21.2. Уравнения Лагранжа второго рода

Уравнения Лагранжа второго рода – это дифференциальные уравнения движения механической системы в обобщенных координатах.

Для получения уравнений движения воспользуемся общим уравнением динамики:   .

Для системы со стационарными связями виртуальное перемещение  -й точки  выражается, как было показано раньше, через обобщенные координаты соотношением   . 

Подстановка его в общее уравнение динамики дает:

.

 

Перегруппируем слагаемые, меняя порядок суммирования,

 

.

 

Так как связи голономные, то вариации обобщенных координат   независимы. Следовательно, коэффициенты при вариациях обобщенных координат равны нулю.

То есть  .  (21.1)  Так как    ,  то с учетом тождеств  Лагранжа имеем:   . (21.2)

 

 

Подставляя  соотношение (21.2) в равенство (21.1), внося   под знаки производных и меняя порядок суммирования и дифференцирования, получаем 

    или