Движение с постоянной скоростью

Количественное описание замедления времени может быть получено из преобразований Лоренца:

где   — время, проходящее между двумя событиями движущегося объекта с точки зрения неподвижного наблюдателя,   — время, проходящее между двумя событиями движущегося объекта с точки зрения наблюдателя, связанного с движущимся объектом,   — относительная скорость движения объекта,   — скорость света в вакууме. Точность формулы неоднократно проверена на элементарных частицах и атомах^[4], так что относительная ошибка составляет менее 0,1 ppm^[4].

Аналогичное обоснование имеет эффект лоренцева сокращения длины.

Лоренцево сокращение, Фицджеральдово сокращение, также называемое релятивистским сокращение длины движущегося тела или масштаба — предсказываемыйрелятивистской кинематикой эффект, заключающийся в том, что с точки зрения наблюдателя движущиеся относительно него предметы имеют меньшую длину (линейные размеры в направлении движения), чем их собственная длина. Множитель, выражающий кажущееся сжатие размеров, тем сильнее отличается от 1, чем больше скорость движения предмета.

Эффект значим, только если скорость предмета по отношению к наблюдателю сравнима со скоростью света.

Строгое определение

Пусть стержень длины l движется (вдоль своей длины) со скоростью v относительно некой системы отсчёта. В таком случае в фиксированный момент времени расстояние между концами стержня составит

 , где c — скорость света.

Величина, обратная ко множителю с корнем называется также Лоренц-фактором. С её использованием эффект можно сформулировать и так: время пролёта стержня мимо фиксированной точки пространства составит

 .

При этом, все размеры поперёк движения не меняются.

[Править]Объяснение

Сокращение длин возникает из-за свойств псевдоевклидовой геометрии пространства Минковского, аналогичных удлинению сечения, например, цилиндра, когда оно проводится не строго поперёк оси, а косо. См. преобразования Лоренца.

Говоря иначе, «одинаковый момент времени» с точки зрения рассматриваемой системы отсчёта не будет являться одинаковым с точки зрения стержня. То есть расстояния, замеренные в одной системе отсчёта, с точки зрения другой системы являются не чистыми расстояниями, а пространственно-временны́ми интервалами.

40. Преобразова́ния Ло́ренца — линейные (или аффинные) преобразования векторного (соответственно, аффинного) псевдоевклидова пространства, сохраняющее длины или, что эквивалентно, скалярное произведение векторов.

Преобразования Лоренца псевдоевклидова пространства сигнатуры   находят широкое применение в физике, в частности, в специальной теории относительности (СТО), где в качестве аффинного псевдоевклидова пространства выступает четырёхмерный пространственно-временной континуум (пространство Минковского).

Преобразования Лоренца в математике

Преобразование Лоренца представляет собой естественное обобщение понятия ортогонального преобразования (то есть преобразования, сохраняющего скалярное произведение векторов) с евклидовых на псевдоевклидовы пространства. Различие между ними состоит в том, что скалярное произведение предполагается не положительно определённым, а знакопеременным и невырожденным (так называемое индефинитное скалярное произведение).