35)Теорема Гаусса в электростатике и её применение для расчета полей, поле заряженной сферы и заряженного шара

Пусть сферическая поверхность радиуса R (рис. 13.7) несет на себе равномерно распределенный заряд q, т.е. поверхностная плотность   заряда в любой точке сферы будет одинакова.

а )Заключим нашу сферическую поверхность в симметричную поверхность S с радиусом r>R. Поток вектора напряженности через поверхность S будет равен

По теореме Гаусса

Следовательно

Сравнивая это соотношение с формулой для напряженности поля точечного заряда, можно прийти к выводу, что напряженность поля вне заряженной сферы такова, как если бы весь заряд сферы был сосредоточен в ее центре.

Б)Для точек, находящихся на поверхности заряженной сферы радиуса R, по аналогии с вышеприведенным уравнением, можно написать

В )Проведем через точку В, находящуюся внутри заряженной сферической поверхности, сферу S радиусом г<R. Внутри сферы S зарядов нет, т.к. все они расположены на внешней сферической поверхности, т.е.   Следовательно, по теореме Гаусса,   и напряженность электростатического поля внутри полой равномерно заряженной сферы будет равна нулю. Зависимость напряженности поля заряженной сферы от расстояния r приведена на рис. 13.8.

2. Электростатическое поле шара.

Пусть имеем шар радиуса R, равномерно заряженный с объемной плотностью . 

В любой точке А, лежащей вне шара на расстоянии r от его центра (r>R), его поле аналогично полю точечного заряда   , расположенного в центре шара. Тогда вне шара

а на его поверхности (r=R)

В точке В, лежащей внутри шара на расстояний r от его центра (r>R), поле определяется лишь зарядом  , заключенным внутри сферы радиусом r. Поток вектора напряженности через эту сферу равен с другой стороны, в соответствии с теоремой Гаусса Из сопоставления последних выражений следует

где - диэлектрическая проницаемость внутри шара. Зависимость напряженности поля, создаваемого заряженной сферой, от расстояния до центра шара приведена на (рис.13.10)

36)Работа по перемещению заряда в электрическом поле. Потенциал электрического поля. Разность потенциалов. Потенциал поля точечного заряда (шара).

При перемещении пробного заряда q в электрическом поле электрические силы совершают работу. Эта работа при малом перемещении равна

Работа электрических сил при малом перемещении заряда q

Рассмотрим работу сил в электрическом поле, создаваемом неизменным во времени распределенным зарядом, т.е. электростатическом поле

Электростатическое поле обладает важным свойством:

Работа сил электростатического поля при перемещении заряда из одной точки поля в другую не зависит от формы траектории, а определяется только положением начальной и конечной точек и величиной заряда.

Аналогичным свойством обладает и гравитационное поле, и в этом нет ничего удивительного, так как гравитационные и кулоновские силы описываются одинаковыми соотношениями.

Следствием независимости работы от формы траектории является следующее утверждение:

Работа сил электростатического поля при перемещении заряда по любой замкнутой траектории равна нулю.

Силовые поля, обладающие этим свойством, называют потенциальными или консервативными.

Потенциальная энергия заряда q, помещенного в любую точку (1) пространства, относительно фиксированной точки (0) равна работе A₁₀, которую совершит электростатическое поле при перемещении заряда q из точки (1) в точку (0):

Wp1 = A10.

(В электростатике энергию принято обозначать буквой W, так как буквой E обозначают напряженность поля.)

Работа, совершаемая электростатическое полем при перемещении точечного заряда q из точки (1) в точку (2), равна разности значений потенциальной энергии в этих точках и не зависит от пути перемещения заряда и от выбора точки (0).

A12 = A10 + A02 = A10 – A20 = Wp1 – Wp2.

Потенциальная энергия заряда q, помещенного в электростатическое поле, пропорциональна величине этого заряда.

Работа A₁₂ по перемещению электрического заряда q из начальной точки (1) в конечную точку (2) равна произведению заряда на разность потенциалов (φ₁ – φ₂) начальной и конечной точек:

A12 = Wp1 – Wp2 = qφ1 – qφ2 = q(φ1 – φ2).

Потенциал поля - это энергетическая характеристика поля, характеризует потенциальную энергию, которой обладал бы положительный единичный заряд, помещенный в данную точку поля. Единица электрического потенциала - вольт (В). Потенциал поля равен отношению потенциальной энергии заряда к этому заряду:

Потенциал поля является энергетической характеристикой электрического поля и как скалярная величина может принимать положительные или отрицательные значения.

Потенциал численно равен работе, которую совершают силы электростатического поля, перемещая заряд из данной точки поля в бесконечность.

1Вольт – потенциал такой точки, в которой заряд в один Кулон обладает энергией 1 Дж.

Потенциал электрического поля точечного заряда Q в точке:

Во многих задачах электростатики при вычислении потенциалов за опорную точку (0) удобно принять бесконечно удаленную точку. В этом случае понятие потенциала может быть определено следующим образом:

Потенциал поля в данной точке пространства равен работе, которую совершают электрические силы при удалении единичного положительного заряда из данной точки в бесконечность.

Потенциал φ_∞ поля точечного заряда Q на расстоянии r от него относительно бесконечно удаленной точки вычисляется следующим образом:

Разность потенциалов: