52. Функции уолша. Основные определения. Способы упорядочения функции уолша.

Функции Уолша являются естественным расширением функций Радемахера. Они получены Уолшем в 1923 г. и представляют полную систему ортонормированных прямоугольных функций.

Множество функций Уолша, упорядоченных по частости (по Уолшу), обычно обозначают следующим образом:

(1) где , . Нижний индекс показывает, что упорядочение осуществляется по Уолшу (по частости). Индекс соответствует -му элементу множества . Обозначим через частость функции . Для определения частости воспользуемся соотношением

(2)

Функции Уолша, упорядоченные по частости, аналогично тригонометрическим функциям можно подразделить на четные и нечетные , тогда

(3)

На рис.1 показаны первые восемь функций . Частость каждой последующей функции Уолша больше или равняется частости предыдущей функции Уолша и имеет на одно пересечение нулевого уровня больше в открытом интервале .

Отсюда и следует название «упорядочение по частости». Дискретизация функций Уолша, (рис.1, а) в восьми равноотстоящих точках приводит к матрице (8x8), показанной на рис.1, б. Эту матрицу обозначают ,где и матрица будет иметь размер , где строки — поляр функции Уолша, а столбцы - значения функции при , .

а)

б)

В матрице номера строк соответствуют номерам функций Уолша, номера столбцов — номерам отсчетов, значения элементов матрицы — значениям функций Уолша.

Функции Уолша при упорядочении по частости в общем случае можно получить из функций Радемахера по формуле

, (4)

где – номер функции Уолша; – номер функции Радемахера;  – показатель степени функции Радемахера , который принимает значение 0 или 1 в результате суммирования по модулю два, т.е. по правилу разрядов двоичного числа . Например, для шестой функции Уолша ( ), входящей в систему размером , произведение (4) состоит из трех сомножителей вида:

при , при , при .

Число в двоичной системе записывается совокупностью нулей и единиц. В нашем случае значения и его разрядов показаны в таблице 1.

Таблица 1

В таблице 1 - старший разряд числа, - младший разряд числа .

Показатели степени функций Радемахера получаются равными:

.

Следовательно,

Правило получения показателей степеней для функций Радемахера схематически показано в табл.1 , где стрелками указаны суммируемые разряды числа и функции Радемахера, к которым относится полученный показатель степени.

Из рис. 1 видно, что четные номера функций Уолша относятся к четным функциям, а нечетные – нечетным функциям.

Другим способом упорядочения функций Уолша является способ упорядочения по Пэли, при котором аналитическая запись функций Уолша имеет вид

, (5) где - двоичный номер функции, имеющий представление в двоичной форме:

, (6) где - младший разряд двоичного числа, - старший разряд двоичного числа. При упорядочении по Пэли формирования функций Уолша необходимо взять произведение возведенных в степень функций Радемахера, номера которых совпадают с номерами соответствующих разрядов двоичного представления числа , а показатель степени каждой функции равен содержимому соответствующего разряда, т.е. 0 или 1. Причем младшей функции Радемахера соответствует младший разряд двоичной комбинации числа . В соответствии с этим правилом в табл. 2 приведены значения функций Уолша, упорядоченных по Пэли.

Таблица 2

0	0	0	0
1	0	0	1
2	0	1	0
3	0	1	1
4	1	0	0
5	1	0	1
6	1	1	0
7	1	1	1

Функции Радемахера в таблице 2 показаны в форме .

Сравнение произведений и степеней функций Радемахера, записанных в таблицах 1 и 2, показывает, что между функциями Уолша, упорядоченными по Пэли и по Уолшу, существует соответствие, которое отражено в последнем столбце табл.2. В соответствии с функциями Уолша, упорядоченными по Пэли, также может быть построена матрица отсчетов, аналогичная показанной на рис.1,б.

Следующим распространенным способом упорядочения является упорядочение по Адамару. Функции Адамара формируют с помощью матриц Адамара.

Матрицей Адамара порядка называется квадратная матрица размером и с элементами , обладающая свойством

, (7)

где - единичная матрица; - транспонированная матрица. Матрицы Адамара можно строить, используя рекуррентное соотношение:

. (8)

Например, начиная с , находим:

; ;

.

Сравнивая полученную матрицу с матрицей отсчетов для функций Уолша, упорядоченных по Уолшу (см. рис.1,б), видим, что между первыми восемью функциями, упорядоченными по Уолшу и Адамару, существует следующее соответствие: