7.8. Смешанное произведение векторов

Смешанным произведением векторов a, b и c называется число a(bc) и обозначается abc=(a,b,c).

Смешанное произведение векторов обладает следующими свойствами:

1^о. a(bc) = (ab)c,

2^о. abc = bca = cab,

3^o. abc = –bac,

4^o. aac = 0.

Первое свойство позволяет записывать смешанное произведение в виде abc , не указывая при этом, какие именно два вектора перемножаются векторно. Второе свойство указывает, что при циклической перестановке сомножителей смешанное произведение не меняется. Третье свойство показывает, что при перестановке двух сомножителей смешанное произведение меняет знак. Четвертое свойство показывает, что смешанное произведение трех векторов, два из которых совпадают, равно нулю.

Из определения смешанного произведения следует необходимое и достаточное условие компланарности векторов.

Теорема 7.4. Три вектора a, b и c компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю:

a,b,с – компланарны  abс = 0.

Учитывая формулы вычисления векторного и скалярного произведений, а также теорему разложения определителя по строке, можно доказать следующую теорему.

Теорема 7.5. Если три вектора a, b и c определены своими координатами в ортонормированном базисе: a={x₁, y₁, z₁}, b={x₂, y₂, z₂}, c={x₃, y₃, z₃}, то смешанное произведение вычисляется по формуле:

Геометрический смысл смешанного произведения векторов a, b и c заключается в том, что модуль смешанного произведения |abс| равен площади параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Вопросы. 1) Справедливы ли равенства:

а) (a+b)² = a² + 2ab + b², б) (a+b)(a–b) = a² – b².

2) При каких условиях справедливы следующие равенства:

a) (ab)² = a²b², б) (ab)² = a²b².