
- •Заступник директора з розглянуто
- •Пояснювальна записка
- •Тематичний план
- •Визначник
- •Властивості визначників
- •Система лінійних рівнянь
- •Питання для самоконтролю.
- •Векторна алгебра Додавання векторів. Множення вектора на скаляр
- •Прямокутні координати вектора в просторі
- •Скалярний добуток двох векторів
- •Векторний добуток векторів
- •Рівняння прямої у просторі
- •Пряма на площині
- •Питання для самоконтролю.
- •Криві іі-го порядку
- •Гіпербола.
- •Парабола.
- •Питання для самоконтролю.
- •Вступ до аналізу Комплексні числа
- •Питання для самоконтролю
- •Змінні величини і функції
- •Границі послідовності та функції. Нескінченно малі та нескінченно великі
- •Границя відношення при
- •Порівняння нескінченно малих функцій
- •Неперервність функції
- •Асимптоти
- •Геометричний і механічний зміст похідної. Рівняння дотичної та нормалі до графіків функції
- •Диференціал функції
- •Похідні і диференціали вищих порядків
- •Застосування похідних до дослідження функцій Теореми про середнє значення
- •Правило Лопіталя
- •Зростання і спадання функції. Екстремум.
- •Необхідна умова існування екстремуму.
- •Достатні умови існування екстремуму.
- •Питання для самоконтролю
- •Інтегрування підстановкою та безпосередньо
- •Інтегрування по частинах
- •Інтеграли виду Вправи
- •Інтегрування раціональних алгебраїчних функцій
- •Інтегрування дуяких ірраціональних алгебраїчних функцій
- •Інтегрування тригонометрчних функцій
- •Питання для самоконтролю
- •Визначений інтеграл
- •Обчислення площ
- •Об’єм тіла обертання
- •Обчислення довжини дуги кривої
- •Питання для самоконтролю
- •Диференційні рівняння першого порядку
- •Однорідні диференційні рівняння першого порядку
- •Лінійні диференційні рівняння першого порядку
- •Лінійні диференційні рівняння другого порядку
- •Питання для самоконтролю
- •Формула і ряд Тейлора та їх застосування
- •Питання для самоконтролю
- •Рекомендована література
Геометричний і механічний зміст похідної. Рівняння дотичної та нормалі до графіків функції
Якщо функція
диференційована в точці
,
то
дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної
до графіку цієї функції в точці
(геометричний
зміст похідної), тобто
де
-
кут, дотичної з додатним напрямом осі
ОХ.
Рівняння дотичної і нормалі до графіка функції в точці відповідно мають такий вигляд:
Якщо S=S(t)
– функція, що описує закон руху
матеріальної точки, то миттєва швидкість
в момент часу
дорівнює похідній шляху за часом
(механічний зміст похідної), тобто
.
Прискорення а є необхідною швидкістю
за часом, тобто
.
Вправи
Написати рівняння дотичної і нормалі до параболи
у точці з абсцисою
Обчислити довжину відрізка дотичної до кривої
від точки дотику , де
, до її перетину з віссю ОХ.\
В якій точці дотична до кривої
паралельна прямій
?
В якій точці дотична до параболи
:
Паралельна прямій
;
Перпендикулярна до прямої
?
Записати рівняння дотичної і нормалі до кривої
в
точці (2;8).
Записати рівняння дотичної і нормалі дот кривої
в точці (1;4).
записати рівняння до нормалі до параболи
, перпендикулярної до прямої, що з’єднує точку (0;0) з вершиною параболи.
записати рівняння нормалі в точці (1;0) до кривої
знайти точку на кривій
, дотична до якої паралельна прямій
Знайти точку на кривій
, дотична в якій перпендикулярна до прямої
.
Висячий міст має форму дуги параболи
. Проліт мосту AB=80 м, стріла прольоту 5 м. Визначити кут провисання у точці А.
А
В
-----------------------------------------
Х
Шлях S (в метрах) пройдений тілом за час t (в сек.) після початку руху, визначається за формулою
. Обчислити швидкість і прискорення тіла в момент часу
?
Сторони b і c прямокутника змінюються за законом
,
. З якою швидкістю змінюються його площа і параметр в момент ?
Швидкість тіла, яке рухається прямолінійно, визначається за формулою
. Яке прискорення має тіло через 3 с. після початку руху?
Махове колесо за секунд повертається на кут
. Визначити кутову швидкість
і прискорення W обертання. Через скільки секунд колесо зупиниться?
Тіло маса якого 200 кг, рухається прямолінійно за законом
(в метрах). Визначити кінетичну енергію
тіла через 4 с після початку руху.
Турист віддаляється від підніжжя скелі, висота якої 80 м, з швидкістю 6 км/год. Яка швидкість віддалення туриста віл вершини скелі в той момент, коли він знаходиться на відстані 60 м від її підніжжя?
По вісі ОХ рухаються матеріальні точки, закони руху яких
та
. З якою швидкістю ці точки віддаляються одна від другої в момент зустрічі?
Матеріальна точка рухається по гіперболі
так, що її абсциса Х рівномірно зростає зі швидкістю 1 м/с. з якою швидкістю змінюється ордината точки, коли вона проходить положення (6;2).