12)Двухатомная молекула, как линейный гармонический осциллятор.
13)Затухающие колебания. Уравнение затухающих колебаний в дифференциальной форме. Зависимость смещения и амплитуды затухающих колебаний от времени. Коэффициент затухания. Логарифмический декремент колебаний. (Савельев И.В. Т.1 § 58).
ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ - колебания с постоянно убывающей со временем амплитудой.
Свободные колебания реальных систем всегда затухают. Затухание обусловлено в основном трением (механические системы) и сопротивлением ( в электромагнитных колебательных контурах).
Колебательная система называется линейной, если её свойства не меняются при колебаниях, то есть такие параметры, как сила тяжести, упругость пружины, сопротивление, емкость, индуктивность не зависят ни от смещения, ни от скорости, ни от ускорения колеблющейся величины. В дальнейшем мы будем рассматривать только линейные системы.
Уравнения затухающих колебаний
Получим дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний на примере реального пружинного маятника, совершающего колебания в среде с сопротивлением (простейший случай - трение о воздух). Пусть масса маятника m, коэффициент упругости пружины k, сила сопротивления, действующая на маятник, F = - bv, v - скорость маятника, b - коэффициент сопротивления среды, в которой находится маятник. Так как мы рассматриваем только линейные системы, b = const, k = const. x - смещение маятника от положения равновесия.
Второй закон Ньютона в нашем случае запишется так:
Это уравнение и есть дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний пружинного маятника. Его, однако, принято записывать в следующем, так называемомканоническом виде:
-
коэффициент затухания, 
-
собственная частота свободных
(незатухающих) колебаний пружинного
маятника, то, что раньше мы обозначали
просто .
Уравнение затухающих колебаний в таком (каноническом) виде описывает затухающие колебания всех линейных систем; конкретная колебательная система отличается только выражениями для и .
Частота затухающих колебаний
.
Период затухающих колебаний
.
График затухающих колебаний
Логарифмический декремент колебаний.
Колебания, энергия которых уменьшается с течением времени за счет действия сил сопротивления, называются затухающими.
Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты изменения внешней силы, действующей на систему, с частотой свободных колебаний называется резонансом.
Условие резонанса: w0 = wвын = wрез, х - увеличивается.
Явление резонанса учитывается при периодически изменяющихся нагрузках в машинах и различного вида сооружениях. Используется в акустике, радиотехнике и т.д.
График
этой функции показан на рис. 7.8. Пунктирными
линиями показаны пределы, в которых
находится смещение колеблющейся точки.
Величину
называют
собственной циклической частотой
колебаний диссипативной системы.
Затухающие колебания представляют
собой непериодические колебания, т.к,
в них никогда не повторяются, например,
максимальные значения смещения, скорости
и ускорения. Величину
обычно
называют периодом затухающих колебаний,
правильнее - условным периодом затухающих
колебаний,
Натуральный логарифм отношения амплитуд смещений, следующих друг за другом через промежуток времени, равный периоду Т, называют логарифмическим декрементом затухания.
Обозначим через τ промежуток времени, за который амплитуда колебаний уменьшается в е раз. Тогда
откуда
Следовательно, коэффициент затухания есть физическая величина, обратная промежутку времени τ, в течение которого амплитуда убывает в е раз. Величина τ называется временем релаксации.
Пусть N - число колебаний, после которых амплитуда уменьшается в е раз, Тогда
Следовательно, логарифмический декремент затухания δ есть физическая величина, обратная числу колебаний N, по истечению которого амплитуда убывает в е раз