Лекция 7
Векторная алгебра. Понятие вектора. Сложение и умножение векторов на число. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис и координаты вектора. Ортонормированный базис. Направляющие косинусы. Скалярное произведение векторов. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторов.
7. Векторная алгебра
7.1. Понятие вектора
Из школьного курса математики вы уже знакомы с понятием вектора, под которым понимается величина, характеризующаяся каким-то числом и направлением. С такими величинами часто приходится иметь дело в физике. Например, векторными величинами являются скорость, сила, напряженность магнитного и электрического полей и т.д. Раздел математики, изучающий векторы и операции над ними, называется векторной алгеброй.
Историческая справка. В современном виде векторная алгебра была создана достаточно поздно, в середине XIX в. У. Гамильтоном (1805-1896) и Г. Грассманом (1809-1877), которые различными путями пришли к открытию векторных операций. Однако новые идеи не сразу получили распространение и признание. Прежде всего, недостаточно ясна была их практическая ценность: в середине XIX в. еще не сформировались те физические теории, в развитии которых векторная алгебра сыграла затем существенную роль. Кроме того, сами работы Гамильтона и Грассмана отличались туманностью изложения, представляя большие трудности для их изучения. Непосредственным толчком для распространения и интенсивного развития векторного анализа, и в частности векторной алгебры, было построение Дж. Максвеллом (1831-1879) теории электромагнитного поля, в которой идеи векторного анализа сыграли существенную роль. В обширном "Трактате об электричестве и магнетизме" (1873) Максвелл впервые ввел векторные формы записи электродинамических уравнений и соотношений. Современный вид векторные обозначения получили в трудах Дж. Гиббса (1839-1903) и О. Хевисайда (1859-1925).
Объективной причиной создания векторной алгебры явились те физические теории (электродинамика, гидродинамика и др.), в развитии которых векторная алгебра сыграла существенную роль. Широкое применение векторов объясняется рядом их свойств. Во-первых, векторные представления адекватно передают суть многих понятий и закономерностей геометрии и физики. Во-вторых, при помощи векторов достигается единство аналитических и геометрических методов исследования, благодаря чему векторные формулы и выводы отличаются сжатостью, ясностью и наглядностью. В-третьих, векторные формулы, выражающие физические закономерности, не зависят от выбора той или иной системы координат, т.е. имеют инвариантный характер и отражают сущность явления в чистом виде.
a
|
.
Часто векторы обозначают одной буквой,
например, a.
Расстояние
между началом и концом и концом вектора
называется его длиной,
или
модулем,
и обозначается символом
или |a|.
Вектор нулевой длины называется нулевым
и обозначается 0.
Ясно, что нулевым вектором является
точка. Направление нулевого вектора
считается неопределенным, точнее он
может иметь любое направление.
Два вектора считаются равными, если они имеют одинаковые длины и направления. Следовательно, с точки зрения векторной алгебры, вектор не меняется при параллельном переносе с сохранением его длины и направления.
Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Два вектора называются ортогональными, если они лежат на перпендикулярных прямых.