§ 1.2. Способы задания движения точки

Задать движение точки означает задать ее положение в каждый момент времени. Положение это должно определяться, как уже отме­чалось, в какой-либо системе координат. Однако для этого не обяза­тельно всегда задавать сами координаты; можно использовать величи­ны, так или иначе с ними связанные. Ниже описаны три основных способа задания движения точки.

Рис. 1

1. Естественный способ. Этим способом пользуются, если из­вестна траектория движения точки. Траекторией называется совокуп­ность точек пространства, через которые проходит движущаяся мате­риальная частица. Это линия, которую она вычерчивает в пространстве. При есте­ст­венном способе необходимо задать (рис. 1):

а) траекторию движения (отно­си­тель­но какой-либо системы коор­динат);

б) произвольную точку на ней нуль, от которого отсчитывают расстояние S до движущейся частицы вдоль траектории;

в) положительное направление от­счета S (при смещении точки М в противоположном направлении S  отрицательно);

г) начало отсчета времени t;

д) функцию S(t), которая называется законом движения*) точки.

2. Координатный способ. Это наиболее универсальный и ис­черпывающий способ описания движения. Он предполагает задание:

а) системы координат (не обязательно декартовой) q1, q2, q3;

б) начало отсчета времени t;

в) закона движения точки, т.е. функций q1(t), q2(t), q3(t).

 Говоря о координатах точки, мы всегда будем иметь в виду (если не оговорено противное) ее декартовы координаты.

3. Векторный способ. Положение точки в пространстве может быть определено также и радиус-вектором, проведенным из некоторо­го начала в данную точку (рис. 2). В этом случае для описания дви­жения необходимо задать:

а) начало отсчета радиус-вектора r;

б) начало отсчета времени t;

в) закон движения точки r(t).

Поскольку задание одной векторной величины r эквивалентно заданию трех ее проекций x, y, z на оси координат, от век­торного способа легко перейти к коорди­натному. Если ввести единичные векторы i, j, k ( i = j = k = 1), направленные соответственно вдоль осей x, y и z (рис. 2), то, очевидно, закон движения может быть представлен в виде*)

r(t) = x(t)i +y(t)j+z(t)k.                                                                     (1)

Преимущество векторной формы записи перед координатной в компактности (вместо трех величин оперируют с одной) и часто в большей наглядности

5. Основными кинематическими величинами, которые характеризуют движение точки, являются скорость и ускорение. Если материальная точка за определенный промежуток времени осуществила перемещение, то физическую величину, которая определяется отношением перемещения к промежутку времени, за который состоялось перемещение, будем называться средней скоростью.

Поскольку вектор перемещения не полностью отображает характер движения, введем понятие мгновенной скорости - физическая величина, которая определяется границею, к которой приближается средняя скорость, за условия, когда промежуток времени. Следовательно, мгновенная скорость - векторная величина, которая равняется первой производной от вектора перемещения по времени и направлена по касательной к траектории в сторону движения.

При прямолинейном руссе вектор скорости направлен вдоль траектории. Мгновенная скорость - это скорость точки в данный момент времени или в данной точке траектории. Она определяет изменение координат со временем. Вектор скорости, как и любой вектор, можно выразить через его проекции на координатные оси.

Если материальная точка принимает участие сразу в нескольких движениях с разными мгновенными скоростями, то полная скорость точки будет равняться векторной сумме отдельных скоростей. Это так называемое правило добавления скоростей, которое ввел еще Галилей, оно является следствием принципа независимости движений. Если траектория движения материальной точки и уравнения ее движения известны, то значение мгновенной скорости определяется первой производной от пути (скалярная величина) по времени. Движение, при котором величина и направление вектора скорости со временем не изменяется, называют равномерным и прямолинейным. Скорость в СИ измеряют такими единицами.

Но на практике пользуются км/ч, по морскому делу - узлами (1 узел = 1 морской миле/год = 1,853 км/ч), в реактивной авиации - махом (1 М = 1200 км/ч). Существуют специальные приборы, с помощью которых непосредственно измеряют скорость движения тел. Например, скорость движения автомобиля измеряют спидометром. Обратите внимание на то, что введенное понятие средней скорости - это не среднее арифметическое, а среднее по времени. Если за промежуток времени скорость движения была, а за интервал она равнялась.

Если бы мы пользовались соответственно величинами и, то достали бы скорость, усредненную за расстоянием. Таким понятием пользуются в гидродинамике. Следовательно, средняя скорость - это, скорость усреднена по времени. При движении материальной точки ее скорость в общем случае может изменяться как по величине, так и за направлением. Изменение скорости по времени характеризуют физической величиной, которую называют ускорением.

