Дополнение 1 к главе 2. Доказательства некоторых свойств определителей

На первый взгляд определение определителя может показаться не эффективным: определитель матрицы n-го порядка определяется через определители (n–1)-го порядка, а эти определители сами не определены. В действительности же в этом ничего плохого нет. Для определения чисел M_1j можно воспользоваться той же формулой, поскольку она имеет место для матриц любого порядка. Тем самым можно выразить определитель матрицы n-го порядка через определители (n–2)-го порядка. Можно продолжать этот процесс, пока мы не придём к матрицам первого порядка, а для них определитель определён непосредственно.

Дополнительный минор элемента a_ij обозначим . Часто говорят о строках и столбцах минора, имея в виду строки и столбцы матрицы , получаемой из исходной матрицы A вычеркиванием той строки и того столбца, в которых расположен элемент a_ij, т.е. i-й строки и j-го столбца.

Теорема 2.3. Для каждой матрицы A n-го порядка имеет место формула:

. (2.16)

Эта формула называется разложением определителя по первому столбцу.

Доказательство. Очевидно, что для матриц второго порядка формула справедлива. Допустим, что утверждение справедливо для матриц порядка n–1, и докажем его для матриц порядка n. Для этого перепишем формулу (2.8), определяющую определитель матрицы порядка n, выделив в нём первый член суммы:

.

При любом k2 в матрицу входит (без своего первого элемента) первый столбец матрицы A. Пользуясь предположением индукции, можно разложить по этому столбцу. Надо только учесть, что i-я строка матрицы A в матрицу входит под номером i–1, т.к. в не вошла первая строка матрицы A. Поэтому при k2

.

Здесь – определитель матрицы порядка n–2, получаемой из вычёркиванием её (i–1)-й строки и 1-го столбца или, что то же самое, получаемое из A вычеркиванием 1-й и i-й строк и 1-го и k-го столбцов.

Подставляя полученное выражение для , находим

.

Внесём множитель, не зависящий от i, под внутренний знак суммы:

.

Изменим порядок суммирования и вынесем множитель, не зависящий от k, за внутренний знак суммы:

. (2.17)

Нетрудно заметить, что внутренняя сумма представляет собой результат применения определения определителя к минору . Действительно,

,

т.к. в матрице , определителем которой он является, по сравнению с A пропущен первый столбец и все номера столбцов уменьшены на 1. Теперь мы можем выписать (2.17) в виде

,

Что совпадает с доказательством равенством (2.16). 

Теорема 2.4. Для любой квадратной матрицы .

Доказательство. Докажем это предположение по индукции. Для матриц порядка 1 оно очевидно. Предположив, что предположение верно для матриц порядка n–1, докажем его для матриц порядка n. Пусть – матрица, получаемая из A вычёркиванием первой строки и j-го столбца, а – матрица, получаемая из A^T вычёркиванием j-й строки и первого столбца. Легко видеть, что . Поэтому из предположения индукции следует, что , или, иными словами, дополнительный минор элемента a_1j в матрице A равен дополнительному минору элемента b_j1 в матрице A^T. Кроме того, a_1j=b_j1, и разложение detA по первой строке совпадает с разложением detA^T по первому столбцу. 

Теорема 2.5. Определитель матрицы A равен сумме произведений всех элементов некоторой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения:

(2.18)

Заметим, что при i=1 формула (2.18) есть определение определителя, а при j=1 формула (2.18) совпадает с доказанным в теореме (2.4) разложением по первому столбцу.

Доказательство. Докажем формулу (2.18) при i2. Для этого переставим i-ю строку матрицы на первую первое место. Нужная нам перестановка будет осуществлена, если мы переставим i-ю строку последовательно со всеми строками, расположенными выше неё. Выше i-й строки находится (i–1) строк. Поэтому, если B – матрица, полученная после таких перестановок, то . Разложив по первой строке (i-й строке матрицы A), получим

.

Здесь – определитель матрицы, получаемой из B вычёркиванием первой строки и k-го столбца или, что то же самое, из матрицы A вычёркиванием i-й строки и k-го столбца. Поэтому , что и доказывает нужное разложение. 

Теорема 2.6. Если i-й столбец (строка) матрицы A есть линейная комбинация столбцов (строк) P и Q, т.е. имеет вид , то:

, (2.19)

где и получаются из A заменой i-го столбца (строки) соответственно на P и на Q.

Доказательство. Для доказательства достаточно обратить внимание на то, что в силу определения операций со столбцами мы имеем для всех k (1kn) равенства , где через P_k и Q_k обозначены элементы столбцов P и Q. Подставляя эти равенства в разложение detA по i-му столбцу, получим

,

что и заканчивает доказательство. 

Свойство, выраженное теоремой 2.6, носит название линейности определителя по столбцу (строке). Разумеется, detA можно представить аналогичным образом и тогда, когда определитель матрицы A есть линейная комбинация .

Иногда линейность определителя по столбцу (строке) формулируют в виде двух отдельных свойств (см. свойства 3 и 4).