44. Дифференциальная форма

Дифференциальная форма общего уравнения непрерывности такова:

где

• ∇• - дивергенция,

• t - время,

• σ добавление q на единицу объёма в единицу времени. Члены которые добавляют (σ > 0) или удаляют (σ < 0) q называются "источниками" и "стоками" соответственно.

Это общее уравнение может быть использовано для вывода любого уравнения непрерывности, начиная с простого уравнения неразрывности и до уравнения Навье-Стокса.

Если q сохраняющаяся величина, которая не может быть создана или уничтожена (например энергия), тогда σ = 0, и уравнение непрерывности принимает вид:

Уравнение неразрывности

При стационарном течении количество жидкости, втекающей в единицу времени в трубку тока через сечение  , равно количеству жидкости, вытекающей через сечение   (рис. 6.1). Если поперечное сечение трубки тока бесконечно мало, то можно считать, что скорость жидкости одинакова во всех точках одного и того же поперечного сечения. Масса жидкости, протекающая за время   через поперечное сечение трубки, определяется выражением:

,

где   – плотность жидкости, а S – площадь поперечного сечения трубки. В случае стационарного течения масса   будет одной и той же для всех сечений трубки тока. Если взять два сечения, площади которых равны   и  , то можно написать:

.

Если бы это равенство не соблюдалось, то масса жидкости между сечениями   и   изменялась бы во времени. А это противоречит закону сохранения массы и предположению о стационарности течения. Если жидкость несжимаема, то  , и последнее соотношение принимает вид:

.

(6.1)

Это соотношение называется уравнением неразрывности. Его физический смысл заключается в том, что жидкость нигде не накапливается, то есть за одинаковый временной интервал в трубку тока втекает и вытекает равное количество жидкости. Скорость жидкости в одной и той же трубке тока больше там, где меньше площадь поперечного сечения трубки.

45. Закон Бернулли

[править]

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Закон Бернулли является следствием закона сохранения энергии для стационарного потока идеальной (то есть без внутреннего трения) несжимаемой жидкости:

Здесь

 — плотность жидкости,

 — скорость потока,

 — высота, на которой находится рассматриваемый элемент жидкости,

 — давление в точке пространства, где расположен центр массы рассматриваемого элемента жидкости,

 — ускорение свободного падения.

В научной литературе закон Бернулли, как правило, называется уравнением Бернулли^[1](не следует путать с дифференциальным уравнением Бернулли), теоремой Бернулли^[2][3] илиинтегралом Бернулли^[4][5].

Константа в правой части часто называется полным давлением и зависит, в общем случае, от линии тока.

Размерность всех слагаемых — единица энергии, приходящаяся на единицу объёма жидкости. Первое и второе слагаемое в интеграле Бернулли имеют смысл кинетической ипотенциальной энергии, приходящейся на единицу объёма жидкости. Следует обратить внимание на то, что третье слагаемое по своему происхождению является работой сил давления (см. приводимый в приложении вывод уравнения Бернулли) и не представляет собой запаса какого-либо специального вида энергии («энергии давления»^[6]).

Соотношение, близкое^[7] к приведенному выше, было получено в 1738 г. Даниилом Бернулли, с именем которого обычно связывают интеграл Бернулли. В современном виде интеграл был получен Иоганном Бернулли около 1740 года.

Для горизонтальной трубы   и уравнение Бернулли принимает вид:    .

Эта форма уравнения Бернулли может быть получена путём интегрирования уравнения Эйлера для стационарного одномерного потока жидкости, при постоянной плотности  :    .

Согласно закону Бернулли, полное давление в установившемся потоке жидкости остается постоянным вдоль этого потока.

Полное давление состоит из весового  , статического   и динамического   давлений.

Из закона Бернулли следует, что при уменьшении сечения потока, из-за возрастания скорости, то есть динамического давления, статическое давление падает. Это является основной причиной эффекта Магнуса. Закон Бернулли справедлив и для ламинарных потоков газа. Явление понижения давления при увеличении скорости потока лежит в основе работы различного рода расходомеров (например труба Вентури), водо- и пароструйных насосов. А последовательное применение закона Бернулли привело к появлению технической гидромеханической дисциплины — гидравлики.

Закон Бернулли справедлив в чистом виде только для жидкостей, вязкость которых равна нулю. Для описания течений реальных жидкостей в технической гидромеханике (гидравлике) используют интеграл Бернулли с добавлением слагаемых, учитывающих потери на местных и распределенных сопротивлениях.