37. Теорема котельникова (теорема отсчётов).

При передаче сообщений системы связи накладывают определённые ограничения на сигнал. В частности найденные теоретически спектры некоторых сигналов лежат в диапазоне частот . Полоса частот реальных систем связи ограничена, поэтому часть спектра сигнала не может быть передана. Кроме того, при дискретизации непрерывных сигналов также возникает вопрос можно ли по дискретным отсчетам функции восстановить исходный непрерывный сигнал. Ответ на эти вопросы даёт теорема Котельникова В. А.(теорема отсчетов).

Теорему Котельникова можно сформулировать так:

Л юбую функцию времени f(t), имеющую ограниченный спектр в полосе частот 0...F_м , где F_м - максимальная частота спектра, можно передать с любой точностью при помощи отсчётов функции, отстоящих друг от друга на время .

Содержание теоремы можно проиллюстрировать с помощью рисунка (см. рис. 37.1 а, б). На рисунке показана некоторая функция f(t) со спектром f(j) (рис. 37.1 б). Такая функция без искажений может быть передана с помощью отсчётов расположенных

Рис. 37.1

друг от друга на расстоянии (рис. 37.1 а).

Доказательство теоремы. Любая функция может быть задана с помощью своего спектра соотношением: (4.4)

или с учётом ограниченности полосы сигнала: (9.5)

Формально функциюF() на интервале можно представить в виде ряда Фурье (с периодом ). Только при этом следует иметь ввиду существенную особенность ряда, что в качестве аргумента вместо привычной t выступает частота  , т.е. известная формула (3.8)

(3.8)

в данном случае запишется в виде: (9.6)

В отличие от формулы (3.8) в ряде Фурье для функции независимая переменная t заменена на , а величина характеризующая периодичность сигнала заменена величиной .

Подставляя в формулу (9.5) значение выраженное рядом (9.6) и изменяя порядок суммирования и интегрирования приходим к выражению:

где интервал

или используя формулу Эйлера находим:

и тогда: (9.7)

В ряде Фурье коэффициенты Фурье можно выразить через разлагаемую в ряд функцию аналогично выражению (3.9) (3.9)

или с учётом замены t и (см. формулу 9.6): (9.8) В формуле (9.5) зададим t значение (формула (9.5)¹ справедлива для всех значений t, т.е. при , показанных на рис.9.2 только теперь она записывается для дискретных отрицательных значений t ), тогда получаем: (9.5)

(9.8)

Разделим левые и правые части равенства (9.8) на (9.5).

Из двух последних выражений следует, что: (9.9)

Подставляя значение А_н в формулу (9.7) получаем:

или учитывая, что суммирование ведётся по всем положительным и отрицательным значениям n окончательно можно записать: (9.10)

Полученное выражение называют рядом Котельникова, значения - отсчётами функции, множитель - функцией отсчётов.

38. Теорема отсчетов в частотной области.

П редставление непрерывной функции в виде совокупности отсчетов можно рассматривать и на спектре функции. На рисунке показаны спектры функции и отсчеты спектра. Проделав анализ, аналогичный тому, который выполнен для разложения функции во временной ряд Котельникова можно получить аналогичный временной ряд, построенный в частотной области. Такой ряд можно получить, если в ряде Котельникова заменить на , полуширину спектра на и на . Тогда выражение для спектра в виде разложения в ряд Котельникова:

. (1)

Коэффициенты в общем случае являются комплексными числами.

Пример: Разложение временной функции в ряд Котельникова. Рассмотрим представление рядом Котельникова функции с помощью отсчетов, которые берутся в моменты времени . Получим: . Таким образом, разложение в ряд Котельникова будет иметь вид:

. (2)