4.2. Метод окаймляющих миноров

Пусть в матрице А найден минор М_k k-го порядка, не равный нулю. Рассмотрим лишь те миноры (k+1)-го порядка, которые содержат в себе (окаймляют) минор М_k. Если все они равны нулю, то будут равны нулю и все остальные миноры (k+1)-го порядка. Более того, будут равны нулю все миноры более высоких порядков. Следовательно ранг матрицы А будет равен k: RgA=k. Если хотя бы один из окаймляющих миноров не равен нулю, то процедуру следует повторить, но уже с минором (k+1)-го порядка, не равного нулю.

Пример 4.2. Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров:

Решение. Фиксируем минор 2-го порядка, не равного нулю:

Миноры 3-го порядка, окаймляющих М₂, равны нулю:

Следовательно, RgA=2, а минор М₂ – один из базисных миноров. 

Недостаток метода окаймляющих миноров состоит в том, что приходится перебирать различные миноры, а это может быть связано с большими вычислениями, если размеры матрицы не очень малы. Однако у этого метода есть и свои достоинства. Во-первых, при нахождении ранга определяется один из базисных миноров. Во-вторых, данный метод позволяет производить исследование ранга матрицы, в зависимости от имеющихся параметров.

4.3. Метод элементарных преобразований

Обычно ранг матрицы и ее базисный минор находятся при помощи элементарных преобразований. Этот метод основан на следующей теореме: элементарные преобразования не меняют ранга матрицы. Справедливость данной теоремы вытекает из того факта, что определитель, если он не равен нулю, ни при каких элементарных преобразованиях матрицы не станет равным нулю. Исходя из этой теоремы, матрицу можно привести при помощи элементарных преобразований к диагональному виду, при этом ранг матрицы не изменится. Тогда число ненулевых элементов на диагонали равно рангу матрицы. Отметим также, что при вычеркивании нулевой строки или столбца ранг матрицы не изменится.

Пример 4.3. Найти ранг матрицы при помощи элементарных преобразований:

Решение.



4.4. Теорема о базисном миноре

Строки A = (a₁,...,a_n), B = (b₁,...,b_n), C = (c₁,...,c_n) называются линейно зависимыми, если найдутся такие числа , , , не все равные нулю, что справедливо равенство: A+B+C=0. Но если данное равенство выполняется только тогда, когда все числа , ,  равны нулю, то строки называются линейно независимыми. Если строки А, В, С линейно зависимы, то, по крайней мере, одну из них можно записать в виде линейной комбинации остальных строк. Пусть , то A=B+C, где =–, –. Все сказанное относится и к столбцам.

Пусть дана матрица А ранга r. По определению ранга эта матрица содержит отличный от нуля минор порядка r. Всякий такой минор называется базисным. Строки и столбцы матрицы, на пересечении которых расположены элементы выбранного базисного минора, называются базисными строками и столбцами.

Теорема 4.1 (о базисном миноре). Любая строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией ее базисных строк (столбцов); сами базисные строки (столбцы) линейно независимы.

Пример 4.4. Рассмотрим матрицу

Выберем ненулевой минор 2-го порядка

Теперь найдем миноры 3-го порядка, окаймляющие минор M₂:

Следовательно, данная матрица имеет ранг RgA=2, а минор M₂ будет базисным. Тогда 1-я и 2-я строки:

и 1-й и 2-й столбы:

будут базисными. В соответствии с теоремой о базисном миноре все остальные строки и столбцы будут линейной комбинацией базисных строк и столбцов. Например, 3-ю строку

можно представить в виде линейной комбинации базисных строк следующим образом: А₃ = А₁–А₂. 

Следствием теоремы о базисном миноре является

Теорема 4.2. Определитель равен нулю тогда и только тогда, когда его строки (столбцы) линейно зависимы.