається формулою

Умова паралельності прямих: k = k .

Умова перпендикулярності прямих: k = - .

Вправи

1. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку

А(-1;3):

1. паралельно прямій x – 5y + 2 = 0

2. перпендикулярно прямій 3x – y + 4 = 0.

1. Скласти рівняння прямих. що проходять через точку

В(2;-3):

1. паралельно осі ОХ;

2. паралельно осі OY;

3. перпендикулярно до прямої x – 3y – 7 = 0.

1. Знайти відстань між паралельними прямими:

   1. x – 2y + 6 = 0 та 2x – 4y + 7 = 0.

   2. 2x – 3y + 2 = 0 та 6x – 9y + 5 = 0.

2. Визначити вершини і кути трикутника, сторони якого задані рівняннями

x + 3 = 0; x = 3; x – 2y + 3 = 0

5. В трикутнику з вершинами А(-2;0); В(2;6); С(4;2) проведено висоту BD та медіану BE. Записати рівняння сторони AC, медіани BE, висоти BD.

6. Запишіть рівняння сторін і знайти кути трикутника з вершинами А(0;7); В(6;-1); С(2;1).

7. Знайти відстань від точок А(4;3); В(2;1); та С(1;0) до прямої 3x + 4y – 10 = 0. Побудувати точки та прямую

8. Знайти довжину висоти BD в трикутнику з вершинами

А(-3;0); В(2;5) та С(3;2).

9. Довести, що точки А(-4;3); В(-5;0); С(1;0) та D(1;0) – вершини трапеції та знайти її висоту.

10. Запишіть рівняння прямої, що проходить через точку перетину прямих 2x – 3y + 5 = 0 та

3x + y – 7 = 0 і перпендикулярна до прямої

y = 2x. (не знаходячи точку перетину прямих).

11. Дві сторони паралелограма задані рівняннями

y = x – 2x та 5y = x + 6. Діагоналі паралелограма

перетинаються в початку координат. Запишіть

рівняння двох інших сторін паралелограма та його

діагоналей.

Питання для самоконтролю.

1. за якими формулами обчислюються координати середини відрізка?

2. які ви знаєте рівняння прямої на площині?

3. як знаходиться кут між двома прямими?

4. яка умова паралельності (перпендикулярності) прямих?

5. яка умова паралельності (перпендикулярності)площин?

6. як знайти точу перетину двох прямих, площин?

7. що називають кутовим коефіцієнтом прямої?

Криві іі-го порядку

Загальний вигляд кривої другого порядку задається рівнянням

(1)

де A, B, С, D, E, F – дійсні числа, причому не всі числа A, B, С – не рівні нулю одночасно ( бо в протилежному випадку буде лінійна залежність ).

Залежно від вибору коефіцієнтів рівняння (1) можна отримати чотири типи кривих: коло, гіпербола і парабола.

Коло.

Якщо А = С = 1, В = 0, то рівняння (1) описує коло, або задає точку, або не існує ніякої кривої.

Коло ­– це множина точок на площині, рівновіддалених від даної точки, що називається центром.

відстань між двома точками; радіус. Точка О(а ; b) центр кола

. (2)

Якщо центр кола є в початку координат а = b = 0, тоді

– найпростіше (канонічне) рівняння кола.

Еліпс

Еліпс – це множина точок на площині, сума віддалей яких до двох фіксованих точок, що називаються фокусами,

є стала і рівна 2а. Причому, якщо с – фоку-

сна відстань (відстань від центра

еліпса до фокуса), а – велика

піввісь, то необхідно, щоб а > c.

фокальні радіуси,

За означенням еліпса (3)

(4)

Це канонічне рівняння еліпса.

2а – велика вісь еліпса,

2b – мала вісь еліпса,

2с – фокусна відстань,

Точки А(-а;0) В (а;0) С(0; b) Д( 0; -b) – вершини еліпса.

b ² = а ² – с ² – співвідношення між основними характеристиками еліпса.