53. Основные свойства и применение функций уолша.

• Система функций Уолша является полной ортонормированной системой на интервале , т.е. справедливо соотношение

и может служить базисом для спектрального представления сигналов.

Любую интегрируемую на интервале функцию, являющуюся математической моделью электрического сигнала, можно представить рядом Фурье по системе функций Уолша:

,

где коэффициенты находят по формуле

,

где – безразмерное время, нормированное к произвольному интервалу .

• Функции Уолша, как и функции Радемахера, принимают только два значения: и . Для любого

• Функции Уолша являются периодическими функциями с периодом, равным 1.

• Функции Уолша обладают свойством мультипликативности, перемножение двух любых функций Уолша является также функцией Уолша:

причем это свойство справедливо и относительно параметра , т.е.

• Среднее значение функций Уолша при равно нулю.

• Система функций Уолша является составной системой и состоит из четных и нечетных функций, обозначаемых соответственно и .

• Относительная среднеквадратичная погрешность аппроксимации сигнала конечным числом функций Уолша определяется по формуле

,

где - энергия сигнала на единичном нормированном интервале.

54. Частотно-избирательные цепи при широкополосных входных воздействиях.

Задача о поведении узкополосной частотно-избирательной цепи, возбуждаемой широкополосным входным сигналом (ШПС), представляет интерес, например, в связи с тем, что сигналы помех часто представляют собой короткие импульсы. Эффективная ширина спектра таких сигналов может значительно превышать ширину полосы пропускания частотно-избирательной системы.

Пусть K(j) – коэффициент передачи узкополосной цеп, тогда входное колебание U_ВХ(t) со спектральной плотностью S_ВХ() называют ШПС применительно к данной цепи, если функцию S_ВХ() можно приближенно считать постоянной в приделах полосы пропускания цепи.

(54.1)

Согласно этому выражению форма выходного сигнала определяется не характером входного сигнала, а лишь частотным коэффициентом передачи системы.

Сигнал с предельно широким спектром является дельта – импульс (S_ВХ()=1). Тогда выходной сигнал – импульсная характеристика: (54.2)

Рассмотрим первое слагаемое в (54.2) и перейдем к новой переменной интегрирования с помощью замены (смещение K(j) из окрестности -₀ в окрестность =0)

(54.3)

Т. к. рассматриваемая цепь узкополосная, можно заменить в приделе -₀ на -, т. е.:

(54.4)

Аналогично при замене , получим:

(54.5)

При сложении (54.4) и (54.5) оказывается, что импульсная характеристика узкополосной системы – вещественна: (54.6)

Низкочастотный эквивалент частотно-избирательной цепи – воображаемая система, частотный коэффициент передачи которой получается путем смещения K(j) реальной цепи:

.

Тогда и (54.7)

Пусть на вход частотно-избирательной цепи воздействует произвольный ШПС.

Считая, что U_ВХ(t) – вещественная функция, имеем: .

Выходное колебание .