Общая схема нахождения обратной матрицы (метод присоединенной матрицы):

1) Вычисляем определитель заданной матрицы, если он равен нулю, то обратной матрицы не существует.

2) Транспонируем заданную матрицу.

3) Вычисляем все алгебраические дополнения транспонированной матрицы.

4) Составляем присоединенную матрицу, т.е. вместо элементов транспонированной матрицы ставим их алгебраические дополнения.

5) Записываем обратную матрицу. Для этого каждый элемент присоединенной матрицы делим на определитель исходной матрицы.

6) Делаем проверку.

Пример 3.1. Найти A^–1, если

Решение. 1) detA = –4.

2)

3) Ищем алгебраические дополнения транспонированной матрицы (не забывать учитывать знаки алгебраических дополнений!):

4) Составляем присоединенную матрицу:

5) Записываем обратную матрицу:

6) Делаем проверку: AA^–1 = A^–1A = E:

Следовательно, обратная матрица найдена правильно. 

Пример 3.2. Найти обратную матрицу

Решение. Поскольку

и A₁₁ = d, A₁₂ = –c, A₂₁ = –b, A₂₂ = a, то

Эту формулу можно использовать для нахождения обратных матриц второго порядка. 

3.3. Матричные уравнения

На практике часто встречаются различные матричные уравнения. Например, рассмотрим уравнение

ABXC = D,

где A, B, C – невырожденные матрицы. Преобразуя это уравнение, получим

Если хотя бы одна из матриц А, В, С окажется вырожденной, то изложенный способ будет непригоден. В этом случае матричное уравнение или имеет бесконечно много решений, или вообще не имеет решений.

Пример 3.3. Решить матричное уравнение

Решение. Данное уравнение коротко можно записать следующим образом: AX=B. Тогда решение будет иметь вид X=A^–1B, т.е.

Поскольку то Следовательно,

. 

3.4 Матричный способ решения систем линейных уравнений

Любую систему линейных уравнений можно записать в матричном виде AX=B. Если основная матрица системы А – невырожденная, то решение можно записать следующим образом X=A^–1B. Записанное равенство составляет сущность матричного решения систем линейных уравнений.

Пример 3.4. Решить систему линейных уравнений при помощи обратной матрицы

Решение. Запишем систему в матричном виде

Найдем обратную матрицу. Поскольку

то

Тогда



 Используя обратную матрицу, легко доказать теорему Крамера. Действительно, решение любой квадратной системы линейных уравнений можно записать в виде X=A^–1B, если detA0. Существование и единственность решения следует из существования и единственности обратной матрицы. Поэтому выведем формулы Крамера, для этого решение запишем в развернутом виде, используя присоединенную матрицу

Учитывая, что detA=, получим после умножения матриц

откуда следует, что

Выражение в скобках есть разложение определителя по i-му столбцу матрицы, полученной из основной заменой i-го столбца столбцом свободных членов. В результате, получаются формулы Крамера. 

4. Ранг матрицы

4.1. Определение ранга матрицы

Минором M_k k-го порядка матрицы А называется определитель k-го порядка с элементами, лежащими на пересечении любых k строк и k столбцов матрицы А. (Замечание: не путать рассматриваемые миноры, определяемые для матриц, с дополнительными минорами, определяемые для определителей.). В частности, минорами 1-го порядка являются сами элементы матрицы А.

В матрице А минор порядка r называется базисным, если он отличен от нуля, а все миноры большего порядка равны нулю или вообще не существуют.

Отметим, что в матрице может быть несколько базисных миноров.

Рангом матрицы А называется порядок базисного минора, другими словами, рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Обозначать ранг матрицы А будем символом RgA. Матрицам с нулевым рангом соответствуют нулевые матрицы.

Пример 4.1. Найти ранг матрицы

Решение. Рассмотрим все миноры 2-го порядка:

т.е. все они равны нулю. Поскольку есть миноры 1-го порядка, не равные нулю, то RgA=1. 

Упражнение. Определите ранги и все базисные миноры следующих матриц:

Для матриц малого порядка можно перебрать все возможные миноры, но чем больше размеры матрицы, тем труднее это сделать. Поэтому нужен какой-то алгоритм, позволяющий упорядочить нахождение ранга.