43. Понятие аналитического сигнала. Спектральная плотность аналитического сигнала.

Введение понятия аналитического сигнала.

Представим с помощью обратного преобразования Фурье сигнал:

. (1)

Обозначим функции . Функцию , составляющую диапазон положительных частот, называют аналитическим сигналом.

Первое интегральное выражение (1) преобразуем к виду с подстановкой :

.

Отсюда получаем следующее соотношение: . Или, что то же самое:

. (2)

А мнимую часть аналитического сигнала обозначим:

. (3)

Эту часть называют колебанием, сопряженным с исходным сигналом. А аналитический сигнал может быть выражен:

. (4)

Аналитический сигнал на комплексной плоскости, как и любая комплексная величина, может быть изображен вектором, у которого модуль и фазовый угол изменяется во времени. Проекция аналитического сигнала на вещественную ось равна исходному сигналу . Главной особенностью аналитического сигнала является то, что спектральная плотность располагается только в области положительных частот. Представление обычного сигнала, являющегося вещественным, в форме комплексного аналитического сигнала позволяет использовать методы теории функции комплексного переменного для анализа вещественных сигналов, а в конце анализа можно возвратиться к тригонометрической форме путем отбрасывания мнимой части и получить нужные результаты.

П ример: Рассмотрим порядок нахождения аналитического сигнала для случая идеального НЧ сигнала. Для этого используем выражение для . Подставив значения и выполнив элементарные тригонометрические преобразования, получим:

, .

Графики обоих этих сигналов показаны на рисунке б.

Спектральная плотность аналитического сигнала.

Для аналитического сигнала справедливо обратное преобразование Фурье: . Сравнивая это выражение с исходной записью аналитического сигнала видим, что:

. (5)

Учитывая соотношение (4) и свойства линейности преобразования Фурье можем записать также, что:

. (6)

Можно заметить, что совместное выполнение равенств (5) и (6) возможно только в том случае, если:

. (7)

44. Преобразования гильберта. Их свойства и примеры.

Преобразования Гильберта. Функция представлена как произведение двух функций и . График последней функции показан на рисунке. Поскольку спектральная плотность сопряженного сигнала равна произведению спектра исходного сигнала и функции , то исходя из свойств спектров можно заключить, что сопряженный сигнал является сверткой двух функций и некоторой, пока неизвестной, функции , которую можно получить как обратное преобразование Фурье от спектральной плотности . Чтобы иметь при интегрировании дело с аналитической функцией, представим функцию в виде:

.

В этом случае оригинал функции будет равен:

.

Следовательно, сопряженный сигнал связан с исходным сигналом соотношением:

. (1)

Таким образом, сопряженный сигнал является сверткой двух сигналов и . Соотношение может быть записано и в другой форме:

. (2)

и в этом случае сигнал может рассматриваться как свертка двух сигналов, но взятая с противоположным знаком:

. (3)

Формулы (1) и (3) в математике известны как прямое и обратное преобразования Гильберта.

Символически их записывают так: , . Функцию называют ядром преобразования. Она имеет разрыв в точке , поэтому интегралы (1) и (3) следует понимать как пределы. Например: .

Свойства преобразований Гильберта.

1. Преобразование Гильберта обладает свойством линейности, то есть преобразование взвешенной суммы сигнала равно взвешенной сумме преобразований этих сигналов.

2. Поскольку ядро преобразования представляет собой нечетные функции от параметра , по которому ведется интегрирование, то для сигнала , сопряженный сигнал: .

3. Аналитический сигнал представляет собой сумму основного сигнала и сопряженного , поэтому, если допустить, что длина вектора – постоянна, то следует еще одно свойство: если при каком-нибудь значении исходный сигнал достигает максимума, то в окрестности этой точки сопряженный сигнал проходит через нуль. Это свойство наблюдается и в общем случае без наложения ограничений на длину вектора .

Примеры преобразований Гильберта для некоторых сигналов.

Рассмотрим несколько случаев вычисления преобразований Гильберта для простых сигналов.

Допустим исходный сигнал: . Запишем преобразования Гильберта для сопряженного с ним сигнала , используя замену :

.

Из математики известно, что и . Таким образом, получим:

. (4)

Аналогичным образом можно показать, что если , то:

. (5)

Используя свойства линейности преобразований Гильберта для сложного сигнала можно получить:

. (6)

Рассмотрим теперь преобразования Гильберта для узкополосного сигнала, имеющего известную аналитическую запись вида:

. (7)

Для узкополосного сигнала изменение и амплитуд происходит очень медленно по сравнению с несущим колебанием. Поэтому в преобразовании Гильберта величины и могут рассматриваться как постоянные.

.

И, таким образом, сопряженный сигнал:

. (8)

Сопряженный сигнал в данном случае также узкополосный м если комплексная амплитуда огибающей для исходного сигнала (9), то для сопряженного сигнала она будет:

, (9)

то есть сдвинута по фазе относительно исходного колебания на .