7.6. Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

ab = (a,b) = |a||b|cos. (7.8)

Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами:

1^о. ab = ba,

2^о. (a)b = (ab),

3^o. a(b+c) = ab + ba,

4^o. aa  0.

Отметим, что поскольку aa = |a|², то для скалярного квадрата используют обозначение a².

Замечание. Отметим, что понятие скалярного произведения возникло в механике, смысл которого здесь заключается в том, что скалярное произведение силы F, приложенной к точке, на перемещение s этой точки равно работе, совершенной этой силой:

A = Fs.

Пример 7.5. Вычислить выражение (3a–2b)(a+2b), если |a|=3, |b|=4, =a^b=2/3.

Решение. Раскроем скобки, учитывая свойства скалярного произведения векторов:

(3a–2b)(a+2b) = 3a²+6ab–2ba–4b² = 3a²+4ab–4b².

Далее из определения скалярного произведения следует:

3a²+4ab–4b² = 3|a|²+4|a||b|cos–4|b|² = = 33²+434cos120⁰–44² = 27–24–64 = 61. 

Если известны два вектора a и b, то исходя из определения скалярного произведения, можно найти угол между этими векторами по формуле:

(7.9)

Из формулы (7.9) следует необходимое и достаточное условие перпендикулярности (ортогональности) векторов.

Теорема 7.1. Два вектора a и b перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю:

ab  ab = 0.

Теорема 7.2. Если два вектора a и b определены своими координатами в ортонормированном базисе: a={x₁, y₁, z₁}, b={x₂, y₂, z₂}, то скалярное произведение вычисляется по формуле:

ab = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂.

Доказательство. Рассмотрим различные комбинации скалярных произведений базисных векторов i, j, k:

ii = jj = kk = 1, ij = jk = ki = 0.

Далее, учитывая, что a = x₁i + y₁j + z₁k, b = x₂i + y₂j +z₂k, получим

ab = (x₁i + y₁j + z₁k)(x₂i + y₂j +z₂k) = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂. 

Пример 7.7. Вычислить (2a–3b)(a+2b), если a = {4;–2;–4}, b = {6;–3;2}.

Решение. Вычислим координаты сомножителей: 2a–3b = {–10;5;–14}, a+2b = {16;–8;0}. Тогда

(2a–3b)(a+2b) = –160–40–0 = –200. 

Вопросы. 1) Справедливы ли равенства:

а) (a+b)² = a² + 2ab + b², б) (a+b)(a–b) = a² – b².

2) При каком условии справедливо равенство: (ab)² = a²b².

7.7. Векторное произведение векторов

Три вектора называются упорядоченной тройкой, если указано, какой из этих векторов является первым, какой – вторым, какой – третьим.

Рассмотрим ортонормированные базисы, приведенные к общему началу. Тогда возникает вопрос: можно ли все эти базисы свести к одному при помощи вращения вокруг общей точки? Оказывается, что все ортонормированные базисы распадаются на два класса: правый и левый.

Тройка векторов называется правой, если эти вектора, приведенные к одному началу, располагаются также как расставленные пальцы правой руки: большой палец – по первому вектору, указательный – по второму, средний – по третьему. Если смотреть во внутрь телесного угла, образованного этими векторами, то движение от первого ко второму, от второго к третьему будет совершаться против часовой стрелки. Обычно на практике рассматриваются только правые системы векторов.

3 2 1	2 3 1
Правая тройка	Левая тройка

Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c, удовлетворяющий следующим условиям:

а) |c| = |a||b|sin,

б) вектор с перпендикулярен к обоим векторам a и b,

в) упорядоченная тройка a,b,c – правая.

Векторное произведение обозначается символом ab = [a,b].

Замечание. Отметим, что понятие векторного произведения также возникло в механике. Пусть F – сила приложенная к точке А, а r – радиус-вектор точки А относительно точки О. Тогда вектор M=rF представляет собой момент силы относительно точки О.

Векторное произведение векторов обладает следующими свойствами:

1^о. ab = –ba (антикоммутативность),

2^о. k(ab) = (ka)b = a(kb),

3^o. a(b+c) = ab + ac,

4^o. aa = 0.

Пример 7.7. Вычислить выражение |(2a+b)(a+2b)|, если |a|=1, |b|=2 и  = a^b =2/3.

Решение. Раскроем скобки, учитывая свойства векторного произведения векторов:

(2a+b)(a+2b) = 2aa+ba+4ab+2bb = 0–ab+4ab+0 = 3ab.

Далее из определения векторного произведения следует:

|(2a+b)(a+2b)| = |3ab| =3|a||b|sin = 312sin120⁰ = 33. 

Из определения векторного произведения векторов, в частности, следует, что необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения:

a||b  ab = 0

Различные комбинации векторных произведений базисных векторов i, j, k можно записать следующим образом:

ii = jj = kk = 0, ij =k, jk= i, ki = j.

Пример 7.8. Упростить выражение i(j+k)+j(i+k).

Решение. Раскроем скобки и затем учтем соотношения между базисными векторами

i(j+k)+j(i+k) = ij+ik+ji+jk = k–j–k+i = i–j. 

Теорема 7.3. Если два вектора a и b определены своими координатами в ортонормированном базисе: a={x₁, y₁, z₁}, b={x₂, y₂, z₂}, то векторное произведение вычисляется по формуле:

Доказательство. Действительно, учитывая, что a=x₁i+y₁j+z₁k, b=x₂i+y₂j+z₂k, получим

ab = (x₁i + y₁j + z₁k)(x₂i + y₂j +z₂k) = = (y₁z₂–z₁y₂)i – (x₁z₂–z₁x₂)j+(x₁y₂–y₁x₂)k.

Далее, учитывая свойства определителей, получим искомую формулу. 

Геометрический смысл векторного произведения векторов a и b заключается в том, что модуль векторного произведения |ab| равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

Вопрос. При каком условии справедливо равенство (ab)² = a²b².