7.4. Базис и координаты вектора
Линейно-независимые векторы образуют базис для какого-либо множества векторов, если любой вектор из этого множества может быть представлен в виде некоторой линейной комбинации этих векторов.
Поскольку любой вектор на плоскости может быть разложен по двум неколлинеарным векторам, а любой вектор в пространстве – по трем некомпланарным векторам, то любые два неколлинеарных вектора образуют базис на плоскости, а любые три некомпланарных вектора – базис в пространстве.
Пусть какая-нибудь тройка векторов e1, e2, e3 образует базис в пространстве. Тогда любой вектор пространства можно разложить и притом единственным образом по этому базису:
a = a1e1 + a2e2 + a3e3.
Числа a1, a2, a3 называются координатами вектора a в базисе векторов e1, e2, e3 и будем обозначать
a = {a1, a2, a3}.
Значение координат состоит в том, что операции над векторами сводится к действиям над числами. Пусть векторы a и b заданы своими координатами в одном и том же базисе:
a = {a1, a2, a3} и b = {b1, b2, b3}.
Тогда при сложении векторов будут складываться их соответствующие координаты, при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число:
П
ример
7.1. В
параллелограмме ABCD
сторона BC
разделена точкой K
так, что 3|BK|=5|KC|,
а сторона CD
– точкой M
так, что |CM|=4|MD|
(см. рис.7.1). Разложить вектор
по векторам
и
,
или, по-другому, найти координаты вектора
в базисе векторов a
и b.
Решение. По правилу сложения векторов можно написать
Поскольку
,
,
то
Пример 7.2. Даны три некомпланарных вектора a = {3;–2;1}, b = {–1;1;–2}, c = {2;1;–3}. Найти разложение вектора d = {11;–6;5} по базису a, b ,c.
Решение. Разложение имеет вид
d = a + b + c.
Тогда
11e1–6e2+5e3 = (3e1–2e2+e3) + (–e1+e2–2e3) + (2e1+e2–3e3)
или
(11–3–+2)e1 + (–6+2–+2)e2 + (5–+2+3)e3 = 0,
где e1, e2, e3 – какой-то фиксированный базис. Поскольку этот базис состоит из линейно независимых векторов, то коэффициенты при этих векторах должны равняться нулю. Отсюда получаем систему линейных уравнений
Таким образом, искомое разложение имеет вид
d = a – b + c.
Признак коллинеарности векторов в координатной форме примет следующий вид: два вектора a и b коллинеарны тогда и только тогда, когда пропорциональны их соответствующие координаты:
(7.4)
Пример 7.3. Коллинеарны ли векторы c1 = 2a+b и c2 = a–2b, если a={2;–2;4} и b={–3;3;–6}.
Решение. Найдем координаты векторов c1 и с2:
с1 = 2{2;–2;4} + {–3;3;–6} = {1;–1;2},
с2 = {2;–2;4} – 2{–3;3;–6} = {8;–8;16}.
Из условия пропорциональности
заключаем,
что векторы c1
и c2
коллинеарны, причем
.
7.5. Ортонормированный базис
Ортонормированный базис – это базис, состоящий из единичных (нормированных) и взаимно перпендикулярных (ортогональных) векторов. В этом случае базисные вектора имеют особые обозначения:
e1 = i, e2 = j, e3 = k.
Координаты вектора обычно обозначаются буквами x, y, z:
a = {x, y, z} xi + yj + zk.
Длина вектора в ортонормированном базисе равна
(7.5)
Вектор однозначно можно определить не только заданием его координат, но и заданием длины вектора и его направления. Направление вектора в ортонормированном базисе задается при помощи направляющих косинусов:
(7.6)
где – углы между вектором a и базисными векторами i, j, k, соответственно. Очевидно, что направляющие косинусы совпадают с координатами орта вектора: a0={cos, cos, cos}. При этом
(7.7)
Пример 7.4. Найти координаты вектора a, если он составляет с вектором i угол 600, с вектором j – 1200, а с векторов k – острый угол, при этом длина вектора |a|=2.
Решение. Учитывая, что =600, =1200, найдем угол из уравнения
Отсюда находим
Следовательно, =450 или 1350. По условию – острый, т.е. <900. Тогда =900. Таким образом, получаем
т.е. орт вектора a имеет координаты
.
Поскольку |a|=2, то
или в явной форме
Вопросы. Может ли вектор образовывать с векторами ортонормированного базиса углы: а) 450, 600, 600; б) 300, 600, 450?