7. Интегральная теорема Коши для односвязной области.

Т: Если функция аналитична в односвязной замкнутой облости с границей , то (2)

Односвязная область- область, новые две точки которой можно соединить непрерывной линией, не выходя за эту область. Иначе, область многосвязна,

Док-во (Т):

(поскольку функция аналитическая и к ней применимо правило Коши- Римана).

8. Интегральная теорема Коши для многосвязной области.

Т: - аналитическая функция в многосвязной области с внешней границей и -границы замкнутых контуров внутри области , тогда

Док - во:

Приведем в случае трехсвязной области.

Сделаем 2 разреза. Путем их сводим нашу область к односвязной.

Для односвязной области справедлива интегральная теорема Коши

Если функция аналитическая, то интеграл от нее не зависит от пути интегрирования.

Если такова, что интеграл от нее не зависит от пути интегрирования, то явл. Аналитической и (теорема Мереры)

первообразная для функции

Если , то

; .

9. Интегральная формула Коши.

Инт. Формула Коши связывает значение аналитической ункции внутри области с граничными точками .

Пусть область -односвязная с границей , -аналитическая функция. Если -внутренняя точка бласти

(инт. Формула Коши для односвязной области) (5)

Док-во: Пусть есть внутренняя точка области , тогда функция аналогична в области всюду, кроме точки .

Проведем круг с радиусом с центром в

По теореме Коши для многосвязной области

-функция непрерывная, потому, взяв

-произвольно малое число, то

.

10. Ряды Тейлора и Лорана.

Ряд Лорана по степеням - это формула вида

Правильная часть ряда Лорана сходится в круге

Главная часть ряда Лорана сходится в круге , где - внешность круга.

. Если выполняется это условие, то ряд Лорана сходится в кольце .

Теорема Тейлора. Пусть функция является аналитической в точке . Следовательно, , где - ряд Тейлора по степеням . Полученное разложение функции однозначно.

Доказательство.

Теорема Лорана. Пусть функция является аналитической в кольце . Тогда , где - ряд Тейлора по степеням . Полученное разложение функции однозначно.

11. Нули аналитических ф-ций.

Число а наз. нулем ф-ции f(z), если f(a)=0. Пусть ф-ция f(z) аналитична в некоторой окрестности точки а, тогда для нее имеет место разложение .

Если z=a ­ ноль ф-ции f(z), то из разложения видно f(а)=C₀=0. Будем говорить, что точка z=a явл. Нулем порядка k ф-ции f(z), если коэффициенты С₀, С₁, … ,С_к-1 равны 0, а С_к отличен от нуля. Тогда f(z)=С_к(z-a)^k +… + C_n(z-a)ⁿ +… . При к=1 ноль первого порядка наз. простым нулем. Точка z=0 явл. Нулем второго порядка. Для того, чтобы точка z=a была нулем порядка к ф-ции f(z) необходимо и достаточно выполнение соотношения f(а)=0, а f^(к)(а)0. Нули ф-ции f(z)=0 наз. изолированными, если их можно окружить непересекающимися окрестностями. Для аналитической ф-ции нули явл. изолированными.

Полюсы.

Предположим, что f(z) аналитична в окрестности z=a, кроме самой точки а, в этом случае точка z=a явл. Изолированной особой точкой ф-ции. В окрестности этой точки f(z) разлагается в ряд Лорана.

Пусть все С_-n равны нулю, тогда. Если перейти к пределу, , но в самой точке ф-ция неопределена. В этом случае точку а наз. устранимой особой точкой ф-ции f(z).

Пусть в главной части ряда Лорана имеется конечное число (к) слагаемых, тогда точка z=a наз. полюсом к-ого порядка. . При z=a С_-к0. правую часть обозначим (z). Функция (z) явл. Аналитической ф-цией всюду, кроме точки z=a. , где (z)0

. Если для ф-ции f(z) z=a ­ полюс к-ого порядка, то для ф-ции , (а)0, есть ноль к-ого порядка. Справедливо и обратное: если для ф-ции z=a ­ полюс к-ого порядка, (а)0.

Полюсы также явл. Изолированными особыми точками.

Если в разложении (1) главная часть содержит бесконечное число слагаемых, т точка z=a наз. существенно особой точкой.