[Править]Определение

Преобразование Лоренца (лоренцево преобразование) псевдоевклидова векторного пространства   — это линейное преобразование  , сохраняющее индефинитноескалярное произведение векторов. Это означает, что для любых двух векторов   выполняется равенство

где треугольными скобками обозначено индефинитное скалярное произведение   в псевдоевклидовом пространстве  .

Аналогично, преобразование Лоренца (лоренцево преобразование) псевдоевклидова аффинного пространства — это аффинное преобразование, сохраняющее расстояние между точками этого пространства (это расстояние определяется как длина вектора, соединяющего данные точки, с помощью индефинитного скалярного произведения).

[Править]Общие свойства

• Так как любое аффинное преобразование является композицией параллельного переноса (очевидным образом, сохраняющего расстояние между точками) и преобразования, имеющего неподвижную точку, то группа преобразований Лоренца аффинного пространства (группа Пуанкаре) получается из группы преобразований Лоренца векторного пространства (группа Лоренца) такой же размерности путём добавления к ней всевозможных параллельных переносов.

• Если в псевдоевклидовом векторном пространстве   выбран некоторый базис  , то для индефинитного скалярного произведения   определена матрица Грама  . Тогда матрица   преобразования Лоренца удовлетворяет соотношению

где звёздочка означает транспонирование матрицы. И обратно, любая матрица  , удовлетворяющая соотношению  , является матрицей преобразования Лоренца. Всегда можно выбрать базис   таким образом, что индефинитное скалярное произведение имеет вид

и в равенстве   матрица   ― диагональная с элементами   (первые  ) и   (последние  ).

• Из соотношения   следует, что, как и в случае ортогонального преобразования, определитель   или  .

• Если подпространство   инвариантно относительно лоренцева преобразования  , то и его ортогональное (в смысле данного индефинитного скалярного произведения) дополнение   тоже инвариантно относительно преобразования  , причем  . Однако, в отличие от ортогональных преобразований евклидовых пространств, равенство  , где символ   означает прямую сумму подпространств, вообще говоря, не имеет места (оба подпространства   и   могут содержать одни и те же ненулевые изотропные векторы, то есть  , так как любой изотропный вектор ортогонален сам себе).^[1]

41. Относительность одновременности

Если два разнесённых в пространстве события (например, вспышки света) происходят одновременно в движущейся системе отсчёта  , то они будут неодновременны относительно «неподвижной» системы  . При   из преобразований Лоренца следует

Если  , то и  . Это означает, что, с точки зрения неподвижного наблюдателя, левое событие происходит раньше правого  . Относительность одновременности приводит к невозможности синхронизации часов в различных инерциальных системах отсчёта во всём пространстве.

С точки зрения системы S

С точки зрения системы S'

Пусть в двух системах отсчёта вдоль оси x расположены синхронизированные в каждой системе часы, и в момент совпадения «центральных» часов (на рисунке ниже) они показывают одинаковое время.

Левый рисунок показывает, как эта ситуация выглядит с точки зрения наблюдателя в системе S. Часы в движущейся системе отсчёта показывают различное время. Находящиеся по ходу движения часы отстают, а находящиеся против хода движения опережают «центральные» часы. Аналогична ситуация для наблюдателей в S' (правый рисунок).