7.2. Линейные операции над векторами

К линейным операциям над векторами относят операции сложения и вычитания векторов, а также умножение вектора на число. Вспомним их определения.

Пусть даны два вектора a и b. Чтобы сложить их, нужно совместить параллельным переносом начало и конец этих векторов. Тогда суммой этих векторов будет вектор, соединяющий начало первого и конец второго вектора (правило треугольника). Векторы можно сложить также по правилу параллелограмма, совместив начала этих векторов. Суммой векторов, в этом случае, будет диагональ параллелограмма, выходящая из начала векторов.

	Правило треугольника	Правило параллелограмма

Вектор (–a) называется противоположным вектору a, если он имеет одинаковую с ним длину и противоположное направление. Очевидно, что a+(–a)=0.

Р азностью a–b двух векторов a и b называется сумма a+(–b), т.е. чтобы вычесть из вектора a вектор b, достаточно прибавить к вектору a вектор (–b). Отметим, что если на векторах a и b построить параллелограмм, то одна его диагональ равна сумме a+b, а вторая – разности a–b.

Произведением вектора a на число k называется вектор ka, имеющий длину |k||a| и сонаправленный с вектором a при k>0, или направленный противоположно a при k<0. Деление вектора на a на число k0 можно рассматривать как умножение вектора на число 1/k.

Вектор, имеющий длину, равную единице, и одинаковое с вектором a направление, называется единичным вектором или ортом вектора a и будем обозначать символом a₀. Из этого определения следует, что

Линейные операции над векторами удовлетворяют следующим свойствам:

1. a+b=b+a – коммутативное (переместительное) свойство суммы;

2. (a+b)+c=a+(b+c) – ассоциативное (сочетальное) свойство суммы;

3. (a)=a – ассоциативное свойство относительно числового множителя;

4. (a+b)=a+b – дистрибутивное (распределительное) свойство относительно суммы векторов;

5. a=a+a – дистрибутивное свойство относительно суммы числовых множителей;

6. Существует нулевой вектор 0 такой, что x+0=x для любого вектора x (особая роль нулевого вектора);

7. Для любого вектора x существует противоположный вектор (–x) такой, что x+(–x)=0;

8. 1x=x для любого вектора x (особая роль числового множителя 1).

Множество векторов, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющие приведенным выше восьми свойствам (рассматриваемым как аксиомы), называется векторным пространством.

Следует отметить, что под a, b, c можно рассматривать не только векторы, но и элементы (объекты) любой природы. В этом случае соответствующее множество называется линейным пространством, которое мы рассмотрим в следующей лекции.

7.3. Линейная зависимость и независимость векторов

Если вектор b связан с векторами a₁, a₂, ... , a_n условием

b = k₁a₁ + k₂a₂ +... + k_na_n, (7.1)

то вектор b называется линейной комбинацией векторов a₁,a₂,...,a_n, или разложением вектора b по векторам a₁, a₂, ... , a_n. В связи с этим возникает вопрос: в каких случаях вектор можно разложить по заданным векторам? Ответ на этот тесно переплетается со следующим понятием.

Определение. Система векторов a₁, a₂, ... , a_n называется линейно зависимой, если найдется хотя бы одно не равное нулю число k₁, k₂ , ... , k_n, чтобы выполнялось равенство

k₁a₁ + k₂a₂ +... + k_na_n = 0. (7.2)

Если данное равенство может выполняться только при условии, что все числа k₁, k₂ , ... , k_n равны нулю, то такая система векторов называется линейно зависимой.

Из данного определения следует, что если система векторов линейно зависима, то, по крайней мере, один из них можно записать в виде линейной комбинации остальных. Например, если k₁0, то

.

Далее возникает вопрос: сколько в системе может быть линейно независимых векторов?

1) Признак коллинеарности векторов. Два ненулевых вектора a и b коллинеарны тогда и только тогда, выполняется равенство

a = kb, k  0. (7.3)

Отсюда следует, что в системе коллинеарных векторов может быть только один линейно независимый вектор, поскольку любые два коллинеарных вектора всегда линейно зависимы.

2) Необходимым и достаточным условием линейной зависимости трех векторов является их компланарность. Это означает, что в системе компланарных векторов может быть не более двух линейно независимых векторов. Поскольку два вектора линейно независимы тогда и только тогда, когда они неколлинеарны, то это означает, что любой вектор на плоскости можно разложить по двум неколлинеарным векторам.

3) Любые четыре вектора линейно зависимы. Это означает, что в системе векторов пространства может быть не более трех линейно независимых векторов. Поскольку три вектора линейно независимы тогда и только тогда, когда они некомпланарны, то отсюда следует, что любой вектор в пространстве можно разложить по трем некомпланарным векторам.

Вопросы. 1) Может ли быть линейно зависимой система, состоящая из одного вектора? 2) Может ли быть линейно независимой система векторов, содержащая нулевой вектор?