2. Определители третьего порядка

Пусть дана матрица третьего порядка

. (2.7)

Определителем матрицы 3-го порядка называется число, которое находится по следующей формуле:

(2.8)

В формулу (2.8) входят шесть тройных произведений, сомножители которых расположены в разных строках и разных столбцах. Произведения имеют разные знаки, и запомнить эту формулу сложно. Однако есть правила, которые облегчают выписывание выражения для определителя 3-го порядка.

Символически эти правила иллюстрируются следующей схемой:

Можно заметить, что со знаком плюс берут слагаемые, являющиеся произведением элементов главной диагонали и произведением элементов, лежащих на параллелях к этой диагонали. Члены, имеющие знак минус, формируются таким же образом относительно побочной диагонали. Таким образом, можно сформулировать следующие правила вычисления определителей 3-го порядка.

Правило треугольников: три слагаемых, входящих в исходное выражение со знаком плюс, есть произведения элементов главной диагонали или треугольников, основания которых параллельны этой диагонали. Остальные три слагаемых, входящих со знаком минус, находятся таким же образом, но относительно второй диагонали.

П равило Саррюса: припишем к матрице справа первый, а затем второй столбец. Тогда «положительные» слагаемые будут находиться на линиях параллельных главной диагонали, а «отрицательные» ‑ на линиях, параллельных второй диагонали.

Пример 2.2. Вычислить определитель



3. Правило Крамера

Рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными

Используя определители 3-го порядка, решение такой системы можно записать в таком же виде, как и для системы двух уравнений, т.е.

(2.9)

если 0. Здесь

Это есть правило Крамера решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

Пример 2.3. Решить систему линейных уравнений при помощи правила Крамера:

Решение. Находим определитель основной матрицы системы

Поскольку 0, то для нахождения решения системы можно применить правило Крамера, но предварительно вычислим еще три определителя:

Тогда

Проверка:

Следовательно, решение найдено правильно. 

Правила Крамера, полученные для линейных систем 2-го и 3-го порядка, наводят на мысль, что такие же правила можно сформулировать и для линейных систем любого порядка. Действительно имеет место

Теорема 2.1 (теорема Крамера). Квадратная система линейных уравнений с отличным от нуля определителем основной матрицы системы (0) имеет одно и только одно решение и это решение вычисляется по формулам

(2.10)

где  – определитель основной матрицы, _i – определитель матрицы, полученной из основной, заменой i-го столбца столбцом свободных членов.

Доказательство теоремы Крамера см. гл. 3 (п.3.4).

Отметим, что если =0, то правило Крамера не применимо. Это означает, что система либо не имеет вообще решений, либо имеет бесконечно много решений.

Сформулировав теорему Крамера, естественно возникает вопрос о вычислении определителей высших порядков.