Поскольку среднее ускорение не полностью отображает характер движения материальной точки, то вводят еще понятия мгновенного ускорения, то есть ускорение в данный момент времени или ускорения в данной точке траектории. Мгновенное значение ускорения определяется границею, к которой направляется величина. Если материальная точка двигается с постоянным ускорением, то такое движение называют равнопеременным.Ускорение - векторная величина. Вектор направлен в ту сторону, куда направленный вектор изменения скорости. Ускорение измеряют единицами.

При криволинейном руссе вектор ускорения всегда направлен в сторону вогнутости траектории, поскольку направление определяется направлением вектора. Вектор можно разложить на две взаимно перпендикулярных составляющей:

- вдоль вектора - будем называть тангенциальной;

- вдоль нормали к вектору - будем называть нормальной.

Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по величине и направлено по касательной в данной точке траектории. Нормальное, или центростремительное ускорение характеризует изменение скорости за направлением и направлено вдоль мгновенного радиуса кривизны к центру.

Тангенциальное и нормальное ускорения могут быть признаками разных движений:

- равнопеременное движение;

- равномерное криволинейное движение;

- равномерное движение по кругу и так далее

При руссе в одну и ту же сторону по прямолинейной траектории скорости изменяется лишь за модулем. Соответственно ускорение должно определяться значением - производной модуля скорости по времени. При равномерном руссе по криволинейной траектории = 0, следовательно, скорость изменяется только за направлением. Следовательно, и направление скорости будет изменяться тем быстрее, чем большая кривизна траектории и чем быстрее двигается частица (чем больше).

Величина, характеризующая в каждый данный момент времени направление и быстроту движения точки, называетсяскоростью (v на рис. 192). Вектор скорости всегда направлен вдоль касательной в ту сторону, куда движется точка. Числовое значение скорости в любой момент времени выражается производной от расстояния по времени:  v = ds/dt или v = f'(t).

Ускорение a точки в каждый данный момент времени характеризует быстроту изменения скорости. При этом нужно отчетливо понимать, что скорость – вектор, и, следовательно, изменение скорости может происходить по двум признакам: по числовой величине (по модулю) и по направлению.

Быстрота изменения модуля скорости характеризуется касательным (тангенсальным) ускорением a_t – составляющей полного ускорения a, направленной по касательной к траектории (см. рис. 192).

Числовое значение касательного ускорения в общем случае определяется по формуле  a_t = dv/dt или a_t = f''(t).

Быстрота изменения направления скорости характеризуется центростремительным (нормальным) ускорением a_n – составляющей полного ускорения a, направленного по нормали к траектории в сторону центра кривизны (см. рис. 192).

Числовое значение нормального ускорения определяется в общем случае по формуле  a_n = v²/R,  где v – модуль скорости точки в данный момент;  R – радиус кривизны траектории в месте, где находится точка в данный момент.

После того как определены касательное и нормальное ускорения, легко определить и ускорение a (полное ускорение точки).

Движение точки можно классифицировать так:  а) равномерное прямолинейное (a_t = 0 и a_n = 0);  б) равномерное криволинейное (a_t = 0 и a_n ≠ 0);  в) неравномерное прямолинейное (a_t ≠ 0 и a_n = 0);  г) неравномерное криволинейное (a_t ≠ 0 и a_n ≠ 0).

В зависимости от формы траектории механические движения подразделяются на два вида (§ 2): прямолинейное ( _n = 0) и криволинейное ( _n   0). В зависимости от характера изменения скорости механические движения подразделяются также на два вида: равномерное (| | = const,  _t = 0) и неравномерное (| |   const и | |   const) – § 3.

Частный случай неравномерного (переменного) движения – равнопеременное движение (| |   const, но | | = const и | _t| = const). Рассмотрим направления векторов полного ускорения (§ 5), тангенциального ускорения и скорости в этих видах движения.

1. Прямолинейное движение ( _n = 0)

а) Равномерное прямолинейное движение (модуль скорости и направление скорости не изменяются – § 3). Полное ускорение равно (12):

;   = const.

б) Равномерное прямолинейное движение (модуль скорости изменяется на равную величину за любые равные интервалы времени: | | = const, направление скорости не изменяется – § 4). Полное ускорение равно (12):

;   = const.

– Если направления векторов тангенциального ускорения и скорости совпадают: ­ (модуль скорости увеличивается: v > v₀ и | | = const – рис. 17) – это равноускоренное движение

 Если направления векторов тангенциального ускорения и вектора скорости   противоположны:  _t  ­ (модуль скорости уменьшается: v > v₀ и | | = const) – это равнозамедленное движение (рис. 17б).