Уравнение стоячей волны
Напишем уравнения двух плоских волн, распространяющихся вдоль оси х в противоположных направлениях:
Сложив вместе эти уравнения и преобразовав результат по формуле для суммы косинусов, получим уравнение стоячей волны:
Преобразовав это уравнение, получим упрощенное уравнение стоячей волны:
Эффе́кт До́плера — изменение частоты и длины волн, регистрируемых приёмником, вызванное движением их источника и/или движением приёмника.
Сущность явления
Эффект Доплера легко наблюдать на практике, когда мимо наблюдателя проезжает машина с включённой сиреной. Предположим, сирена выдаёт какой-то определённый тон, и он не меняется. Когда машина не движется относительно наблюдателя, тогда он слышит именно тот тон, который издаёт сирена. Но если машина будет приближаться к наблюдателю, то частота звуковых волн увеличится (а длина уменьшится), и наблюдатель услышит более высокий тон, чем на самом деле издаёт сирена. В тот момент, когда машина будет проезжать мимо наблюдателя, он услышит тот самый тон, который на самом деле издаёт сирена. А когда машина проедет дальше и будет уже отдаляться, а не приближаться, то наблюдатель услышит более низкий тон, вследствие меньшей частоты (и, соответственно, большей длины) звуковых волн.
Для волн (например, звука), распространяющихся в какой-либо среде, нужно принимать во внимание движение как источника, так и приёмника волн относительно этой среды. Для электромагнитных волн (например, света), для распространения которых не нужна никакая среда, в вакууме имеет значение только относительное движение источника и приёмника[1].
Эффект был впервые описан Кристианом Доплером в 1842 году.
Также важен случай, когда в среде движется заряженная частица с релятивистской скоростью. В этом случае в лабораторной системе регистрируется черенковское излучение, имеющее непосредственное отношение к эффекту Доплера.
[Править]Математическое описание
Если источник волн движется относительно среды, то расстояние между гребнями волн (длина волны) зависит от скорости и направления движения. Если источник движется по направлению к приёмнику, то есть догоняет испускаемую им волну, то длина волны уменьшается, если удаляется — длина волны увеличивается:
|
|
,
где 
—
частота, с которой источник испускает
волны, 
—
скорость распространения волн в
среде, 
—
скорость источника волн относительно
среды (положительная, если источник
приближается к приёмнику и отрицательная,
если удаляется).
Частота, регистрируемая неподвижным приёмником
|
(1) |
.Аналогично, если приёмник движется навстречу волнам, он регистрирует их гребни чаще и наоборот. Для неподвижного источника и движущегося приёмника
|
(2) |
,
где 
—
скорость приёмника относительно среды
(положительная, если он движется по
направлению к источнику).
Подставив вместо в формуле (2) значение частоты из формулы (1), получим формулу для общего случая:
|
(3) |
.[Править]Релятивистский эффект Доплера
В случае распространения электромагнитных волн (или других безмассовых частиц) в вакууме, формулу для частоты выводят из уравнений специальной теории относительности. Так как для распространения электромагнитных волн не требуется материальная среда, можно рассматривать только относительную скорость источника и наблюдателя[2][3].
|
|
где
— скорость
света,
—
скорость источника относительно
приёмника (наблюдателя), 
—
угол между направлением на источник и
вектором скорости в системе отсчёта
приёмника. Если источник радиально
удаляется от наблюдателя, то 
,
если приближается — 
[4].
Релятивистский эффект Доплера обусловлен двумя причинами:
классический аналог изменения частоты при относительном движении источника и приёмника;
релятивистское замедление времени.
Последний
фактор приводит к поперечному эффекту
Доплера, когда угол между волновым
вектором и скоростью источника равен 
.
В этом случае изменение частоты является
чисто релятивистским эффектом, не
имеющим классического аналога.
38.
Принцип относительности Эйнштейна |
В 1905 г. в журнале «Анналы физики» вышла знаменитая статья А. Эйнштейна «К электродинамике движущихся тел», в которой была изложена специальная теория относительности (СТО). Затем было много статей и книг, поясняющих, разъясняющих, интерпретирующих эту теорию. Принцип относительности Эйнштейна представляет собой фундаментальный физический закон, согласно которому любой процесс протекает одинаково в изолированной материальной системе, находящейся в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения. Иначе говоря, законы физики имеют одинаковую форму во всех инерциальных системах отсчета. В основе СТО лежат два постулата, выдвинутых Эйнштейном.
