Застосування похідних до дослідження функцій Теореми про середнє значення
Дослідження функцій за допомогою похідних ґрунтується на деяких основних теоремах диференціального числення.
Теорема Лагранжа.
Нехай функція
задовольняє
умовам: 1)
неперервна на
2)
диференційована на (
).
Тоді існує точка
така, що
.
Ця формула називається формулою Лагранжа,
або формулою скінчених приростів.
Теорема Коші.
Нехай функція
і
задовольняють умовам: 1)
і
неперервні на
2)
і
диференційовані на (
);
3)
в усіх точках
.
Тоді існує точка
така, що
.
Ця формула називається формулою Коші.
Вправи
Для функції
записати формулу Лагранжа на відрізку
і визначити значення
:
1)
,
[0;1]; 2)
,
[1;2].
записати формулу Коші для функцій:
1)
і
=
на відрізку [1;2];
2)
і
=
на відрізку [
].
Визначити значення
.
Довести, що рівняння
має лише один дійсний корінь.Довести, що рівняння
,
яке має корінь
(перевірте), не має інших дійсних коренів.
Правило Лопіталя
Найбільш простим і ефективним методом розкриття невизначеностей є правило Лопіталя.
Нехай функції і :
1) диференційовані в деякому околі точки а за винятком, можливо, самої точки а, причому у цьому околі; 2) одночасно є нескінченно малими або нескінченно великими в точці а;
3) існує
(можливо, нескінченна). Тоді існує
,
причому
.
Правила Лопіталя діють також
при
,
,
і у випадках однобічних границь. Вони
дозволяють розкривати невизначеності
типу
і
.
Правило Лопіталя можна застосовувати кілька разів.
Вправи
Застосовуючи правило Лопіталя, обчислити границі:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
Невизначеності типів
і
шляхом простих алгебраїчних перетворень
зводяться спочатку до типів
і
,
до яких і застосовується правило
Лопіталя.
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
Невизначеність типів
,
які зустрічаються при обчисленні границь
функцій вигляду
зводяться до невизначеності типу
.
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
Зростання і спадання функції. Екстремум.
Якщо
для всіх
,
то функція зростає (спадає) на
.
Функція
в точці
має максимум (мінімум), якщо існує такий
окіл 0
точки
,
що для всіх
з цього околу
Максимум (мінімум) функції в точці називається екстремум функції в цій точці, а сама точка - точкою екстремуму.
Точки
,
в яких
,
називаються стаціонарними,а разом з
точками, де функція недиференційована
(але неперервна) – критичними точками
функції.
Необхідна умова існування екстремуму.
Якщо функція має екстремум у точці , то ця точка є критичною.
Достатні умови існування екстремуму.
Нехай функція диференційована в деякому околі точки , окрім, можливо, самої точки , в якій функція неперервна.
Якщо при переході аргументу через точку похідна змінює знак з плюса на мінус, то функція в цій точці має максимум; якщо знак змінюється з мінуса на плюс, то функція має мінімум.
Нехай функція
двічі диференційована і
.
Тоді в точці
функція
має максимум, якщо
і мінімум, якщо
.
Вправи
Знайти проміжки зростання і спадання функцій:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
Визначити екстремуми функцій:
1)
2)
3)
;
4)
5)
6)
7)
8)
9)
;
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
Розв’язати задачі:
З бляшаного круга радіуса R вирізають сектор з центральним кутом із нього скручують конічну лійку. При якому значені кута об’єм лійки буде найбільшим?
Якою повинна бути висота конуса, вписаного в кулю радіуса R, щоб його бокова поверхня була найбільшою?
Серед прямокутників з даним периметром
найти
такий, площа якого найбільша.На сторінці книги друкований текст повинен займати 432 см . Поля зверху і знизу повинні бути по 2 см, а справа і зліва по 1,5 см. Обчислити най економніші розміри паперу.(21 см; 28 см).
Знайти висоту прямого кругового конусу найменшого об’єму, який описаний навколо кулі радіусом R. (8 R).