18.2.6.3. Применения степенных рядов.
18.2.6.3.1. Приближённое
вычисление значений функций.
Идея таких вычислений простая. Пусть
известно значение функции в точке
,
и функция разлагается в окрестности
точки
в ряд Тейлора. Тогда значение функции
в точке
,
которое надо найти, равно
,
и принимается
.
Естественно, мы должны гарантировать,
что погрешность такого приближения не
превышает заданной величины
.
Погрешность равна остатку ряда после
n-го
члена (или остаточному члену формулы
Тейлора), поэтому необходимо строить
оценку сверху для
(или
).
При оценке
принципиально отличны два случая. Если
остаток - знакочередующийся ряд, то
просто оценивается по своему первому
члену. Если остаток не является
знакочередующимся рядом, то необходимо
оценивать всю его сумму. Обычно в этом
случае остаток мажорируют сходящейся
геометрической прогрессией. В разделе
18.4.2.
Знакочередующиеся ряды мы
рассмотрели и тот, и другой случай при
нахождении значений
и
;
в разделе 7.9.2.
Приближённые вычисления с помощью
формулы Тейлора приведён
пример вычисления значения
с погрешностью
.
Другие примеры будут рассмотрены ниже.
18.2.6.3.2. Интегрирование функций.
1. Как мы знаем,
интеграл
аналитически не берётся. Это специальная
функция, называемая интегральным синусом
и обозначаемая
.
Получим разложение этой функции в
степенной ряд.
,
,
почленно интегрируем:
.
Ряд сходится к
при
.
Теперь легко вычислить значение этой
функции в любой точке. Пусть, например,
надо найти
с погрешностью
.
.
Ряд знакочередующийся, первый член,
меньший
,
третий, поэтому
.
2. Найти
.
Этот интеграл берётся аналитически.
Надо разложить знаменатель на множители
,
разложить подынтегральную функцию на
пять простых дробей, найти восемь
неопределённых коэффициентов и т.д., и
после этого вычислять значение
первообразной в начальной и конечной
точках. Поступим по другому. Разложим
подынтегральную функцию в ряд Маклорена
и почленно проинтегрируем:
,
.
Остаток ряда после n-го
члена
.
Если
,
достаточно взять n=2,
и
.
18.2.6.3.3. Интегрирование
дифференциальных уравнений с помощью
степенных рядов.
Пусть дана задача Коши:
,
Решение этой задачи
в виде ряда Тейлора ищется так.
. Первые n
коэффициентов ряда известны из начальных
условий, остальные находятся
последовательным дифференцированием
уравнения.
Примеры. 1.
.
Из уравнения находим
.
Дифференцируем уравнение:
.
Далее дифференцируем уравнение и находим
значение производной в точке
:
,
.
Так мы можем вычислить производные
любого порядка. Решение задачи Коши:
.
2.
.
Находим:
Закономерность понятна. Производные
порядка 3n-1
и 3n
равны нулю, производная порядка 3n+1
равна
,
поэтому
С помощью признака Даламбера легко
убедится, что этот ряд сходится при
,
следовательно, даёт решение задачи Коши
на всей числовой оси.