В первом постулате главное то, что время тоже относительно – такой же параметр, как и скорость, импульс и др. Второй – возводит отрицательный результат опыта Майкельсона–Морли в ранг закона природы: c = const. Специальная теория относительности представляет физическую теорию, изучающую пространственно-временные закономерности, справедливые для любых физических процессов, когда можно пренебречь действием тяготения. СТО, опираясь на более совершенные данные, раскрывает новый взгляд на свойства пространства и времени. Эти свойства необходимо учитывать при скоростях движения, близких к скорости света. |
Принцип инвариантности скорости света следует из принципа относительности[1] (гласящего, что все физические законы инвариантны относительно выбора инерциальной системы отсчёта) и является воплощением лоренц-инвариантности электродинамики. Более обобщенно можно говорить, что максимальная скорость распространения взаимодействия (сигнала), называемая скоростью света[2], должна быть одинаковой во всех инерциальных системах отсчёта.
Данное утверждение очень непривычно для нашего повседневного опыта. Мы понимаем, что скорости (и расстояния) меняются при переходе от покоящейся системы к движущейся, при этом интуитивно полагая, что время абсолютно. Однако принцип инвариантности скорости света и абсолютность времени несовместимы. Если максимально возможная скорость инвариантна, то время идёт различным образом для наблюдателей, движущихся друг относительно друга. Кроме этого, события одновременные в одной системе отсчёта, будутнеодновременны в другой.
До опытов Майкельсона — Морли в 1887 году (первые результаты были получены А. Майкельсоном ещё в 1881 году), существовало три мнения на модель эфира:
Эфир неподвижен и существует абсолютная система отсчета (АСО) связанная с эфиром. При движении тел в АСО должен регистрироваться «эфирный ветер» и как следствие скорость света в разных направлениях при движении относительно АСО будет разной.
Тела при движении в неподвижном эфире (относительно АСО) сокращаются в продольном к скорости направлении (Г. Ф. Фицджеральд). Свет из-за сокращения измерительных масштабов во всех направлениях будет иметь одну и ту же измеренную скорость.
Эфир полностью (Герц) или частично (Френель) увлекается телами, в частности Землей при своем орбитальном движении. Эфирный ветер на Земле не регистрируется по причине его малости или отсутствия.
А.
Майкельсон задался
целью с помощью оптических опытов
подтвердить или опровергнуть теорию
«неувлекаемого эфира». Дж.
Максвелл указал
на невозможность выявления эффектов
первого порядка (относительно 
)
независимо от применяемой теории эфира.
При движении луча света «туда-обратно»
световому лучу требуется одно и то же
суммарное время, независимо от сложения
скорости света со скоростью источника.
Для наблюдений возможных оптических
эффектов второго порядка (относительно 
),
связанных с теорией «неувлекаемого
эфира» Майкельсон поставил опыт
с интерферометром.
Результаты опыта показали незначительность
оптических эффектов второго порядка,
связанных с орбитальным и галактическим
движением Земли.
Влияние «эфирного ветра» на оптические
эффекты второго порядка в пределах
свыше 6 км/с обнаружено не было, теория
неподвижного эфира была поставлена под
сомнение. Результаты и методика расчётов
опыта Майкельсона являлись плодами его
оригинальных изобретений, связанных
со сложностью физики увлекаемого эфира,
а законы отражения движущихся зеркал
значительно усложнили его расчёты[3].
Оставшиеся модели эфира из-за разногласий
и попыток построить «механическую»
модель с вытекающими явными противоречиями
(«сверхтвёрдый эфир»), не удавалось
развить до законченного вида.
В 1905 г. Альберт Эйнштейн в своей работе «К электродинамике движущихся тел» постулирует принцип относительности и инвариантность скорости света в инерциальных системах отсчета. Опираясь на «мысленные эксперименты» приведенные в своей работе, выводит преобразования между движущимися и покоящимися инерциальными системами отсчета, в математическом виде схожие с преобразованиями Лоренца. Со временем изменилось само представление о пространстве и времени и в соответствии с ним механика стала такой желоренц-инвариантной, как оптика и электродинамика. Классические преобразования Галилея являются приближёнными и справедливыми для малых (по сравнению со скоростью света) скоростей. В общем же случае необходимо применять релятивистские преобразования Лоренца, которые легли в основу специальной теории относительности Эйнштейна.
Инвариантность скорости света в лаборатории покоящейся относительно поверхности Земли, твёрдо установлена экспериментально. Интерес представляет поиск возможных небольших отклонений от этого закона[4].
39. Под релятиви́стским замедле́нием вре́мени обычно подразумевают кинематический эффект специальной теории относительности, заключающийся в том, что в движущемся телевсе физические процессы проходят медленнее, чем следовало бы для неподвижного тела по отсчётам времени неподвижной (лабораторной) системы отсчёта.
Релятивистское замедление времени проявляется[1], например, при наблюдении короткоживущих элементарных частиц, образующихся в верхних слоях атмосферы под действиемкосмических лучей и успевающих благодаря ему достичь поверхности Земли.
Данный эффект, наряду с гравитационным замедлением времени учитывается в спутниковых системах навигации, например, в GPS ход времени часов спутников скорректирован на разницу с поверхностью Земли[2], составляющую суммарно 38 микросекунд в день[3].
В качестве иллюстрации релятивистского замедления времени часто приводится парадокс близнецов.