Динамика абсолютно твердого тела

Динамика абсолютно твердого тела полностью определяется его полной массой, положением центра масс и тензором инерции (также, как динамика материальной точки — ее массой). (Конечно, имеется в виду, что заданы все внешние силы и внешние связи, которые, конечно, могут зависеть от формы тела или его частей и т.д.).

Другими словами, динамика абсолютно твердого тела при неизменных внешних силах зависит от распределения его масс только через полную массу, центр масс и тензор инерции, в остальном детали распределения масс абсолютно твердого тела никак не скажется на его движении^[2]; если как-то так перераспределить массы внутри абсолютно твердого тела, что не изменится центр масс и тензор инерции, движение твердого тела в заданных внешних силах не изменится (хотя при этом могут измениться и как правило изменятся внутренние напряжения в самом твердом теле!).

23.

Основное уравнение динамики поступательного движения произвольной системы тел

Тела, не входящие в состав рассматриваемой системы, называют внешними телами, а силы, действующие на систему со стороны этих тел, – внешними силами. Силы взаимодействия между телами внутри системы называют внутренними силами.         Результирующая всех внутренних сил, действующих на i-е тело: где  k ≠ i  – т.к. i-я точка не может действовать сама на себя.         Обозначим   – результирующая всех внешних сил, приложенных к i-ой точке системы.         По второму закону Ньютона можно записать систему уравнений:     ......................................................................         Сложим эти уравнения и сгруппируем попарно силы   и  :        По третьему закону Ньютона,  , поэтому все выражения в скобках в правой части уравнения равны нулю. Тогда остаётся:        Назовем   – главным вектором всех внешних сил, тогда    (3.6.1)          Скорость изменения импульса системы равна главному вектору всех внешних сил, действующих на эту систему.         Это уравнение называют основным уравнением динамики поступательного движения системы тел.         Так как импульс системы  , то    (3.6.2)          Отсюда можно по-другому записать основное уравнение динамики поступательного движения системы тел:    (3.6.3)   здесь   – ускорение центра инерции.        Центр механической системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы и на которую действует сила, равная главному вектору внешних сил, приложенных к системе.        На основании третьего закона Ньютона силы, действующие на тела системы со стороны других тел системы (внутренние силы), взаимно компенсируют друг друга. Остаются только внешние силы.        В общем случае движение тела можно рассматривать как сумму двух движений: поступательного со скоростью   и вращательного вокруг центра инерции.

Динамика вращат-го движ-яПри вращении твёрдого тела относительно неподвижной оси, все точки тела движутся по плоским круговым траекториям. Выделим частицу m_i тела, вращающегося вокруг оси z (рис. 9.2). Положение частицы зададим радиус-вектором   относительно произвольного центра 0, лежащего на оси вращения. R_i — радиус окружности, по которой движется рассматриваемая точка.V_i = wR_i — её линейная скорость. 

Рис. 9.2

Рассматривая твёрдое тело как неизменную систему материальных точек, для каждой из них можно записать уравнение моментов:

                          .                  (9.1)

В левой части этого уравнения — момент внешних сил относительно оси z, действующий на частицу m_i. Справа — производная по времени проекции момента импульса частицы на ту же ось.

Момент импульса частицы относительно центра 0 (по определению) равен:

.

Заметим, что для всех частиц  , поэтому легко вычислить модуль этого вектора L_i:

L_i = m_ir_iV_i = m_ir_iwR_i.

Так как   образует угол a_i с осью z, то проекция этого вектора на ось z равна:

            = L_iCosa_i = m_ir_iwR_iCosa_i = m_iwR_i(r_iCosa_i) = m_iw .         (9.2)

Учитывая этот результат, перепишем уравнение (9.1) ещё раз:

                          .             (9.3)

Подобные уравнения могут быть составлены для всех точек твёрдого тела.

Просуммировав все эти уравнения, получим закон вращательного движения твёрдого тела:

или

                          .             (9.4)

Здесь:    M_z — суммарный момент всех внешних сил, вращающих твёрдое тело вокруг оси z;

     w_z — угловая скорость вращения;

       — новая характеристика твёрдого тела — его момент инерции относительно оси вращения;

     L_z = I_zw_z — момент импульса тела относительно оси z.

Если момент инерции твёрдого тела I_z не меняется, уравнению (9.4) можно придать такой вид:

                          .                  (9.5)

Здесь ε = — угловое ускорение вращающегося тела.

Уравнение (9.5) называется основным уравнением динамики для твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

M_z = I_z×ε                (9.6)

Трудно не заметить сходство этого уравнения со вторым законом Ньютона для движения точки:

F_z = ma_z

Сравнивая эти два выражения, отметим, что в уравнении для вращательного движения в качества «силы» выступает момент силы, вместо линейного ускорения — угловое, вместо массы используется момент инерции I_z.

Сходство этих уравнений можно продолжить, записав их иначе (9.2)

Здесь:    L_z = I_z w_x — момент импульса тела относительно оси z,

     P_z = mV_z — проекция вектора импульса частицы на ось z.

Во вращательном движении аналогом импульса Р является момент импульса L.

Рассмотренные аналогии позволяют назвать уравнение (9.6) уравнением второго закона динамики (Ньютона) для вращательного движения:

момент внешних сил, вращающих тело вокруг данной оси, равен моменту инерции тела относительно этой оси, умноженному на угловое ускорение тела.

Вернемся ещё раз к уравнению (9.4):

.

Оно в равной степени справедливо как для твердого тела, так и для системы тел. Если момент внешних сил относительно оси z равен нулю, то момент импульса системы относительно этой же оси будет оставаться постоянным.

M_z = 0, Þ   Þ L_z = I_zw_z = сonst.

Это  закон сохранения момента импульса — аналог закона сохранения импульса замкнутой системы. Но есть между этими законами одно существенное различие. Постоянство импульса частицы (если её масса не меняется) означает неизменность её линейной скорости:

p = mV = сonst. Þ V = сonst.

Если же не меняется момент импульса тела (L_z), то это не означает постоянства угловой скорости:

L_z = I_zw = сonst.

Изменение момента инерции вращающегося тела приведёт к изменению его угловой скорости даже в случае отсутствия внешних вращающих моментов. При этом сохранится неизменным произведение I_z × w = сonst., то есть угловая скорость окажется обратно пропорциональной моменту инерции тела (системы):

.

Известно много примеров, иллюстрирующих эту особенность закона сохранения момента импульса: вращение фигуристов и балерин, опыты на скамье Жуковского, сальто-мортале гимнастов и т.п.

24.