5.5. Применение систем линейных уравнений в экономике
Рассмотрим задачи, приводящие к составлению и решению систем линейных уравнений.
Пример 5.8. Предприятие выпускает три вида продукции, используя сырье трех видов. Необходимые характеристики производства указаны в таблице 5.1. Требуется определить объем выпуска продукции каждого вида при заданных запасах сырья.
Таблица 5.1 .
Вид сырья |
Расход сырья по видам продукции, вес. ед./изд. |
Запасы сырья, вес. ед. |
||
1 |
2 |
3 |
||
1 |
6 |
4 |
5 |
2400 |
2 |
4 |
3 |
1 |
1450 |
3 |
5 |
2 |
3 |
1550 |
Решение. Задачи такого рода типичны при прогнозах и оценках функционирования предприятий, экспертных оценках проектов освоения месторождений полезных ископаемых, а также в планировании микроэкономики предприятий.
Обозначим неизвестные объемы выпуска продукции через x1, x2 и x3. Тогда при условии полного расхода запасов каждого вида сырья можно записать балансовые соотношения, которые образуют систему трех уравнений с тремя неизвестными:
Решая эту систему уравнений любым способом, находим, что при заданных запасах сырья объемы выпуска продукции составят по каждому виду соответственно (в условных единицах):
Пример 5.9. На предприятие с работниками четырех категорий привезли заработную плату в купюрах следующего достоинства: по 100 рублей – 1850 купюр, по 10 рублей – 250 купюр, 1 рублю – 740 купюр. Заработная плата работника 1-й категории составляет 962 руб., 2-й категории –713 руб., 3-й категории – 452 руб., 4-й категории – 261 руб. Определить, сколько сотрудников каждой категории работает на предприятии, если каждому сотруднику выдали заработную плату минимальным числом купюр.
Решение. Условие об оплате минимальным числом купюр является основным в определении количества купюр разного достоинства, выданных сотрудникам разных категорий. Исходя из величины заработной платы по категориям, однозначно определяем таблицу распределения купюр (таб. 5.2).
Таблица 5.2 .
Достоинство купюры, руб. |
Распределение купюр по категориям |
Общее, количество купюр |
|||
1 |
2 |
3 |
4 |
||
100 |
9 |
7 |
4 |
2 |
1850 |
50 |
1 |
- |
1 |
1 |
230 |
10 |
1 |
1 |
- |
1 |
250 |
1 |
2 |
3 |
2 |
1 |
740 |
Заработная плата |
962 |
713 |
452 |
261 |
- |
Пусть x1, x2, x3, x4 – количество работников категорий соответственно с первой по четвертую. Тогда по данным таблицы составляем уравнения "баланса", которые образуют систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными:
Решая эту систему уравнений каким-либо способом, находим сколько сотрудников каждой категории работает на предприятии:
