5.3. Теорема Кронекера-Капелли

Основной вопрос теории систем линейных уравнений состоит в выяснении условий совместности системы. Ответ на этот вопрос дает

Теорема 5.1 (Кронекера-Капелли). Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы: RgA = RgA^*.

Следствие. Линейная система имеет единственное решение при условии, что ранг основной и расширенной матриц равен числу ее неизвестных: RgA = RgA^* = n.

Теорема Кронекера-Капелли утверждает существование решения, но она не дает никакого практического способа для нахождения всех решений системы. Однако при помощи теоремы Кронекера-Капелли можно исследовать систему, не находя ее решений. Если найден какой-либо базисный минор основной матрицы системы, то можно указать какие уравнения будут базисными, тогда остальные уравнения можно просто отбросить, т.к. они являются линейной комбинацией базисных уравнений; можно также указать какие неизвестные будут основными, а какие свободными, т.е. указать от скольких параметров зависит общее решение системы.

Пример 5.4. Исследовать систему линейных уравнений:

Решение. Найдем ранги основной и расширенной матриц системы:

Поскольку ранги основной и расширенной матриц равны, то исходная система совместна. Выберем какой-либо базисный минор. Пусть это будет минор, составленный из элементов 1-й и 2-й строки и 1-го и 2-го столбца. Тогда первые два уравнения будут базисными, а третье уравнение можно отбросить. Неизвестные x₁ и x₂, в соответствии с выбранным базисным минором, будут основными, а все остальные – свободными, которые мы перенесем в правую часть. В результате получаем следующую эквивалентную систему линейных уравнений:

Решая эту систему уравнений, получим

Эти равенства определяют общее решение системы, придавая свободным неизвестным произвольные числовые значения, можно получить все значения исходной системы. Это решение можно записать в более компактной форме. Пусть x₃=4a, x₄=4b, x₅=c. Тогда получим



Пример 5.5. Исследовать на совместность и найти общее решение системы в зависимости от значений параметра :

Решение. Выпишем основную матрицу системы и найдем ее определитель

Если detA0, т.е. если 0 и –3, то ранги основной и расширенной матриц равны 3 (почему?). В этом случае система будет иметь единственное решение, которое можно найти, например, при помощи правила Крамера:

Если detA=0, то система будет либо несовместной, либо неопределенной.

Пусть =0, тогда расширенная матрица системы будет иметь вид

Видно, что ранги расширенной и основной матриц равны 1. В этом случае нужно оставить только одно уравнение

x + y + z = 1.

Тогда общее решение будет иметь вид

Пусть =–3, тогда

Видно, что ранг основной матрицы RgA=2, а ранг расширенной матрицы RgA*=3, следовательно, исходная система при =–3 несовместна. 

5.4. Однородные системы линейных уравнений

Системы линейных уравнений, у которой все свободные члены равны нулю, называются однородными:

Любая однородная система всегда совместна, поскольку всегда обладает нулевым (тривиальным) решением. Возникает вопрос, при каких условиях однородная система будет иметь нетривиальное решение.

Теорема 5.2. Однородная система имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы меньше числа ее неизвестных.

Следствие. Квадратная однородная система имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель основной матрицы системы не равен нулю.

Пример 5.6. Определить значения параметра , при которых система имеет нетривиальные решения, и найти эти решения:

Решение. Эта система будет иметь нетривиальное решение тогда, когда определитель основной матрицы равен нулю:

Таким образом, система нетривиальна, когда =3 или =2. При =3 ранг основной матрицы системы равен 1. Тогда оставляя только одно уравнение и полагая, что y=a и z=b, получим x=b–a, т.е.

При =2 ранг основной матрицы системы равен 2. Тогда, выбирая в качестве базисного минор:

получим упрощенную систему

Отсюда находим, что x=z/4, y=z/2. Полагая z=4a, получим



Множество всех решений однородной системы обладает весьма важным линейным свойством: если столбцы X₁ и X₂ – решения однородной системы AX=0, то всякая их линейная комбинация X₁+X₂ также будет решением этой системы. Действительно, поскольку AX₁=0 и AX₂=0, то A(X₁+X₂) = X₁+X₂ = ·0+·0 = 0. Именно вследствие этого свойства, если линейная система имеет более одного решения, то этих решений будет бесконечно много.

Линейно независимые столбцы E₁, E₂, …, E_k, являющиеся решениями однородной системы, называется фундаментальной системой решений однородной системы линейных уравнений, если общее решение этой системы можно записать в виде линейной комбинации этих столбцов:

.

Если однородная система имеет n переменных, а ранг основной матрицы системы равен r, то k = n–r.

Пример 5.7. Найти фундаментальную систему решений следующей системы линейных уравнений:

Решение. Найдем ранг основной матрицы системы:

Таким образом, множество решений данной системы уравнений образует линейное подпространство размерности n–r=5–2=3. Выберем в качестве базисного минор

.

Тогда оставляя только базисные уравнения (остальные будут линейной комбинацией этих уравнений) и базисные переменные (осталь­ные, так называемые свободные, переменные переносим вправо), по­лучим упрощенную систему уравнений:

Полагая, x₃=a, x₄=b, x₅=c, находим

, .

Полагая a=1, b=c=0, получим первое базисное решение; полагая b=1, a=c=0, получим второе базисное решение; полагая c=1, a=b=0, получим третье базисное решение. В результате, нормальная фундаментальная система решений примет вид

, , .

С использованием фундаментальной системы общее решение однородной системы можно записать в виде

X = aE₁ + bE₂ + cE₃. 

Отметим некоторые свойства решений неоднородной системы линейных уравнений AX=B и их взаимосвязь соответствующей однородной системой уравнений AX=0.

Общее решение неоднородной системы равно сумме общего решения соответствующей однородной системы AX=0 и произвольного частного решения неоднородной системы. Действительно, пусть Y₀ произвольное частное решение неоднородной системы, т.е. AY₀=B, и Y – общее решение неоднородной системы, т.е. AY=B. Вычитая одно равенство из другого, получим A(Y–Y₀)=0, т.е. Y–Y₀ есть общее решение соответствующей однородной системы AX=0. Следовательно, Y–Y₀=X, или Y=Y₀+X. Что и требовалось доказать.

Пусть неоднородная система имеет вид AX=B₁+B₂. Тогда общее решение такой системы можно записать в виде X=X₁+X₂, где AX₁=B₁ и AX₂=B₂. Это свойство выражает универсальное свойство вообще любых линейных систем (алгебраических, дифференциальных, функциональных и т.д.). В физике это свойство называется принципом суперпозиции, в электро- и радиотехнике – принципом наложения. Например, в теории линейных электрических цепей ток в любом контуре может быть получен как алгебраическая сумма токов, вызываемых каждым источником энергии в отдельности.